If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

Анализ на функции на много променливи

Курс: Анализ на функции на много променливи > Раздел 5

Урок 3: Теорема на Грийн (статии)
Математика
Анализ на функции на много променливи
Теорема на Грийн, теорема на Стокс и теорема за дивергенцията
Теорема на Грийн (статии)
© 2023 Khan AcademyУсловия за ползванеДекларация за поверителностПолитика за Бисквитки

Теорема на Грийн

Класна стая на Google
Теоремата на Грийн свързва двойния интеграл на ротацията и някакъв криволинеен интеграл. Това всъщност е нещо много красиво!

Преговор

Незадължителни теми, но необходими за по-добро разбиране:

Допълнителен материал

Примери за използването на теоремата на Грийн за решаване на задачи можеш да намериш в следната статия. В настоящата статия ще разгледаме доказателство на теоремата, което е много красиво. Различна гледка точка можеш да намериш в това видео на Сал по темата.

Един урок, четири ползи

Теоремата на Грийн е една от четирите основни теореми, които са кулминация на анализа на функции на много променливи:
  • Теорема на Грийн
  • Теорема за двумерната дивергенция
  • Теорема на Стокс
  • Теорема за тримерната дивергенция
Добрата новина е тази: тези четири теореми почиват на много сходна логика. Ако разбереш много добре теоремата на Грийн, ще си изминал/а по-голямата част от пътя за разбирането на останалите три!

Основни идеи

  • Условие:
    • start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99 е двумерно векторно поле.
      • start color #bc2612, R, end color #bc2612 е област в равнината x, y.
      • start color #bc2612, C, end color #bc2612 е контурът на тази област, който е ориентиран обратно на часовниковата стрелка.
  • Теоремата на Грийн гласи, че криволинейният интеграл start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99 по контура на областта start color #bc2612, R, end color #bc2612 е равен на двойния интеграл от ротацията на векторното поле start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99 в областта start color #bc2612, R, end color #bc2612:
    \iint, start subscript, start color #bc2612, R, end color #bc2612, end subscript, start text, 2, d, negative, r, o, t, end text, start bold text, F, end bold text, d, A, equals, \oint, start subscript, start color #bc2612, C, end color #bc2612, end subscript, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, dot, d, start bold text, r, end bold text
  • Лявата страна можеш да си представиш като сумиране на всички малки ротации в рамките на областта start color #bc2612, R, end color #bc2612, а дясната страна измерва общата ротация на флуида около контура start color #bc2612, C, end color #bc2612 на областта start color #bc2612, R, end color #bc2612.
  • Често start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99 се записва чрез компонентите си по следния начин:
    start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, left parenthesis, x, ;, y, right parenthesis, equals, P, left parenthesis, x, ;, y, right parenthesis, start bold text, i, end bold text, with, hat, on top, plus, Q, left parenthesis, x, ;, y, right parenthesis, start bold text, j, end bold text, with, hat, on top
    Ето как изглежда теоремата на Грийн, изразена чрез P и Q:
\oint, start subscript, start color #bc2612, C, end color #bc2612, end subscript, P, d, x, plus, Q, d, y, equals, \iint, start subscript, start color #bc2612, R, end color #bc2612, end subscript, left parenthesis, start fraction, \partial, Q, divided by, \partial, x, end fraction, minus, start fraction, \partial, P, divided by, \partial, y, end fraction, right parenthesis, d, A

Ротация на флуид около контур

Представи си някакво петно във векторно поле.
  • start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, left parenthesis, x, ;, y, right parenthesis е функцията на векторното поле. И както вероятно вече свикна от останалите статии, в които са намесени векторни полета, представи си, че start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99 представлява флуидният поток.
  • start color #bc2612, R, end color #bc2612 е област в равнината x, y. В практиката в повечето задачи тази област ще е добре дефинирана, например като кръг или като граница между две графики, но сега ще разгледаме една произволна област с формата на петно.
  • start color #bc2612, C, end color #bc2612 е контурът на областта start color #bc2612, R, end color #bc2612, ориентиран обратно на часовниковата стрелка. Запомни тази ориентация, защото тя е важна при решаването на задачите. "Обратно на часовниковата стрелка". Запомни ли?
Проверка на концепцията: Как можем да тълкуваме следния криволинеен интеграл от гледна точка на флуидния поток?
\oint, start subscript, start color #bc2612, C, end color #bc2612, end subscript, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, dot, d, start bold text, r, end bold text
(Запомни, че в един криволинеен интеграл във векторно поле членът d, start bold text, r, end bold text представлява малка стъпка по протежение на кривата, като вектор, който в този случай винаги сочи по посока обратна на часовниковата стрелка.)
Избери един отговор:

