Доказателство на теоремата на Грийн (част 1)

Да кажем, че ни е дадена някаква траектория в равнината ху. Това е оста у, това е оста х, а траекторията изглежда ето така. Искам да начертая една произволна траектория, и нека да приемем, че се движим обратно на часовниковата стрелка, ето по този начин. Можем да наречем тази траектория... значи се движим срещу часовниковата стрелка... можем да наречем тази траектория 'c'. И нека да ни е дадено едно векторно поле. Това е едно малко необичайно векторно поле. Ще го означа с `p`. p от (х; у). То има само компонент i, или всичките му вектори са кратни на вектора i. Значи главно Р от (х; у) по единичния вектор i. Нямаме компонент j, така че ако трябва да начертая това векторно поле, всички вектори в него са кратни на единичния вектор i. Те може да са също така и кратни с отрицателен знак, така че може да сочат и в тази посока. Но те не сочат по диагонала, нито нагоре. Всички сочат от ляво надясно или от дясно наляво. Ето така изглежда това векторно поле. Сега искам да намеря криволинейния интеграл по затворената крива `с`, или по затворения контур `с` – интеграл от `р` по dr, което е просто обичайния начин за намиране на криволинеен интеграл. Вече сме виждали това dr и преди. dr по същество е dx по i, плюс dy по единичния вектор j. Може би ще попиташ дали това не е dx, dt по dt. Ще го напиша това: дали dr не може да се запише като dx,dt по dt по i, плюс dy по dt по j? Да, може, но ако си представиш тези диференциали, те могат да се съкратят, и тогава ще ни остане само dx и dy, което сме виждали много пъти. Затова ще го оставя така, понеже, надявам се, ако внимаваме, то няма да имаме работа с третия параметър t. Така че сега да го разгледаме в този вид ето тук, само с dx и dy. Значи този интеграл може да се преработи като криволинеен интеграл, кривата `c`... всъщност ще го направя ето тук. Криволинеен интеграл по затворен контур (кривата`с`) от `р`по dr. Намираме произведението на всеки от коефициентите, например коефициента на компонента i, така че получаваме Р... ще използвам зелено, всъщност ще е лилаво – получаваме Р от (х; у) по dx плюс – тук няма 0 по j по dy, 0 по dy по j ще бъде просто 0, така че нашият криволинеен интеграл се опростява до това нещо ето тук. Това е равно на първоначалния интеграл тук горе, така че буквално ние преместваме криволинейния интеграл по тази крива. Казах, че ако си изиграем правилно картите, тогава няма да се наложи да си имаме работа с третата променлива t, така че ще можем просто да решим този интеграл само относно х. Да видим можем ли да го направим. Да разгледаме минималните и максималните стойности на х. Това изглежда като минимална стойност на х. Ще я означа с 'a'. Тази максимална стойност на х ще означа с `b`. Сега можем да разделим тази крива на две функции от х. у е функция от х. Тази отдолу можем да означим като у1 от х. Това е просто стандартна крива, както в обикновения анализ на функции на една променлива, това можеш да си го представиш като f от х, която е функция от х. Това е у2 от х. Ето така. Представи си две части; едната дефинирана от у1 от х – ще повторя с това с различен цвят, в цикламено – едната част е дефинирана от у1 от х, когато х е в интервала от а до b, а после втората крива е дефинирана от у2 от х, когато х е в интервала от х = b до х = а. Това е нашата крива. Това, което можем да направим, е да преработим интеграла... това е същото като този интеграл... първо ще направим първата траектория – за х в интервала от а до b, интеграл от Р от х. Мога да кажа Р от х и от у, но ние знаем, че по тази крива у е функция от х, то е у1 от х. Значи казваме х и у1 от х. Навсякъде, където има у, го заместваме с у1 от х, dx. Това съответства на първия път – ще го направя със същия цвят. Можем да си представим, че това е с1. Това е един вид първата половина на кривата – не точно половината, но това ни отвежда от тази точка до тази точка. След това искаме да затворим кривата. Може би ще направя това в жълто. Това тук е равно на... извинявам се, трябва да съберем тези двете – плюс интеграл от х равно на b до х равно на а, от – ще използвам същия цвят – от Р от х... Сега у ще бъде у2 от х. Навсякъде, където има у, го заместваме с у2 от х по протежение на тази крива. у2 от х, dx. Това вече става интересно и може би вече се досещаш накъде отива това. Значи това е кривата с2. Предполагам, че разбираш, че когато съберем с1 и с2, ще получим цялата крива. Да видим дали можем да опростим малко интеграла. Едно нещо, което можем да направим, е да направим еднакви крайните точки. Ако разменим местата на а и на b, тогава интегралът става със знак минус. Ако горната граница стане b, а долната граница ако стане а, тогава този знак плюс ще стане знак минус. Сега можем да преработим цялото това нещо да е равно на интеграл от а до b от това нещо, от Р от х и от у1 от х, минус това нещо, минус Р от х и от у2 от х, а после всичко това е по dx. Ще използвам трети цвят за това. Всичко това по dx. Сега ще направя нещо малко произволно, но мисля, че ще разбереш защо го правя до края на видеото, и това е една много проста операция. Сега ще разменя тези двете. Ще умножа цялото това нещо по минус 1, или по-точно ще умножа и ще разделя на минус 1. Мога да умножа това по минус 1 и после да умножа външната част по минус 1, и това няма да промени интеграла; все едно