Теорема на Гаус-Остроградски - доказателство (част 5)

Сега можем да преминем към частта с тройния интеграл от нашето доказателство – ето този интеграл тук. Мога да преработя това. Това е троен интеграл по нашата област, която допуснахме, че е от първи тип, интеграл от частно R относно z, което можем да запишем по следния начин. Но това няма значение. Частно R относно z. После dv. Можем да преработим това като – можем да приемем, че първо ще интегрираме относно z. Значи ще интегрираме относно z. Ще използвам различен цвят. Ще интегрираме първо относно z. Долната граница на z в нашата област от първи тип е f1. Горната граница е f2. Значи ще интегрираме от f1 от (х; у) до f2 от (х; у). Ще интегрираме частната производна на R относно z. Ще използвам същия жълт цвят – частно R относно z. После имаме dz, след което ще интегрираме относно у и х или относно х и у. Значи dx, dy или dy, dх. Мога да запиша просто dA. Това, което трябва да направим – можем да изчислим жълтата част. После ще намерим двоен интеграл по дефиниционното множество на х и у. Значи това е интеграл по дефиниционното множество на ху. Ще поставя скоби, за да е ясно какво ще направим. Просто ще интегрираме първо относно z, като имаме съответните граници. Това е много лесно нещо. Това е равно на – първо ще напиша външния – двоен интеграл по дефиниционното множество. И тук имаме dA. Всъщност ще си направя малко място – dA. Колко е примитивната функция на това? Това е просто R, и това е просто R от (х; у; z), изчислена, когато z е равно на f1, или когато z е равно на f2. От това изваждаме когато z е f1. Значи това ще бъде просто R от (х; у; z) и го изчисляваме за z равно на това. От това изваждаме стойността, когато z е равно на това. Значи това е равно на R от (х; у; z), когато z е равно на f2, т.е. това е R от (х; у; f2 (х; у)). От това трябва да извадим R, когато z е равно на това – минус R от (х; у; f1 (х; у)). Само да поставя правилно скобите. Това е съвсем същото като това, което получихме в предишното видео. Това е съвсем същото като това, което означава, че това е равно на това. Когато допуснахме, че това е област от първи тип, получихме, че това е равно на това. Можеш да използваш съвсем същата логика за област от втори тип, за да докажеш, че това е равно на това, и за област от трети тип, за да докажеш, че това е равно на това. С това теоремата за дивергенцията е доказана. Свършихме добра работа.