Ето един начин да разглеждаме криволинейния интеграл \oint, start subscript, start color #bc2612, C, end color #bc2612, end subscript, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, dot, d, start bold text, r, end bold text : Представи си, че се возиш с лодка по контура start color #bc2612, C, end color #bc2612, като се движиш обратно на часовниковата стрелка.
Във всяка точка от твоето пътуване векторът d, start bold text, r, end bold text показва посоката на движение. Скаларното произведение start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, dot, d, start bold text, r, end bold text е положително в точките, в които флуидният поток се движи в същата посока като теб, а е отрицателно, когато течението е срещу тебе.
По принцип криволинейният интеграл \oint, start subscript, start color #bc2612, C, end color #bc2612, end subscript, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, dot, d, start bold text, r, end bold text сумира всички тези скаларни произведения, за да ни покаже дали течението ти помага, или ти пречи.
Криволинейният интеграл е положителен, когато флуидният поток има обща посока обратна на часовниковата стрелка около границата start color #bc2612, C, end color #bc2612 (което в случая означава, че като цяло помага на гребанетоl), и би бил отрицателен при посока по часовниковата стрелка (когато би затруднявал придвижването на лодката).

Преместване на границата във вътрешността

Теоремата на Грийн пренася идеята за ротация на флуида от границата на областта start color #bc2612, R, end color #bc2612 във вътрешността на start color #bc2612, R, end color #bc2612. Това означава да раздробим областта start color #bc2612, R, end color #bc2612 на голям брой малки парченца. Във формулите това означава да намерим двоен интеграл от start text, 2, d, negative, r, o, t, end text, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99.

Раздробяване на областта

Представи си, че разделяме областта start color #bc2612, R, end color #bc2612 с една права точно през средата, при което получаваме две подобласти start color #bc2612, R, start subscript, 1, end subscript, end color #bc2612 и start color #bc2612, R, start subscript, 2, end subscript, end color #bc2612:
Ще означим границите на тези две области с start color #0d923f, C, start subscript, 1, end subscript, end color #0d923f и start color #a75a05, C, start subscript, 2, end subscript, end color #a75a05. Какво се случва, ако вземем криволинейните интеграли върху start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99 по тези две граници и после съберем интегралите?
\oint, start subscript, start color #0d923f, C, start subscript, 1, end subscript, end color #0d923f, end subscript, start color #0c7f99, F, end color #0c7f99, dot, d, start bold text, r, end bold text, plus, \oint, start subscript, start color #a75a05, C, start subscript, 2, end subscript, end color #a75a05, end subscript, start color #0c7f99, F, end color #0c7f99, dot, d, start bold text, r, end bold text
Обърни внимание, че тези два криволинейни интеграла ще се компенсират по протежение на вертикалната линия, която сме спуснали. По-точно интегралът по контура start color #0d923f, C, start subscript, 1, end subscript, end color #0d923f се движи "нагоре" по тази линия, докато интегралът по контура start color #a75a05, C, start subscript, 2, end subscript, end color #a75a05 интегрира "надолу" по тази линия. (Спомни си, че когато използваме криволинеен интеграл във векторно поле, промяната на посоката по контура означава да умножим получения резултат по minus, 1).
Това означава, че сумата от двата интеграла е равна на това, което се получава, когато интегрираме по първоначалния контур start color #bc2612, C, end color #bc2612.
\oint, start subscript, start color #0d923f, C, start subscript, 1, end subscript, end color #0d923f, end subscript, start color #0c7f99, F, end color #0c7f99, dot, d, start bold text, r, end bold text, plus, \oint, start subscript, start color #a75a05, C, start subscript, 2, end subscript, end color #a75a05, end subscript, start color #0c7f99, F, end color #0c7f99, dot, d, start bold text, r, end bold text, equals, \oint, start subscript, start color #bc2612, C, end color #bc2612, end subscript, start color #0c7f99, F, end color #0c7f99, dot, d, start bold text, r, end bold text