умножавам по минус 1 два пъти подред. Значи ще разменя тези две неща, ако умножа вътре по минус 1, значи това ще стане равно на – това е външната част на интеграла, а до b. Ако умножа вътрешната част – тук имаме dx – ако умножа вътрешната част на интеграла по минус 1, тези двете се разменят. Това става Р от х и от у2 от х и минус Р от х и у1 от х. Започнах да пиша грозно. Но аз не мога просто да умножа вътре по минус 1. Не искам да променям интеграла, така че ще умножа вътре по минус 1, но ще умножа и отвън по минус 1. Понеже умножавам по минус 1 два пъти, тези две неща са еквивалентни. Можем да кажем, че това е това с обратен знак. И по двата начина, смятам, че разбираш, че не сме променили интеграла изобщо, числово. Умножавам вътре и вън по минус 1. Следващата стъпка, която ще направя, може да ти изглежда малко непозната, но мисля, че ще я оцениш. Но може и да ти се стори очевидна, ако наскоро си решавал/а двойни интеграли. Значи това може да се представи като минус интеграл от а до b – ще използвам нов цвят – от функцията Р от х, у изчислено за у2 от х, минус... искам само да поясня – това е у равно на у2 от х – минус тази функция, изчислена за у равно на у1 от х. И, разбира се, всичко това е по dx. Това твърдение и това, което виждаме тук – и това твърдение тук – те са напълно идентични. След това, ако приемем, че частната производна от главно Р относно у съществува, тогава се надявам, че разбираш... ще се фокусирам върху това, защото не искам да се объркаш в тази стъпка. Ще запиша външната част на интеграла. Значи това ще е равно на... това ще е един елегантен резултат, и ние се подготвяме за един много елегантен резултат, който вероятно ще получим в следващото видео – значи отвън имаме dx. Ако приемем, че главно Р има частна производна, това тук е точно това нещо. Това ето тук е точно същото като частната производна на Р относно у, dy, примитивната функция на това от у1 от х до у2 от х. Искам да осмислиш факта, че тези две неща са еквивалентни За да разбереш, че са еквивалентни, вероятно трябва просто да започнеш от тук и после да дойдеш до тук. Свикнали сме да виждаме това; свикнали сме с двойни интеграли като този, и тогава първата ни стъпка в решаването на този двоен интеграл е да започнем от вътрешния интеграл ето тук, и да намерим примитивната функция на това относно у. Ако намерим примитивната функция на частната производна на Р относно у, ще получим Р. Понеже това е определен интеграл, границите му са изразени чрез х, тогава ще сметнем това от у равно на у2 от х и ще извадим от него у равно на у1 от х. Обикновено започваме с нещо подобно, и правим нещо като това. Донякъде е необичайно, че започваме с решението на определения интеграл, а после бавно стигаме до самия определен интеграл. Надявам се, че разбираш, че това е правилно, че това е просто начин да работим в обратна посока на начина, с който сме свикнали. Ако разбираш това, тогава ние просто сме достигнали до един много хубав резултат. Защото какво е това ето тук? Ще се върна, за да видя дали можем да сместим всичко. Имаме някаква функция... допускам, че частно Р относно у съществува – но ние имаме някаква функция, която е дефинирана в равнината ху. Разбираш, че можеш да си представиш, че сега вече сме в три измерения. Ще го начертая малко по-хубаво. Значи това е у, това е х, това е z, така че това, досещаш се, това е някаква повърхнина, това просто е частно Р относно х. Значи това е някаква повърхнина в равнината ху, ето така. И какво правим сега? Намираме двоен интеграл по тази повърхнина в тази област. Границите на областта, изразени чрез у, са дефинирани от у2 и у1 от х. Значи буквално имаме тази крива. Това отгоре е у2, а отдолу е у1. По същество намираме обема над това... Ако си представиш, че тази основа е – целият под отдолу е площта вътре в кривата, а тогава височината ще бъде функция от частно Р относно у. Значи височината е тази функция частно Р относно у. Това е малко трудно, за да го начертая, но това е по същество някакъв вид обем, ако искаме да го визуализираме по този начин. Но наистина много хубавият резултат тук е, ако означим тази област с R, то ние просто сме опростили този криволинеен интеграл. А този беше специален. Той имаше само х-компонент, векторното поле, но ние опростихме този криволинеен интеграл да е еквивалентен на... може би трябва да запиша този криволинеен интеграл, защото това наистина е много хубав резултат. Ние току-що установихме, че това нещо ето тук, което е същото като първоначалния интеграл – ще запиша това. Криволинейният интеграл по затворен контур около кривата `с` от Р от (х; у), dx, ние току-що доказахме, че това е същото нещо като двойния интеграл в областта R – това е областта R – от частната производна на Р относно у. Можем да запишем dy, dx, или можем да напишем da, което от двете предпочиташ, но това е двоен интеграл в тази област. Хубавото нещо тук е, че използваме векторно поле, което има само х-компонент, така че можахме да свържем криволинейния интеграл и двойния интеграл в областта... о, и аз забравих нещо много важно. Тук имаме знак минус. Значи тук има знак минус. Можем даже да сложим знак минус и тук, но мисля ,че разбираш общата идея. В следващото видео ще направя същото нещо с векторно поле, което има вектори само в посока у. Тогава ще свържем тези две неща и накрая ще получим теоремата на Грийн.