Основно съдържание

Курс: Анализ на функции на много променливи > Раздел 5

Урок 1: Формални дефиниции на дивергенция (div) и ротация (rot) (допълнителен материал)

Формална дефиниция на ротация в две измерения

Научи как се дефинира ротацията, което включва математическо описание на процеса на ротация на флуид. Това е добра подготовка за теоремата на Грийн.

Преговор

Освен това можеш да прочетеш краткото въведение "Защо се интересуваме от формалните дефиниции на дивергенция и ротация?".

Основни идеи

В две измерения ротацията формално се дефинира като следната граница на криволинеен интеграл:

2d-rot F (x; y) = lim_{| A_{(x; y)} | \to 0} (\frac{1}{| A_{(x; y)} |} \oint_{C} F \cdot d r)

$F$ ‍ е двумерно векторно поле.
$(x; y)$ ‍ е произволна точка в равнината.
$A_{(x; y)}$ ‍ е област около точката $(x; y)$ ‍. Например това може да е окръжност с център в точката $(x; y)$ ‍.
$| A_{(x; y)} |$ ‍ е площта на областта $A_{(x; y)}$ ‍.
$lim_{| A_{(x; y)} | \to 0}$ ‍ показва, че разглеждаме границата, когато областта $A_{(x; y)}$ ‍ клони към нула, което означава, че тази област се свива около точката $(x; y)$ ‍.
$C$ ‍ е границата на областта $A_{(x; y)}$ ‍, ориентирана по посока обратна на часовниковата стрелка.
$\oint_{C}$ ‍ е криволинейният интеграл по $C$ ‍, записан като $\oint$ ‍, вместо като $\int$ ‍, за да се подчертае, че контурът $C$ ‍ е затворен.
Криволинейният интеграл $\oint_{C} F \cdot d r$ ‍ измерва общата ротация на флуида около $C$ ‍.

Това изглежда доста сложно, но ще добие смисъл, след като го разгледаме част по част.

Формализиране на дефиницията за ротация на флуид

Да си представим, че имаме движещ се флуид, чиято скорост е дадена от векторното поле

F (x; y)

, като този, който разгледахме в статията за двумерна ротация.

Видео плейър на видеоклиповете в Кан Академия

Виж видео транскрипцията

Ако още не знаеш какво представлява ротацията, но току-що си учил/а за криволинейни интеграли във векторно поле, как ще измериш ротацията на флуида в областта?

Да разгледаме един относително елементарен пример – да разгледаме векторното поле

$\begin{array}{r} F (x; y) = [\begin{array}{c} - y \\ x \end{array}] \end{array}$ ‍

Това е едно типично векторно поле, което се върти обратно на часовниковата стрелка.

Как можем да изразим математически идеята за ротацията на флуида (преди да знаем какво представлява тя)? Един начин да го направим е да си представим, че обикаляме периметъра на някаква област, например единична окръжност с център в началото на координатната система, и измерваме това дали флуидът се движи в нашата посока, или обратно на нас.

Проверка на концепцията: Нека

C

да е обиколката на единична окръжност, чийто център е началото на координатната система, по която се движим обратно на часовниковата стрелка. Като имаме предвид изображението на векторното поле

F

по-горе, можем да разгледаме следния криволинеен интеграл:

$\begin{array}{r} \oint_{C} F \cdot d r \end{array}$ ‍

Как можем да определим знака на този интеграл, без да го изчисляваме? (Спомни си, че символът

\oint

просто подчертава фактът, че криволинейният интеграл е по затворен контур, но той се изчислява като всеки друг криволинеен интеграл).

Избери един отговор:
(Избор А)
Положителен
(Избор Б)
Отрицателен
(Избор В)
Нула

Положителен.
Когато се движим по окръжността, стрелките на векторното поле $F$ ‍ винаги сочат в същата посока, в която се движим ние, $d r$ ‍. Следователно скаларното произведение $F \cdot d r$ ‍ ще е винаги положително, а оттам и интегралът като цяло следва да е положителен.

