If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

Области от втори тип в три измерения

Определение и за области от втори тип. Създадено от Сал Кан.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.

Видео транскрипция

Сега да разгледаме областите от втори тип. Ще видиш, че тяхното определение е много подобно на това за първи тип, като по същество просто става въпрос за ориентация. Област от втори тип е – ще я означа с R2 – това е множеството от всички стойности на х, у и z в три измерения, такива, че – и сега вместо да разглеждаме дефиниционното множество по отношение на координатите х и у, ще го разглеждаме по отношение на координатите у и z – такива, че двойките (y; z) принадлежат на някакво дефиниционно множество. Ще го означа като D2, понеже разглеждаме области от втори тип. Долната граница на х е някаква функция от (y; z). Ще я означа като функцията g1 от (y; z), по-малко от или равна на х, което е по-малко или равно на някаква друга функция g2 от (y; z). Веднага ще видиш много подобен начин на разсъждение върху това, но сега вместо z да се променя между две функции от х и от у, както при областите от първи тип, сега х ще се променя между две функции от y и от z. Сега да помислим за някои тела, които да изследваме. Виждаме тези двете тук горе, тази сфера и този цилиндър, които са области от първи тип, но този дъмбел, по начина, по който е ориентиран тук, това не е област от първи тип. Да помислим кои от тези области са области от втори тип и кои области не могат да бъдат от втори тип. Първо да разгледаме сферата. Тук са координатните оси. Ще се преместя малко надолу. Това са координатните оси. Ето тук в нашето дефиниционно множество ние отново можем да конструираме нашата сфера, но нашето дефиниционно множество сега ще бъде в равнината yz. Равнината yz е ето тук. Това е нашето дефиниционно множество. Искам да го направя малко по-кръгло. Значи нашето дефиниционно множество е това тук в равнината yz. Това е нашето D2. Сега да видим долната граница, за да конструираме тримерната област на сферата или кълбо, или както искаш го наричай – долната граница на х ще бъде задната половина на сферата, тази, която е отдалечена от нас. Долната граница – да видим колко добре мога да я очертая. Мога да се справя по-добре. Първо ще направя нещо такова, после нещо такова. Това е дефиниционното множество ето тук, ако сферата е прозрачна. Но всичко, което можем да видим, е да зърнем задната страна ето тук. Това е страната на сферата, която е от задната страна. След това горната граница на х е страната на сферата, която е обърната към нас. Ако направя малко контури, може да изглежда приблизително така, а след това ето така. След това ще оцветя този целия участък ето тук. х може да приема всички стойности над тази цикламена повърхнина и под тази зелена повърхнина. И това по същество ще изпълни цялото кълбо за всяка двойка (y; z) от дефиниционното множество. Значи сферата е едновременно област от първи тип и от втори тип. Всъщност ще видим, че тя е и област от трети тип. А какво да кажем за този цилиндър ето тук? Можем ли да го разглеждаме по такъв начин, че да бъде област от втори тип? Да опитаме. Само да поставя това. Ако дефиниционното множество е – ако дефиниционното множество е нещо подобно? То е правоъгълник в равнината yz. Значи това е нашето дефиниционно множество – правоъгълник в равнината yz. Това е D2. А долната граница е един вид задната страна на цилиндъра. Значи задната стена на цилиндъра – опитвам се да я начертая максимално добре. Ако виждаме само външната страна, тя ще изглежда приблизително така. Тя е от другата страна спрямо нас, така че едва я виждаме. Ако можехме да виждаме през цилиндъра, или да виждаме през някакъв прорез на цилиндъра, тя щеше да изглежда ето така. Това ето тук е нашето g1. Това е нашето g2, което е предната страна на цилиндъра. g2 може да е предната страна на цилиндъра. Ще се постарая да го оцветя. Значи g2 е предната страна на цилиндъра. х може да се изменя над g1 и до g2. То ще запълни целия цилиндър. Виждаме, че същият цилиндър, който определихме като област от първи тип, може да е и област от втори тип. Сега да разгледаме този пясъчен часовник, който не може да е област от първи тип. Дали може да е област от втори тип? Да помислим върху това. Ще го направя по същия начин. Можем да конструираме дефиниционно множество. Може би нашето дефиниционно множество е – то е в равнината yz, ако разглеждаме области от втори тип, ако искаме да разгледаме това като област от втори тип. Значи нашето дефиниционно множество е този плосък пясъчен часовник, който лежи в равнината yz. Значи дефиниционното множество може да е област, която изглежда по този начин в равнината yz. Като това плоско нещо. Това тук е нашето дефиниционно множество. След това долната граница на х – g1 може да е повърхнина, функция от у и от z, която е един вид задната страна на този пясъчен часовник. Задната страна на пясъчния часовник, можеш да видиш. Ще се опитам да покажа контурите на долната част ето тук. Така че това е g1. После g2 може да е предната страна на пясъчния часовник. Старая се максимално да нарисувам предната страна на пясъчния часовник. Мога да я оцветя. Значи начинът, по който аз сега го нарисувах малко объркващо, но виждаш, че пясъчният часовник е ориентиран по такъв начин, както съответства на област от втори тип. И ако трябва да завъртим това – ще го нарисувам ето така. Намествам чертежа. Ако исках да го направя като този, така че тази горната част на пясъчния часовник да гледа към нас – старая се максимално да го начертая. Да кажем, че горната част пресича оста х ето тук. Това е долната страна на пясъчния часовник ето тук. Това се извива напред и после отива назад по този начин. По същата причина, поради която това не беше област от първи тип, сега не е област от втори тип. За всяка двойка zy можем да видим, че има няколко точки х, които съответстват на различните точки от този пясъчен часовник. Нямаме само функции, които са проста долна и горна граница Това тук не е област от втори тип. Можем да се обосновем, че това е област от първи тип. Можем да направим област тук в равнината ху, и да имаме функции като горна и долна граница на z. Значи това може да е от първи тип, но не може да е от втори тип.