Основно съдържание

Курс: Анализ на функции на много променливи > Раздел 4

Урок 6: Двойни интеграли (статии)

Двоен интеграл за сумиране на величини, различни от обем

Двойните интеграли имат по-широко приложение от това да намираме единствено обем под тримерна графика. В тази статия ще разгледаме и други случаи, в които се използват двойните интеграли, един по-общ начин за тяхното записване и ще обясним логиката на двойното интегриране.

Преговор

Двойни интеграли върху области, които не са правоъгълни

Основни идеи

Двойните интеграли се използват винаги, когато искаме да разрежем една двумерна област на безкрайно много безкрайно малки площи, да умножим всяка от тях по някаква стойност и после да ги сумираме.
По-общият начин за записване на двоен интеграл е:
$\begin{array}{r} \iint_{R} f d A \end{array}$ ‍,
където
$R$ ‍ е областта, върху която интегрираме.
$d A$ ‍ означава "малко парче площ", което обикновено означава $d x d y$ ‍ или $d y d x$ ‍, освен ако не се използва различна координатна система.
$f (x; y)$ ‍ е функция на две променливи.

Пример 1: Маса на метален лист

Представи си метален лист с широчина

3

метра и височина

2

метра. Целта ни е да намерим масата въз основа на плътността, но уловката тук е, че плътността не е еднородна за целия метален лист.

За да опишем тази различна плътност с функция, първо ще поставим металния лист в равнината

x y

Долният ляв ъгъл се намира в началото на координатната система, а дългата му страна лежи върху оста

x

Да кажем, че плътността на този метален лист в

kg / m^{2}

е дадена със следната функция:

σ (x; y) = (\sin (π x) + 1) y

(

σ

е променливата, с която обикновено се изразява двумерна плътност). Плътността представлява маса на единица площ, така че може да ти се стори странно, че я дефинираме с функция, която разглежда отделни точки. Какво означава за една точка като точката

(1; 2)

да има плътност

σ (1; 2)

? Ако предпочиташ, можеш да си представиш, че тази функция дава плътността в една малка околност на всяка точка.

За да намерим масата на металния лист, можем да си представим, че го разрязваме на много миниатюрни парченца, всяко от които е правоъгълник, а после събираме масите им.

Представи си, че всеки правоъгълник има малка широчина

d x

и малка височина

d y

Да разгледаме един конкретен правоъгълник, например този, който съдържа точката

(1; 2)

. Понеже този правоъгълник е много малък, неговата плътност ще е почти константа

σ (1; 2)

. Колкото по-малки са парчетата, на които разрязваме металния лист, толкова по-близко сме до това да е вярно, че плътността на всеки малък правоъгълник е константа.

Това означава, че можем да намерим масата на всеки правоъгълник. Например,

\begin{array}{r} \underset{плътност}{\underset{⏟}{σ (1; 2)}} \underset{малка област}{\underset{⏟}{d x d y}} = (\sin (π) + 1) (2) d x d y = 2 d x d y \end{array}

За да получим масата на металния лист интегрираме всички тези малки маси. Понеже интегрираме върху двумерна област, ще използваме двоен интеграл. Внимание: Редът на интегралите зависи от това дали изразяваш тези малки площи на правоъгълниците като $d x d y$ ‍ или като $d y d x$ ‍

Проверка на понятията: Всеки от тези двойни интеграли представя масата на нашия метален лист, който е широк

3

метра и висок

2

метра:

Проверка на знанията: Като използваш функцията

σ (x; y) = (\sin (π x) + 1) y

, изчисли този двоен интеграл. (Ако не ти е ясно как може да направиш това, преговори въвеждащата статия за двойни интеграли)

\begin{array}{r} \int_{0}^{2} \int_{0}^{3} (\sin (π x) + 1) y d x d y = \end{array}

Разглеждане на малки площи

Видео плейър на видеоклиповете в Кан Академия

Виж видео транскрипцията

Когато за пръв път се запознахме с двойните интеграли, това беше в контекста на изчисляваме на обем под графика. Разсъждавахме по следния начин:

Първо разрязваме обема на безкрайно малки сечения. Всяко сечение съответства на някаква константна стойност на една от променливите, например на $x = 0, 78$ ‍.
Намираме площта на всяко от тези сечения. (Ето това прави вътрешният интеграл).
Превръщаме всяко сечение в нищожно малък обем, като му придаваме малка дължина. Това означава да умножим площта или по $d x$ ‍, или по $d y$ ‍, като избираме това, което съответства на малка стъпка в посока перпендикулярна на сечението.
Интегрираме тези безкрайно малки обеми, за да получим обема на цялото тяло. (Точно това прави външният интеграл).

За разлика от това в примера от предишната точка намирането на масата на металния лист изглежда по друг начин. Започнахме да разглеждаме малки площи, които умножихме по някаква константа (плътността) и след това направо ги събрахме.

И двата метода са еквивалентни. Когато стигнем до изчисляването, всичко изглежда по един и същ начин. Винаги единият интеграл е вътре в другия, изчисляваме първо вътрешния интеграл, а после външния интеграл.

Но все пак от гледна точка на визуализацията и осмислянето, представянето на един двоен интеграл чрез малки площи е различно от това да го представим като един линеен интеграл в друг интеграл. Например, когато изчисляваме обем под графика, като първо разделяме областта в равнината

x y

на малки площи, можем да си представим как събираме обемите на едни тънки колонки над тези малки площи.

