If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

Доказателство на теоремата на Грийн (част 2)

Част 2 от доказателството на теоремата на Грийн. Създадено от Сал Кан.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.

Видео транскрипция

Да кажем, че е дадена същата крива, като тази в предишното видео. Ще начертая оста у и това е оста х. Нека кривата да изглежда ето по този начин. Кривата е същата като тази в предходното видео. Може би не изглежда точно като нея, момент да видя какво правих в предишното видео. Ето как изглежда кривата в предишното видео, доста подобни са. Да кажем, че имаме същата крива като в предходното видео. Ще я означа като крива `с`. В предишното видео имахме векторно поле, което съдържа само вектори в посока i. Ще направя друго векторно поле, което съдържа вектори само в посока j, или във вертикална посока. Да кажем, че q, векторното поле q от (х; у) е равно на главно Q от (х; у) по j, като сега ще разглеждаме криволинеен интеграл по кривата с от q по dr. Вече сме виждали това. dr може да се представи като dx по i, плюс dy по j. Ако намерим скаларното произведение на тези двете, този криволинеен интеграл ще бъде съвсем същия... Това ще е същото нещо като интеграл по затворен контур (кривата с) от q по dr, като q има само j компоненти. Ако вземем... 0 по i, значи 0 по dx е 0, и тогава ще получим Q от (х; у) по dy. Тук няма компонент i, така че това ще бъде Q – ще използвам пък същия цвят – Q от х и от у, по dy. Това е скаларно произведение. Тук няма i-компонент, ето защо пропускаме dx. Сега да видим дали има някакъв начин, по който да решим този криволинеен интеграл, без да е необходимо да работим с трети параметър t. Точно както в предишното видео. Всъщност това ще е почти идентично, само че сега имаме у вместо х. Това, което можем да направим, е да определим кои са минималната и максималната стойности на у. Минималната стойност на у е ето тук. Да означим минималната стойност на у като а. Да кажем, че максималната стойност на у е ето тук. Ще я означа с b. Точно като миналия път... забравих да посоча посоката на кривата. Но това е същата крива, като миналия път, така че се движим срещу посоката на часовниковата стрелка. Това е съвсем същата крива, същия път. Значи вървим в тази посока. В предишното видео разделихме кривата на две функции от х, на у1 и у2 като функции от х. Сега ще разгледаме у. Ще разделим кривата на две функции от у. Значи ще разделим пътя на две части, като това са един вид екстремални точки, и да означим тази част тук отдясно, този път тук отдясно ще означа като у... ще го означим като х от – ето тук, тази част от пътя е х равно... или мога да напиша просто път 2 или с2. Можем да кажем, че х е равно на х2 от у. Това е този път. После първият път – не е задължително да е първият път, това зависи откъде тръгваме. Можем да тръгнем от всяка точка. Но да кажем тази част в цикламено. Ще означа това като път 1, който е дефиниран като х равно на х1 от у. Това е малко объркващо, когато имаме х като функция от у, но това е съвсем аналогично на това, което правихме в предишното видео. Просто сега разменихме х и у. Сега изразяваме х като функция от у, вместо у като функция от х. Така че имаме тези две криви. Представи си, че просто ги разместваме, и правим същото, което направихме в предишното видео, само че сега за у. Ако го разглеждаш по този начин, този криволинеен интеграл може да се представи като равен на интеграл... първо ще напиша с2. Това е интеграл от b до а. Започваме от b и отиваме до а. Това е все едно слизаме от голяма стойност на у до малка стойност на у. Интеграл от b до а от Q от... ще го напиша с този сив цвят – Q от... и вместо х, тук сега знаем, че по тази крива х е равно на... искаме всичко да изразим чрез у. Значи тук х е равно на х2 от у. Значи Q от х2 от у, (х2 от у; у) – може би използвам прекалено много цветове, но мисля, че разбираш идеята. dy. Значи тази част от криволинейния интеграл, ето тук над лявата страна на кривата. После ще съберем с криволинейния интеграл... или сега просто обикновен интеграл от у равно на а, до у равно на b от Q от – вместо от х равно на х2, сега х е равно на х1 от у, равно е на тази крива, тази друга функция. Значи (х1 от у; у), dy, и сега можем да направим съвсем същото като в предишното видео. Не искаме по-голямото число да е отдолу, така че ще сменим местата на двете граници. Ако разменим местата на тези двете, ако тук долу стане а, а горе стане b, това прави интеграла отрицателен, когато разменим двете граници, променяме посоката. Това е същото, което направихме в предишното видео, така че се надявам, че за теб не е нещо трудно. Сега имаме еднакви граници на интегриране, тези два определени интеграла можем просто да ги запишем като един определен интеграл. Значи това ще е равно на интеграл от а до b... Ще запиша това първо, понеже е положително. (показва на екрана цикламения интеграл) Ще запиша ето този. Q от (х1 от у; у) минус това – нали? (минус зеления интеграл) Тук имаме знак минус. Минус Q от (х2 от у; у), dy. Ще