По-общо казано, ако флуидът се движи обратно на часовниковата стрелка около областта, можем да очакваме, че криволинейният интеграл на това векторно поле от векторите на скоростта на флуида около периметъра на областта ще е положителен (когато е ориентиран обратно на часовниковата стрелка).

Можеш също да си представиш по-сложно векторно поле, в което флуидът се движи с теб в някои точки, докато обикаляш обратно на часовниковата стрелка по окръжността, но има обратна посока в други точки.

Стойността

F \cdot d r

ще е с положителен знак, когато флуидът се движи в една и съща посока с теб, и ще има отрицателен знак, когато се движи в обратната посока. В известен смисъл интегралът

\oint_{C} F \cdot d r

е като избирателна комисия, която брои доколко тези различни посоки се компенсират помежду си и коя от тях печели.

При промяна на размера на областта

След като изразихме математически идеята за флуид, който се върти в областта, сега може би ще искаш да разгледаме по-размитата идея за ротация на флуид в точка. Какво можем да направим?

Първо можем да разгледаме все по-малки и по-малки области около точката, например кръгчета, чиито радиуси стават все по-малки, и да видим какво представлява потокът на флуида в тези области.

Проверка на концепцията: Ако се върнем обратно към векторното поле

F = [\begin{matrix} - y \\ x \end{matrix}]

, вместо да разглеждаме само единичната окръжност, нека с

C_{R}

означим окръжност, която има център ва началото на координатната система и радиус

R

. Тази окръжност има ориентация обратна на часовниковата стрелка.

Да изчислим криволинейния интеграл от

F

по тази окръжност като функция от

R

$\begin{array}{r} \oint_{C_{R}} F \cdot d r = \end{array}$ ‍

Първо трябва да параметризираме тази окръжност. Можем да направим това с функцията
$\begin{array}{r} r (t) = [\begin{array}{c} R \cos (t) \\ R \sin (t) \end{array}] \end{array}$ ‍
За да може тази параметризация да обиколи окръжността само веднъж, нека $t$ ‍ да приема стойности в интервала от $0$ ‍ до $2 π$ ‍. По този начин преработваме криволинейния интеграл по следния начин:
$\begin{aligned} \oint_{C_{R}} F \cdot d r & = \int_{0}^{2 π} F (r (t)) \cdot r^{'} (t) d t \end{aligned}$ ‍
Сега да заместим компонентите на $r (t)$ ‍ в дефиницията на функцията $F (x; y)$ ‍
$\begin{aligned} F (x; y) & = [\begin{matrix} - y \\ x \end{matrix}] \\ ⇓ \\ F (r (t)) & = F (R \cos (t); R \sin (t)) \\ = [\begin{matrix} - R \sin (t) \\ R \cos (t) \end{matrix}] \end{aligned}$ ‍
Сега да намерим производната на $r (t)$ ‍
$\begin{array}{r} r^{'} (t) = [\begin{matrix} \frac{d}{d t} R \cos (t) \\ \frac{d}{d t} R \sin (t) \end{matrix}] = [\begin{matrix} - R \sin (t) \\ R \cos (t) \end{matrix}] \end{array}$ ‍
Фактът, че $F (r (t)) = r^{'} (t)$ ‍ в този случай е съвпадение, което е характерно за този конкретен пример. То обаче прави работата с този криволинеен интеграл много безпроблемна.
$\begin{aligned} \oint_{C_{R}} F \cdot d r & = \int_{0}^{2 π} F (r (t)) \cdot r^{'} (t) d t \\ = \int_{0}^{2 π} [\begin{matrix} - R \sin (t) \\ R \cos (t) \end{matrix}] \cdot [\begin{matrix} - R \sin (t) \\ R \cos (t) \end{matrix}] d t \\ = \int_{0}^{2 π} (R^{2} \sin^{2} (t) + R^{2} \cos^{2} (t)) d t \\ = \int_{0}^{2 π} R^{2} (\underset{равно на 1}{\underset{⏟}{\sin^{2} (t) + \cos^{2} (t)}}) d t \\ = R^{2} \int_{0}^{2 π} d t \\ = 2 π R^{2} \end{aligned}$ ‍