Отново срязваме

Можем да направим същото още веднъж, този път например с хоризонтална линия:
Ако интегрираме по границите на получените подобласти, интегралите отново ще се компенсират по протежение на срязването, което направихме във вътрешността на областта start color #bc2612, R, end color #bc2612:
Изразено чрез формули това означава, че сумата от криволинейните интеграли върху четирите подобласти дава резултат, който е равен на криволинейния интеграл върху цялата област:
\oint, start subscript, start color #bc2612, C, start subscript, 1, end subscript, end color #bc2612, end subscript, start color #0c7f99, F, end color #0c7f99, dot, d, start bold text, r, end bold text, plus, \oint, start subscript, start color #bc2612, C, start subscript, 2, end subscript, end color #bc2612, end subscript, start color #0c7f99, F, end color #0c7f99, dot, d, start bold text, r, end bold text, plus, \oint, start subscript, start color #bc2612, C, start subscript, 3, end subscript, end color #bc2612, end subscript, start color #0c7f99, F, end color #0c7f99, dot, d, start bold text, r, end bold text, plus, \oint, start subscript, start color #bc2612, C, start subscript, 4, end subscript, end color #bc2612, end subscript, start color #0c7f99, F, end color #0c7f99, dot, d, start bold text, r, end bold text, equals, \oint, start subscript, start color #bc2612, C, end color #bc2612, end subscript, start color #0c7f99, F, end color #0c7f99, dot, d, start bold text, r, end bold text
Трябва да изтъкнем, че това е вярно само тогава, когато всички контури start color #bc2612, C, start subscript, 1, end subscript, end color #bc2612, comma, dots, comma, start color #bc2612, C, start subscript, 4, end subscript, end color #bc2612 са ориентирани по един и същ начин. В противен случай те не биха се компенсирали по срязващите линии. Обикновено посоката обратно на часовниковата стрелка се приема като положителна, така че можем да разглеждаме всичко като ориентирано обратно на часовниковата стрелка.

Срязваме многократно

Вероятно се досещаш каква е нашата цел. Представи си, че раздробяваме областта start color #bc2612, R, end color #bc2612 на голям брой малки парченца start color #bc2612, R, start subscript, 1, end subscript, end color #bc2612, comma, dots, comma, start color #bc2612, R, start subscript, n, end subscript, end color #bc2612. Ориентираме всички контури start color #bc2612, C, start subscript, 1, end subscript, end color #bc2612, comma, dots, comma, start color #bc2612, C, start subscript, n, end subscript, end color #bc2612 обратно на часовниковата стрелка и интегрираме функцията start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99 върху всяко малко парченце от областта.
Интегралите ще се компенсират по протежение на срязванията вътре в самата област start color #bc2612, R, end color #bc2612. Това е така, понеже за всяко срязване единият интеграл ще се движи в едната посока, а другият в обратната посока. В крайна сметка всички части, където тези интеграли не се компенсират, са частите от първоначалната (външната граница) start color #bc2612, C, end color #bc2612.
Това означава, че събираме криволинейните интеграли по тези малки контури на малките парченца, което ще даде същия резултат като интегрирането върху цялата област:
sum, start subscript, k, equals, 1, end subscript, start superscript, n, end superscript, left parenthesis, \oint, start subscript, start color #bc2612, C, start subscript, k, end subscript, end color #bc2612, end subscript, start color #0c7f99, F, end color #0c7f99, dot, d, start bold text, r, end bold text, right parenthesis, equals, \oint, start subscript, start color #bc2612, C, end color #bc2612, end subscript, start color #0c7f99, F, end color #0c7f99, dot, d, start bold text, r, end bold text