Видео плейър на видеоклиповете в Кан Академия

Виж видео транскрипцията

Общ начин на записване на двойни интеграли

Когато разглеждаме двоен интеграл във връзка с малки площи, обичайно го записваме по следния начин:

\begin{array}{r} \iint_{R} f d A \end{array}

$R$ ‍

R

представлява площта, върху която интегрираме. Причината да се записва по този начин е в това, че когато съставяме интеграла не искаме да бъдем объркани с конкретна дефиниция на областта (която евентуално може да ни затрудни), докато описваме нещата.

Когато трябва да се изчисли интеграла, заместваме

\iint_{R}

с двойка единични интеграли, чиито граници могат да се изчислят. Когато областта

R

е правоъгълник, тези граници са константи:

\int_{y_{1}}^{y_{2}} \int_{x_{1}}^{x_{2}} \dots

Казано по-общо, когато областта

R

е дефинирана чрез някакви криви в равнината

x y

, границите на вътрешния интеграл се изразяват като функции на външната променлива:

\int_{y_{1}}^{y_{2}} \int_{x_{1} (y)}^{x_{2} (y)} \dots

(Виж последната статия, за да упражниш идеята.)

$d A$ ‍

d A

представлява малка площ, по същия начин както

d x

представлява малка дължина в обикновения интеграл.

Можеш да си представиш, че нарязваме областта

R

на много малки парченца, като този член представлява площта на тези парченца. Когато стигнеш до изчисляването на двойния интеграл, замествам това с

d x d y

или

d y d x

. В различни координатни системи има различни начини за разделяне на това

d A

, но това ще разгледаме в следващата статия.

$f (x; y)$ ‍

f (x; y)

е някаква функция на две променливи. Когато разделим областта на малки парченца, всяко парченце обикновено съответства на някаква величина, която ще събираме. Може би тази величина е маса, или малък обем на тънка колонка под графиката.

Обикновено можеш да изразиш това малко количество като нещо по площта на твоите малки парченца. Например масата на едно парченце е плътността по площта, а обемът на една колонка над това парченце е височината на колонката по площта.

В тези примери функцията

f (x; y)

представлява плътност или височина. В общия случай това е нещо, което ще умножим по площта

d A

на едно малко парченце, и това нещо по принцип зависи от местоположението на малкото парченце, като това местоположение е изразено като координати

(x; y)

"А какво се случва, ако не мога да изразя тази малка величина, която искам да сумирам, като нещо по

d A

В такъв случай двойните интеграли не са подходящи за задачата. Макар че не се сещам за нито един пример, когато това не може да се направи...

Този абстрактен начин за записване има две предимства:

Простота: Когато започнеш да решаваш една задача или искаш бързо да нахвърляш един двоен интеграл, за да представиш идеята си, без да навлизаш в подробности, е чудесно, че има бърза начин за записване. Много от теоремите и инструментите, използвани в анализа на функции на много променливи, използват точно този абстрактен начин на записване.
Универсалност: Записването на интеграла като $\iint_{R} f d A$ ‍ ти дава различни опции за неговото изчисляване. Например в следващата статия ще разгледаме двойни интеграли с полярни координати, при които развиваме $d A$ ‍, а определянето на границите на интегриране се различава от това при правоъгълни координати.

Пример 2: Център на масата

Къде се намира центърът на масата на един полудиск?

За простота да кажем, че радиусът на диска е

1

, и да го ориентираме така, че диаметърът му да лежи на оста

y

. Ще приемем, че дискът има еднородна плътност.

Много интересна задача, не мислиш ли? Можем да предположим, че отговорът е някъде малко вляво от точката

(0, 5; 0)

, но очевидно това не е точен отговор, нали?

Поради вертикалната симетрия на този полудиск, можем да кажем, че центърът на неговата маса ще лежи на оста

x

. Това, което търсим, е "средната стойност на

x

" за точките от диска.

Проверка на понятията: Ако

H

е този полудиск, а

| H |

е неговата площ, кой от следните интеграли, записани абстрактно, представя стойността

x

за центъра на масата на

H

Проверка на понятията: Каква е площта на полудиска

H

| H | =

Проверка на понятията: Кое от следните е правилният начин да превърнем интеграла

\iint_{H} x d A

във вид, подходящ за изчисление?

За домашно: Реши този интеграл и с негова помощ намери центъра на масата на

H

x

-координата на центъра на масата:

Обобщение

Двойните интеграли се използват винаги, когато искаме да разрежем една двумерна област на безкрайно много безкрайно малки площи, да умножим всяка от тях по някаква стойност и после да ги сумираме.

По-общият начин за записване на двоен интеграл е:

\begin{array}{r} \iint_{R} f d A \end{array}

,
където

$R$ ‍ е областта, върху която интегрираме.
$d A$ ‍ означава "малко парче площ", което обикновено означава $d x d y$ ‍ или $d y d x$ ‍, освен ако не се използва различна координатна система.
$f (x; y)$ ‍ е функция на две променливи.

Отсега нататък двойните интеграли ще присъстват неотлъчно в повечето нови теми в анализа на функции на много променливи. В повечето случаи това ще ни помага да разсъждаваме какво се случва вътре в една "малка площ" на дадена област, а не просто да интегрираме спрямо някаква крива и после да интегрираме в посока, перпендикулярна на първата.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила

Сортирай по:

Все още няма публикации.

Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.

Анализ на функции на много променливи