Каква е връзката на тази стойност и на окръжността

C_{R}

Средна ротация за единица площ

Отговорът на последния въпрос предполага нещо интересно. Ротацията в областта изглежда, че е пропорционална на площта на самата област. Разбира се, ние сме показали това само за окръжности, чийто център лежи в началото на координатната система, а не за всички възможни области, но това все пак ни го подсказва. Това трябва да ни даде някаква представа.

Ключова идея: Може би ако вземем $\oint_{C} F \cdot d r$ ‍, който измерва потока на флуида в областта, и ако го разделим на площта на областта, ще получим някаква представа за средната ротация на единица площ.

Идеята за "средна ротация на единица площ" може да ти изглежда странна, но ако се върнем към тълкуването на ротацията, това е начинът, по който бихме искали да представим ротацията. Вместо да разглеждаме въртенето на флуида в една обширна област, ротацията (rot) измерва как флуидът се върти около някаква точка.

Проверка на концепцията: Векторното поле от предишния пример е малко по-специално, защото "ротацията на единица площ" за кръгове с център в началото на координатната система има една и съща стойност за всички подобни кръгове. Каква е тази стойност?

Когато казваме "ротация за единица площ", под "ротация" имаме предвид стойността на интеграла
$\begin{array}{r} \oint_{C} F \cdot d r \end{array}$ ‍
Това е така, понеже интегралът показва колко се движи флуидът обратно на часовниковата стрелка по контура $C$ ‍.
"Единичната площ", която разглеждаме, е площта, оградена от контура $C$ ‍.
В предишния въпрос установихме, че за нашия пример интегралът е равен на $2 π R^{2}$ ‍. Понеже площта на кръга е $π R^{2}$ ‍, отношението винаги е $2$ ‍.

Проверка на концепцията: Спомни си, че формулата за

двумерната ротация

$\begin{array}{r} 2d-rot F = \frac{\partial F_{2}}{\partial x} - \frac{\partial F_{1}}{\partial y} \end{array}$ ‍,

където

F_{1}

F_{2}

са компонентите на

F

. За дадена функция

$\begin{array}{r} F (x; y) = [\begin{array}{c} - y \\ x \end{array}] \end{array}$ ‍

изчисли ротацията на

F

$\begin{array}{r} 2d-rot F = \end{array}$ ‍

Би трябвало да изтъкнем, че в този пример фактът, че

2d-rot F

е константа в този пример, и фактът, че средната ротация на единица площ е константа за всички кръгове, са изключения. В общия случай ротацията е различна в различните точки и средната ротация на единица площ зависи от размера на областта.

Дефиниция за двумерна ротация

Тези последни два въпроса показват, че "средната ротация за единица площ" за кръгове, чиито центрове са в началото на координатната система, е равна на ротацията на функцията, поне в този конкретен пример. Този извод има и по-широко приложение. Всъщност начинът, по който дефинираме ротацията на едно векторно поле

F

в произволна точка

(x; y)

, следва да е границата на тази средна ротация на единица площ във все по-малки и по-малки области около точката

(x; y)

По-конкретно (моля за овации), ето как изглежда формулата за двумерна ротация:

$\begin{array}{r} 2d-rot F (x; y) = lim_{| A_{(x; y)} | \to 0} \underset{Средна ротация на единица площ}{\underset{⏟}{(\frac{1}{| A_{(x; y)} |} \oint_{C} F \cdot d r)}} \end{array}$ ‍