използвам неутрален цвят. dy, то е умножено по всичко това тук. (огражда всичко пред dy в скоби) Умножавам dy по всички членове, мисля, че разбираш какво правя. Това е идентично на това, което правихме в предишното видео. Това може да се представи като: това е равно на интеграл от а до b, а вътре в интеграла ще изчислим функцията Q от (х;у) за границите – горната граница, която е от х равно на х1 от у, и долната граница е х равно на х2 от у. Нали? Всички х заместваме с това, а после получаваме някакъв израз, и после от него изваждаме това с х, което сме заместили с х2 от у. Това е същото, което направихме, и както казах в предишното видео, сега ще обърнем посоките, както обичайно дефинираме интегралите. Обикновено имаме това, а следващата стъпка е да имаме това. Но сега ще го направим в обратна посока, но това не е по-различно. Всичко това е по dy. И точно както видяхме в предишното видео, това – ще го направя с оранжево – този израз ето тук, всъщност ще напиша dy малко по-далеч, така че да не се получава струпване. Ще напиша dy ето тук. Този израз, този целият израз е съвсем същият като интеграл от х равно на – мога да го напиша просто тук – ще го напиша със същите цветове. х2 от у до х1 от у, от частно Q относно х, dx. Искам да поясня. Това е – поне както аз си го представям – първата част е малко объркваща. Но ако видиш такъв интеграл, това е вътрешната част на двоен интеграл. Това е.. Външната част е това, което виждаме тук, интеграл от а до b, dy. Но ако видиш само това в двоен интеграл, това, което ще направиш, е да намериш примитивната функция на това, примитивната функция на това относно х, примитивната функция на частно Q относно х, относно х, което просто ще бъде Q от х и от у. И понеже това е определен интеграл, можеш да изчислиш за х1 от у, а после да извадиш от това, тази функция, изчислена за х2 от у, точно което направихме ние. Надявам се, че разбираш това. После получаваме нашия резултат, който е много подобен на предходния резултат. Какво представлява този двоен интеграл? Той представлява... всичко... ако имаме някакъв двоен интеграл, който е от... представи си, че това е някаква функция, ще я начертая в три измерения. Това е просто преговор на това, което направихме в предишното видео. Ако това е оста у, това оста х, а това е оста z. Това е някаква функция от х и от у, така че си представи някаква повърхнина в равнината ху. Това е някаква повърхнина. Можем да означим тази повърхнина като частно Q относно х. Това, което представлява този двоен интеграл, е по същество че той дефинира област, като можем да разглеждаме това dx по dy като един вид много малка област. Значи тази област, която разглеждаме, граничните точки са от у отдолу е от х2 от у, което видяхме, че е кривата, която изглежда ето така. Това е долната граница на у, а ето тук, ако начертая това в две измерения, това е долната крива за у. Горната крива за у е х1 от у, значи горната крива за у изглежда ето така. Кривата за горната граница на у изглежда ето така. Значи х се изменя между кривата за долното у до кривата за горното у, нали? Това правим ето тук. После у се изменя от а до b. Значи това по същество казва, че намираме двоен интеграл в тази област ето тук от тази функция. По същество това е обемът, ако това е таванът, а тази граница е все едно стената. Това е обемът на тази стая. Не знам как ще изглежда, когато дойде тук горе. Но можеш да си представиш нещо такова. Това е обемът на ето това. Значи това определяме. Това е идентичен резултат на този, който получихме в предишното видео. Това е нещо много хубаво. Изведнъж този вектор, този... и q от (х; у) – не го начертах както миналия път, q от х и от у има само... компоненти в посока j, така че има само... ако начертая векторното поле, векторите сочат само нагоре и надолу. Те нямат хоризонтален компонент. Но ние видяхме, че когато започнахме с такова векторно поле, намираме криволинейния интеграл по тази затворена крива, и аз ще го преработя тук – намираме криволинейния интеграл по този затворен контур от q по dr, което е равно на интеграла по затворен контур от Q от (х; у), dy. Ние току-що доказахме, че това е еквивалентно на двойния интеграл в областта R. Това е областта R. Нали? Това е точно това, което правим ето тук. Ако ти дам една област, ако трябва да я дефинираш, ще кажеш, че х е в интервала от тази функция до тази функция, а у е в интервала от а до b, ако е нужно, можеш да преговориш уроците за двоен интеграл, ако това те обърква. Значи намираме двоен интеграл в тази област от частно Q относно х, d... мога да запиша dx, dy, а мога да запиша и малко dА, нали? Това е диференциал от площта, която можем да си представим като dА, което е същото нещо като dx, dy. Ако комбинираме този резултат с този от последното видео – това е хубавата част, когато събираме нещата – резултатът от последното видео беше ето този. Това е ако имам функция, която е дефинирана изцяло чрез х, тогава получихме ето това тук. (огражда го с жълто) Получихме този резултат. Всъщност ще копирам и ще поставя и двете в