Теорема на Гаус-Остроградски - доказателство (част 1)

Да докажем теоремата за дивергенцията, която гласи, че потокът на едно векторно поле през някаква повърхнина – като векторното поле, което ще разглеждаме е F – значи потокът през тази повърхнина, който ще означа като скаларното произведение F по n, където n е нормалният вектор към повърхнината, затова ще умножим по dS, и това е равно на троен интеграл, с който сумираме за целия обем на тази област – сумираме обемите на дивергенцията на F. Имам няколко видео клипа, в които обяснявам логиката, но сега искам да докажем теоремата. Разбира се, това ще умножим по диференциала на всеки малък кубичен обем. Сега ще направим едно допускане. Ще допуснем, че областта, която разглеждаме, е проста тримерна област. Това означава, че – казано по-формално, че тази област, която разглеждаме, може да е област от първи тип, от втори тип и от трети тип. Може би трябва да кажа, че е и от трите типа едновременно. Значи област от първи, втори и трети тип. Имаме видео уроци, в които разглеждаме всеки от тези типове области, но много от основните тела могат да се определят като прости тримерни области. Например една сфера или някакъв цилиндър, могат да бъдат области от първи, втори и трети тип. В много случаи областите не са прости тримерни области, но можем да ги разделим на прости тримерни области. Сега да докажем самата теорема за този случай. Да допуснем, че нашето векторно поле F може да се запише като Р, което е функция от х, у и z, по i, плюс Q, което е функция от х, у и z, по j, плюс R, което е функция от х, у и z, по k. Да помислим какво може да означава всяка от страните на това равенство. Първо да видим колко е скаларното произведение на F по n. Да помислим върху това. Скаларното произведение F по n е равно на i-тия компонент на F по i-тия компонент на n, плюс j-тия компонент на F по j-тия компонент на n, плюс k-тия компонент на F по k-тия компонент на n. Значи можем да запишем Р по... ще запиша просто Р и отварям скоби – скаларното произведение на i и на n, като само искам да се уверя, че записвам i като единичен вектор. Искам да поясня. Какво ще се случи тук? Ако намерим скаларното произведение на i и на n, ще получим просто i-тия компонент, по-точно мащабиращия коефициент на i-тия компонент на нормалния вектор n, и просто умножаваме това по Р. Това по същество е произведението на х-компонентите, или мога да кажа на дължините на х-компонентите. След това към това добавяме Q по скаларното произведение на j по n. Отново, когато намираме скаларното произведение на j и n, получаваме дължината на j-компонента на нормалния вектор ето тук, и после по... не, това е плюс, плюс R по скаларното произведение на k по n. Обикновено не се записва по този начин, но мисля, че ще се съгласим, че това е вярно. Това тук ще бъде равно на Р по дължината на i-тия компонент на нормалния вектор n, което е точно това, което ни трябва в едно скаларно произведение. Това е същото като j-тия компонент. Това е същото като k-тия компонент. Можеш да дефинираш, че n е равно на m по i, плюс n по j, плюс o по k, или нещо подобно, и ще видиш, че това върши идеална работа. Как можем да опростим този израз? (посочва с курсора горе вляво) Можем да препишем лявата страна като... повърхностен интеграл от F... искам да го запиша по няколко начина. Скаларното произведение на F по dS, което е равно на повърхностния интеграл от скаларното произведение на F по n, по скалара dS, е равно на двоен интеграл от повърхнината от всичко това тук, е равно на двоен интеграл по повърхнината... просто ще копирам това – по цялата тази повърхнина. Току-що забелязах, че съм забравил символа за единичен вектор, една малка къщичка тук отгоре. Поставям скоба и след това имаме dS. После всичко това може да се представи като повърхностен интеграл от Р по ето това. Ще използвам същия цвят – от Р, по скаларното произведение на i и на n, dS, плюс повърхностен интеграл от Q по скаларното произведение на j по n, dS плюс повърхностен интеграл от R по скаларното произведение на k и n – забравих шапчицата – k по n, dS. Аз просто разделих интеграла на части. Интегрираме тази сума, и аз просто я представих като сума от интеграли. Това е тази лявата страна. Сега да помислим за дясната страна. Какво представлява дивергенцията на F? Всъщност ще си направя малко място. Колко е дивергенцията на F? Дивергенцията на F въз основа на този израз за F ще бъде просто – ще го напиша наистина дребно. Дивергенцията на F е равна на частно Р относно – ще използвам нов цвят за това, защото използвам прекалено много жълто. Дивергенцията на F е равна на частно Р относно х, плюс частно Q относно у, плюс частно R относно z. Този троен интеграл тук може да се напише като троен интеграл от частно Р относно х, плюс частно Q относно у, плюс частно R относно z. Пак ще повторя - вместо да запишем това като троен интеграл от тази сума, можем да го запишем като сума от тройни интеграли. Значи това тук може да се запише като троен интеграл по нашата тримерна област. Всъщност ще копирам и ще поставя тук, така че да не се налага да продължавам да го преписвам. Значи това ще е равно на троен интеграл от частно Р относно х, dv, плюс троен интеграл от частно Q относно у, dv, плюс, още веднъж, троен интеграл от частно R относно z, dv. Ние всъщност преработихме израза за теоремата за дивергенцията. Това е нашият повърхностен интеграл и теоремата за дивергенцията гласи, че това трябва да е равно на това нещо ето тук. Ние просто го записахме по различен начин. И сега, за да я докажа, просто трябва да покажа, че тези съответни членове са равни помежду си – че тези са равни помежду си, (огражда ги) тези са равни помежду си, (огражда ги) и тези са равни помежду си. (огражда ги) Ние ще се фокусираме върху това да докажем ето това. Ще използваме факта, че нашата област е област от първи тип. Тя е област от първи тип, от втори тип и от трети тип. Но ще използваме факта, че областта е от първи тип, за да докажем, че тези неща са еквивалентни. След това можем да използваме факта, че тази област е от втори тип и от трети тип, за да докажем по същия начин, че това е равно на това и това е равно на това. (посочва с курсора)