Интегриране на ротацията

Защо правим това? Защото това е друг начин да тълкуваме всеки от тези криволинейни интеграли върху малко парченце с помощта на двумерна ротация. Избираме едно такова парченце и го разглеждаме под лупа.
  • Избираме парченцето start color #bc2612, R, start subscript, k, end subscript, end color #bc2612 с граница (контур) start color #bc2612, C, start subscript, k, end subscript, end color #bc2612.
  • vertical bar, start color #bc2612, R, start subscript, k, end subscript, end color #bc2612, vertical bar е площта на парченцето start color #bc2612, R, start subscript, k, end subscript, end color #bc2612, която е някаква много малка стойност.
  • Точката start color #a75a05, left parenthesis, x, start subscript, k, end subscript, ;, y, start subscript, k, end subscript, right parenthesis, end color #a75a05 е произволна вътрешна точка за това малко парченце.
Ротацията на флуида в това парченце в резултат на start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99 може да се определи с криволинейният интеграл \oint, start subscript, start color #bc2612, C, start subscript, k, end subscript, end color #bc2612, end subscript, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, dot, d, start bold text, r, end bold text. Представи си една малка лодка с гребла. Понеже това е едно наистина много малко парченце, тук се появява още едно понятие от анализа на функции на много променливи, с което измерваме ротацията на флуида и бележим с rot.
Криволинейният интеграл може да се апроксимира, като намерим start text, 2, d, negative, r, o, t, end text от start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99 във всяка точка в областта start color #bc2612, R, start subscript, k, end subscript, end color #bc2612, и го умножим по (малката) площ vertical bar, start color #bc2612, R, start subscript, k, end subscript, end color #bc2612, vertical bar:
∮CkF⋅dr⏟Интеграл върхумалко парченце Rk≈(2d-rot F(xk;yk)⏟Точка в Rk)∣Rk∣⏟Площ на Rk\displaystyle \underbrace{ \oint_\redE{C_k} \blueE{\textbf{F}} \cdot d\textbf{r} }_{\substack{ \text{Интеграл върху} \\ \text{малко парченце $\redE{R_k}$} }} \approx \left( \text{2d-rot}\,\blueE{\textbf{F}} \underbrace{ \goldE{(x_k; y_k)} }_{\text{Точка в $\redE{R_k}$}} \right) \underbrace{|\redE{R_k}|}_{\text{Площ на $\redE{R_k}$}}
И нещо много важно, колкото по-малко е парченцето start color #bc2612, R, start subscript, k, end subscript, end color #bc2612, толкова по-точна е апроксимацията.
Като съберем тези апроксимации от всички малки парченца start color #bc2612, R, start subscript, k, end subscript, end color #bc2612, получаваме следното:
sum, start subscript, k, equals, 1, end subscript, start superscript, n, end superscript, left parenthesis, \oint, start subscript, start color #bc2612, C, start subscript, k, end subscript, end color #bc2612, end subscript, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, dot, d, start bold text, r, end bold text, right parenthesis, approximately equals, sum, start subscript, k, equals, 1, end subscript, start superscript, n, end superscript, left parenthesis, start text, 2, d, negative, r, o, t, end text, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, start underbrace, start color #a75a05, left parenthesis, x, start subscript, k, end subscript, ;, y, start subscript, k, end subscript, right parenthesis, end color #a75a05, end underbrace, start subscript, start text, Т, о, ч, к, и, space, в, space, start color #bc2612, R, start subscript, k, end subscript, end color #bc2612, end text, end subscript, vertical bar, start color #bc2612, R, start subscript, k, end subscript, end color #bc2612, vertical bar, right parenthesis
Като използваме резултата, получен в предходната точка, лявата страна отгоре е равна на криволинейния интеграл по целия контур на областта start color #bc2612, R, end color #bc2612, така че можем да преработим апроксимацията по следния начин:
\oint, start subscript, start color #bc2612, C, end color #bc2612, end subscript, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, dot, d, start bold text, r, end bold text, approximately equals, sum, start subscript, k, equals, 1, end subscript, start superscript, n, end superscript, left parenthesis, start text, 2, d, negative, r, o, t, end text, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, start underbrace, start color #a75a05, left parenthesis, x, start subscript, k, end subscript, ;, y, start subscript, k, end subscript, right parenthesis, end color #a75a05, end underbrace, start subscript, start text, Т, о, ч, к, и, space, в, space, start color #bc2612, R, start subscript, k, end subscript, end color #bc2612, end text, end subscript, vertical bar, start color #bc2612, R, start subscript, k, end subscript, end color #bc2612, vertical bar, right parenthesis
Сега да разгледаме внимателно сумата отдясно.
  • Тя включва скаларната функция start text, 2, d, negative, r, o, t, end text, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99
  • Сумата върху голям брой малки парченца start color #bc2612, R, start subscript, k, end subscript, end color #bc2612 на двумерната област start color #bc2612, R, end color #bc2612.
  • За всяко парченце в границите, в които сумираме, функцията се изчислява във вътрешна точка на това парченце, а после се умножава по площта.
Звучи ли ти познато? Това е същото като двоен интеграл! (Ако не ти е познато, виж тази статия за двойните интеграли).
Ако си представиш, че раздробим областта start color #bc2612, R, end color #bc2612 на все по-малки и по-малки парчета, можеш да замениш горната сума с двоен интеграл от start text, 2, d, negative, r, o, t, end text, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99 върху областта start color #bc2612, R, end color #bc2612:
sum, start subscript, k, equals, 1, end subscript, start superscript, n, end superscript, left parenthesis, start text, 2, d, negative, r, o, t, end text, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, start underbrace, start color #a75a05, left parenthesis, x, start subscript, k, end subscript, ;, y, start subscript, k, end subscript, right parenthesis, end color #a75a05, end underbrace, start subscript, start text, Т, о, ч, к, и, space, в, space, start color #bc2612, R, start subscript, k, end subscript, end color #bc2612, end text, end subscript, vertical bar, start color #bc2612, R, start subscript, k, end subscript, end color #bc2612, vertical bar, right parenthesis, right arrow, \iint, start subscript, start color #bc2612, R, end color #bc2612, end subscript, start text, 2, d, negative, r, o, t, end text, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, start color #bc2612, d, A, end color #bc2612
Като обединим всичко това, получаваме следното:
∮CF⋅dr=∑k=1n(∮CkF⋅dr)≈∑k=1n(2d-rot F(xk;yk)⏟Точки в Rk ∣Rk∣)→∬R2d-rot F dA\begin{aligned} \oint_\redE{C} \blueE{\textbf{F}} \cdot d\textbf{r} &= \sum_{k = 1}^n \left( \oint_\redE{C_k} \blueE{\textbf{F}} \cdot d\textbf{r} \right) \\\\ &\approx \sum_{k = 1}^n \left( \text{2d-rot}\,\blueE{\textbf{F}} \underbrace{ \goldE{(x_k; y_k)} }_{\text{Точки в $\redE{R_k}$}} \,|\redE{R_k}| \right) \\\\ &\to \iint_\redE{R} \text{2d-rot}\,\blueE{\textbf{F}} \,\redE{dA} \end{aligned}
Това не е просто апроксимация – криволинейният интеграл по контура е равен на двойния интеграл от двумерната ротация:
\oint, start subscript, start color #bc2612, C, end color #bc2612, end subscript, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, dot, d, start bold text, r, end bold text, equals, \iint, start subscript, start color #bc2612, R, end color #bc2612, end subscript, start text, 2, d, negative, r, o, t, end text, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, start color #bc2612, d, A, end color #bc2612
Този удивителен факт се нарича Теорема на Грийн. Може да се прочете по следния начин: ротацията на флуида около целия контур на една област (лявата страна) е равна на това да намерим всички "малки ротации" в малките парченца в областта и да ги съберем (дясната страна).