една чиста част от работното поле, за да можем да видим вълнуващия извод. Ще копирам и ще поставя. Значи това получихме в предишното видео. (ограденото с жълто) В това видео получихме ето този резултат. Просто ще копирам и ще поставя тази част ето тук. Може би вече се досещаш какво ще се получи. Сега ще поставя това тук. Това е резултатът от това видео. (поставя го отдясно) Сега да помислим за произволно векторно поле, което е дефинирано като – ще използвам розово – да кажем, че f е векторно поле, което е дефинирано в равнината ху, и f е равно на Р от (х; у) по i плюс Q от (х; у) по j. Можеш да си представиш, че f е сборът на нашите векторни полета p и q, които разглеждахме в последните две видеа. q е в сегашното видео, а p беше в предишното. Но това е просто едно произволно векторно поле. Да кажем, че искаме да вземем векторно поле... извинявам се, криволинеен интеграл от това векторно поле, по някаква крива. Това може да е същата крива, която разглеждахме, която беше съвсем произволна крива. Това беше една напълно произволна крива. Ще начертая някаква произволна крива ето тук. Да кажем, че това е произволна крива. Да кажем, че тя се движи обратно на часовниковата стрелка, ето така. И искам да намеря криволинейния интеграл по затворен контур от f по dr. Виждали сме това много пъти. dr е равно на dx по i плюс dy по j. Значи този криволинеен интеграл може да се препише като – това е равно на криволинейния интеграл по кривата с. f по dr е равно на този член, по dx, така че това е Р от х;у по dx плюс този член, Q от (х; у), по dy. И цялото това нещо, по същество това е същото нещо като криволинеен интеграл от Р от (х; у), dx, плюс криволинеен интеграл от Q от (х; у), dy. Какви са тези неща? Това получихме в първото видео, а това получихме в настоящето видео. Това ето тук е съвсем същото като това ето тук. Значи това е равно на двоен интеграл от тази област тук, от минус частно Р относно у... вместо dy, dx можем да кажем по диференциала от площта. И плюс ето това, този резултат. Q. Това ето тук е точно това, което доказахме току-що, точно резултатът от това видео. Значи това плюс – ще го оставя тук горе, може би ще го напиша в жълто – плюс двоен интеграл по същата област от частно Q относно х. da, като това е просто dy, dx или dx,dy – можем да им разменим местата, това е диференциалът на площта. Сега можем да съберем тези два интеграла. Какво ще получим? Това е равно на – това е нашият голям, важен извод. Може би е нужно да пиша с цикламено. Двоен интеграл от тази площ, от – ще напиша първо това, понеже е положително, а това е отрицателно – интеграл от частно Q относно х, минус частно Р относно у, dA, диференциал на площта. Това е големият ни извод. Ще го запиша ето тук. Криволинеен интеграл по затворен контур от f по dr е равен на двоен интеграл от този израз. Това е нещо – просто запомни. Интегрираме функция, която е свързана с х-компонента, или i-компонента, намираме частната производна относно у, и функцията, която беше свързана с у-компонента, намираме нейната частна производна относно х. Тази първата тук – взимаме я със знак минус. Това е добър начин за запомняне. Но този резултат ето тук, това е – може би трябва да го напиша в зелено – това е теоремата на Грийн. Това е хубав начин да свържем криволинеен интеграл и векторно поле, което има тези частни производни, като приемем, че съществуват тези частни производни, да ги свържем с двойния интеграл за тази площ. Сега нещо малко странично – видяхме преди няколко урока, че ако f е потенциална функция, това означава, че е градиент на някаква функция, който е зависим от кривата, че интегралът по затворен контур по произволна крива е равен на 0. Това отново важи. Значи това ни казва, че ако f е потенциално поле, тогава това нещо ето тук е равно на 0. (подчертава го с жълто) Това е единственият начин, по който ще можеш да приравняваш целият този интеграл да е равен на нула за всяка, абсолютно всяка област. Сигурен съм, че можеш да се сетиш за случаи, когато те се компенсират, но това наистина важи за всяка област. Това е единственият начин това да е вярно. Че тези двете неща ще са равни на 0. След това можеш да кажеш, че частната производна на Q относно х минус частната производна на Р относно у ще е равно на 0, или тези две неща винаги ще са равни помежду си. Или.. Това е един вид следствие от теоремата на Грийн. Един вид нещо очевидно, за което можеше да се досетиш. Частната производна на Q относно х е равна на частната производна на Р относно у. И когато учиш обикновени диференциални уравнения, ще срещаш това много по-често. Всъщност няма да се задълбочавам толкова, но потенциалните векторни полета... диференциалната форма, която ще срещаш при криволинейните интеграли, ако са потенциални, тогава това ще е обикновено диференциално уравнение. Но сега няма да навлизаме в дълбочина. Надявам се, че виждаш паралели, ако вече си срещал/а обикновени диференциални уравнения. Но това е големият извод и в следващото видео ще разгледаме няколко примера, в които ще използваме този извод.