If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

Теорема на Гаус-Остроградски (теорема за дивергенцията) – за три измерения

Известна също като теорема на дивергенцията, теоремата на Гаус-Остроградски представлява равенство между тройни и повърхностни интеграли.

Основни идеи

  • Дефиниции
    • F(x;y;z) е тримерно векторно поле.
      • V е област в тримерното пространство.
      • S е повърхнината на областта V.
Видео плейър на видеоклиповете в Кан Академия
  • Теоремата на Гаус-Остроградски представлява връзка между дивергенцията на F в даден обем V и потокът на F през границата S на обема:
VdivFdVСъбираме малките частиципоток навън от V=SFn^dΣИнтеграл на потокаИзмерва общия поток навън през повърхнината на V
  • Интуитивно погледнато, дивергенцията измерва потока на флуида с посока навън в отделните точки, докато потокът през повърхността на обема измерва общия поток с посока навън от обема.

Повърхнината трябва да е затворена

В този урок ще говорим за повърхнини в тримерното пространство. За разлика от теоремата на Стокс, теоремата на Гаус-Остроградски се отнася само за затворени повърхнини, т.е. повърхнини без граница. Например полусферата не е затворена повърхнина, тъй като има окръжност за граница.
Обаче, ако добавим кръг, затварящ полусферата, получената повърхност ще е затворена, и обемът, ограден от нея, ще е тримерна полусфера. В този случай можем да използваме теоремата на Гаус-Остроградски за тримерната полусфера и повърхнината ѝ.
Разглеждаме затворени повърхнини, тъй като в общия случай не можем да говорим за обема ограден от дадена повърхнина.

Логическото обяснение

Ако разбираш логиката на дефинициите на поток в три измерения, троен интеграл, и 2D теоремата на Гаус-Остроградски, значи знаеш всичко необходимо, за да разбереш и този вариант на теоремата.

Глобален поглед върху потока

Дадено е векторно поле F(x;y;z), описващо движението на флуид. Потокът на F през повърхнината S е мярка за количеството флуид, което напуска обема през тази повърхнина за единица време. Измерваме го със следния интеграл:
SFn^dΣ
Можеш да разглеждаш този интеграл като раздробяване на повърхнината на малки парченца, всяко от тях с площ dΣ. n^ е функция, чиито стойности са единичните нормални вектори във всяка точка от повърхнината.
Видео плейър на видеоклиповете в Кан Академия
Когато стойността на Fn^ е голяма, флуидът се движи в посока, близка до посоката на n^, и съответно флуидът напуска сравнително бързо обема, заграден от повърхнината. Тъй като избираме n^, така че да сочи навън, измерваме с положителен знак флуидът, който напуска обема, и с отрицателен - този, който навлиза.
В тази статия S е затворена повърхнина, заграждаща тримерен обем V. Ориентацията на повърхнината S е определена чрез външните единични нормални вектори , потокът на F през S измерва скоростта, с която флуидът напуска обема V.
SFn^Колко флуиднапуска/навлиза?dΣМалка площ

Локален вид на външния поток: дивергенция

Дивергенцията, независимо от броя на измеренията, измерва тенденцията на дадения флуид да се отдалечава от всяка една точка в пространството. По-точно, ако разгледаме точката (x0;y0;z0), заедно с малко пространство Vмалко около нея, скоростта, с която флуидът минава през полето F и напуска това малко пространство е приблизително равна на следния израз:
(F(x0;y0;z0))дивергенция|Vмалко|обем на Vмалко
С други думи, дивергенцията ни дава дебита на изтичащия поток за единица обем близо до точката. Умножаваме по обема, преди да изчислим действителния дебит на външния поток, тъй като самата дивергенция не зависи от обема, който разглеждаме. Чисто интуитивно, дебитът на изтичащия поток за по-малък обемът е по-малък, защото потокът в него е по-малък, отколкото ако разглеждаме по-голям обем.

Сумата от локалните потоци е равна на глобалния поток

Накрая, за намерим дивергенцията за всички малки области в разглежданото пространство, правим следното:
  • Разделяме тримерното пространство V на много малки частички (малки тримерни трошици).
  • Пресмятаме дивергенцията на F във всяко частичка.
  • Умножаваме тази стойност по обема на частичките.
  • Събираме получените стойности.
Така получаваме "общия външен поток" на F в целия обем V. Но както казахме по-рано, това е равно на потока на F през повърхнината S на V.
Тази конструкция обяснява също и логиката на дефиницията на троен интеграл:
VFДивергенцияdVМалъкобем
Приравняваме този интеграл с потока на F през повърхнината на V и получаваме теоремата на Гаус-Остроградски:
VdivFdVСъбираме малките частиципоток навън от V=SFn^dΣИнтеграл на потокаИзмерва общия поток навън през повърхнината на V

Полза

Понякога двойните и тройните интеграли, с които работим, се оказват трудни за пресмятане. Теоремата, която току-що доказахме, ни дава възможност да манипулираме такива интеграли, и често превръща сложен двоен интеграл (върху повърхнина) в елементарен троен интеграл. Ще използваме този трик особено често, когато обемът V е прост, а повърхнината му е сложна за описване.
В следващата статия ще разгледаме няколко примера.
В сферата на електродинамиката най-различни закони, например законът на Гаус, могат да бъдат изразени чрез дивергенция или чрез повърхностен интеграл. Когато става въпрос за физически явления, всяка една от тези две гледни точки може да се окаже по-интуитивна или по-дескриптивна за определена задача.

Обобщение

  • Теоремата на Гаус-Остроградски ни казва, че сумата от разширенията на векторно поле във всички точки на даден обем е равна на потока на полето навън от обема.
VdivFdVСъбираме малките частиципоток навън от V=SFn^dΣИнтеграл на потокаИзмерва общия поток навън през повърхнината на V

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.