Друг начин за записване

Много често може да срещнеш теоремата на Грийн записана по следния начин:
\oint, start subscript, start color #bc2612, C, end color #bc2612, end subscript, P, d, x, plus, Q, d, y, equals, \iint, start subscript, start color #bc2612, R, end color #bc2612, end subscript, left parenthesis, start fraction, \partial, Q, divided by, \partial, x, end fraction, minus, start fraction, \partial, P, divided by, \partial, y, end fraction, right parenthesis, d, A
Това е просто записване на скаларното произведение в криволинейния интеграл от лявата страна, както и на ротацията в двойния интеграл отдясно. По някаква причина много често се използват буквите P и Q за означаване на компонентите на векторната функция start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, left parenthesis, x, ;, y, right parenthesis:
F(x;y)=P(x;y)i^+Q(x;y)j^=[P(x;y)Q(x;y)]\displaystyle \blueE{\textbf{F}}(x; y) = P(x; y)\hat{\textbf{i}} + Q(x; y)\hat{\textbf{j}} = \left[ \begin{array}{c} P(x; y) \\ Q(x; y) \end{array} \right]
В следващата статия ще видиш как се използва тази формула за опростяване на криволинейни или на двойни интеграли.

Обобщение

  • Можем да разглеждаме криволинейния интеграл \oint, start subscript, start color #bc2612, C, end color #bc2612, end subscript, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, dot, d, start bold text, r, end bold text като мярка за ротацията на флуида, представена чрез векторното поле start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, left parenthesis, x, ;, y, right parenthesis около контура start color #bc2612, C, end color #bc2612. Ротацията обратно на часовниковата стрелка е прието да се счита за положителна, затова start color #bc2612, C, end color #bc2612 трябва да има ориентация обратно на часовниковата стрелка.
  • Представи си, че раздробяваме на голям брой малки парченца двумерна област start color #bc2612, R, end color #bc2612, ограничена от контура start color #bc2612, C, end color #bc2612. Означаваме границите на тези парченца като start color #bc2612, C, start subscript, 1, end subscript, end color #bc2612, comma, dots, comma, start color #bc2612, C, start subscript, n, end subscript, end color #bc2612, и избираме за всички тях ориентация обратно на часовниковата стрелка. След това събираме криволинейните интеграли start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99 по контурите на тези парченца start color #bc2612, C, start subscript, k, end subscript, end color #bc2612, което ни дава резултат, равен на криволинейния интеграл по целия контур start color #bc2612, C, end color #bc2612.
    sum, start subscript, k, equals, 1, end subscript, start superscript, n, end superscript, left parenthesis, \oint, start subscript, start color #bc2612, C, start subscript, k, end subscript, end color #bc2612, end subscript, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, dot, d, start bold text, r, end bold text, right parenthesis, equals, \oint, start subscript, start color #bc2612, C, end color #bc2612, end subscript, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, dot, d, start bold text, r, end bold text
    Това означава, че "малките" криволинейни интеграли се компенсират по протежение на срязванията вътре в областта start color #bc2612, R, end color #bc2612
  • Колкото по-малки стават тези парченца, криволинейният интеграл по контура на всяко малко парченце може да се апроксимира с помощта на двумерната ротация:
∮CkF⋅dr⏟Интеграл върхумалко парченце Rk≈(2d-rot F(xk;yk)⏟Точка в Rk)∣Rk∣⏟Площ на Rk\displaystyle \underbrace{ \oint_\redE{C_k} \blueE{\textbf{F}} \cdot d\textbf{r} }_{\substack{ \text{Интеграл върху} \\ \text{малко парченце $\redE{R_k}$} }} \approx \left( \text{2d-rot}\,\blueE{\textbf{F}} \underbrace{ \goldE{(x_k; y_k)} }_{\text{Точка в $\redE{R_k}$}} \right) \underbrace{|\redE{R_k}|}_{\text{Площ на $\redE{R_k}$}}
  • Събираме всички тези "фрагменти от ротацията" чрез двоен интеграл върху областта start color #bc2612, R, end color #bc2612 и използваме факта, че сумата на криволинейните интеграли се компенсира по вътрешните части на контурите, и така получаваме теоремата на Грийн:
    \oint, start subscript, start color #bc2612, C, end color #bc2612, end subscript, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, dot, d, start bold text, r, end bold text, equals, \iint, start subscript, start color #bc2612, R, end color #bc2612, end subscript, start text, 2, d, negative, r, o, t, end text, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, start color #bc2612, d, A, end color #bc2612

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила
Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.