където

$F$ ‍ е двумерно векторно поле.
$(x; y)$ ‍ е произволна точка в равнината.
$A_{(x; y)}$ ‍ представлява някаква област около точката $(x; y)$ ‍. Например това може да е окръжност с център в точката $(x; y)$ ‍.
$| A_{(x; y)} |$ ‍ е площта на областта $A_{(x; y)}$ ‍.
$lim_{| A_{(x; y)} | \to 0}$ ‍ означава, че разглеждаме границата, когато площта на областта $A_{(x; y)}$ ‍ клони към $0$ ‍, което показва, че областта се свива около точката $(x; y)$ ‍.
$C$ ‍ е границата на областта $A_{(x; y)}$ ‍, ориентирана по посока обратна на часовниковата стрелка.
$\oint_{C}$ ‍ е криволинейният интеграл по контура $C$ ‍, записан като $\oint$ ‍, вместо като $\int$ ‍, за да се подчертае, че контурът $C$ ‍ е затворен.

Тази формула не е удобна за пресмятания, но връзката между това и ротацията на флуида става много ясна, ако разсъдиш около това. Фактът, че тази дефиниция дава същия резултат като формулата за изчисляване на двумерна ротация, е много красив.

$\begin{array}{r} 2d-rot F = \frac{\partial F_{2}}{\partial x} - \frac{\partial F_{1}}{\partial y} \end{array}$ ‍,

Още една характеристика на потенциално (консервативно) векторно поле

Необходими познания: Потенциални векторни полета

Ако

F (x; y)

е потенциално векторно поле, всички криволинейни интеграли по затворени контури са нула

0

. Ако приложим това към горния интеграл, какво означава това?

(Избор А)
Двумерната ротация винаги е $0$ ‍.
(Избор Б)
Ротацията на флуида в областта не е задължително да е $0$ ‍, но когато площта на областта клони към $0$ ‍, интегралът $\oint_{C} F \cdot d r$ ‍ клони към $0$ ‍ по-бързо, отколкото площта клони към $0$ ‍.

Изразът

\oint_{C} F \cdot d r

винаги е

0

, така че дефиницията на двумерната ротация е

$\begin{aligned} 2d-rot F (x; y) & = lim_{A_{(x; y)} \to 0} (\frac{1}{| A_{(x; y)} |} \overset{Криволинеен интеграл}{\overset{⏞}{(0)}}) \\ = lim_{A_{(x; y)} \to 0} (0) \\ = 0 \end{aligned}$ ‍

Следователно двумернта ротация (

2d-rot

) на едно потенциално векторно поле винаги е нула.

Това ни дава един важен факт: ако едно векторно поле е потенциално, то е иротационно (безвихрово), което означава, че то ротацията е нула навсякъде.

По-конкретно, понеже градиентните полета винаги са потенциални, ротацията на градиента винаги е нула. До този извод можеш да достигнеш, просто като анализираш формулите. Но мисля, че човек може да разбере това много по-добре, когато използва едновременно дефиницията за ротация и разсъждава защо градиентните полета са потенциални.

А какво да кажем за обратното? Ако едно векторно поле има нулева ротация във всяка своя точка, това означава ли, че то е потенциално?

Обобщение

Ако едно векторно поле представя даден флуиден поток, можем да измерим "ротацията на флуида в дадена област" чрез криволинейния интеграл на това векторно поле по граничния контур на тази област.
За да преминем от представата за ротация на флуида в дадена област към идеята за поток на флуида около дадена точка (което е точно това, което измерва ротацията rot), въвеждаме понятието "средна ротация на единица площ" за дадена област. След това разглеждаме към какво клони тази стойност, когато областта се свива около точката.
Това ни дава следното определение на двумерна ротация:

$2d-rot F (x; y) = lim_{A_{(x; y)} \to 0} \underset{Средна ротация на единица площ}{\underset{⏟}{(\frac{1}{| A_{(x; y)} |} \oint_{C} F \cdot d r)}}$ ‍

Тази връзка между ротация и криволинеен интеграл по затворена крива предполага, че иротационните (безвихровите) полета и потенциалните полета са едно и също нещо.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила

Сортирай по:

Все още няма публикации.

Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.