Области от трети тип в три измерения

След като видяхме определенията за области от първи и от втори тип, вероятно се питаш какви може да са областите от трети тип. Значи област от трети тип е област в три измерения, ще я нарека R3, тъй като нарекохме областта от втори тип R с индекс 2, а тази от първи тип R с индекс 1, сега тази област ще я назовем R с индекс 3. Това ще бъде множеството от всички точки в три измерения. Множеството от всички х, у и z, такива, че двойките (х; z) принадлежат на дефиниционното множество, което ще наречем D3 и у ще се изменя между две повърхнини, които са функции от х и от z. Значи у ще е по-голямо от или равно на повърхнината – ще я нарека h1 от (х; z) – h1 ще е по-малко или равно на у. у ще има горна граница повърхнината h2 от (х; z). И отново поставям скоба, за да затворя множеството. Да помислим дали някои от тези области, които вече видяхме, че са от първи и от втори тип, дали са и от трети тип. След това ще разгледаме какви области не са от трети тип. Да видим тази сфера. Какво е дефиниционното множество? Дефиниционното множество е множество от (х; z). То е в равнината (х; z). Значи нашето дефиниционно множество може да е тази област ето тук в равнината хz. Ще я оцветя. Може да е тази област тук в равнината xz. Долната граница на у ще е тази задна част на сферата в тази посока ето тук. Това е – всъщност това е малко трудно за визуализиране, понеже чертая върху стария чертеж. Горната граница е тази страна ето тук. Сега всичко това тук ще е зелено. Ще прерисувам сферата, за да стане ясно. Просто ще начертая нови координатни оси. Задната страна на тази сфера в посока у... Да го разгледаме по следния начин. Това е линията, която разделя сферата на две половини. Това отново е границата на нашето дефиниционно множество. После задната страна... първо ще направя предната страна. у в предната страна е горната граница, това ще е h2, това е всичко това ето тук. Значи това тук е h2, което оцветявам. h2 е страната, която гледа в тази посока. Да видим колко добре мога да я оцветя. Това не е добре. Значи h2 е всичко това от тази страна на сферата. После h1 е долната граница на у. Това е тази страна ето тук. Може би мога да я нарисувам още по-добре. Но се надявам, че разбираш идеята, че това е цялата тази страна. След това у може да се изменя между тези две граници и един вид да запълни областта. Същата логика използваме и за цилиндъра. Цилиндърът може да се дефинира по същия начин. Значи първо – сферата е област от първи, от втори и от трети тип. Тя отговаря на всички условия. Цилиндърът, поне по начина, по който съм го ориентирал тук, всъщност всеки цилиндър, също ще е област от трети тип. По същата логика. Ще начертая отново координатните оси. Сега ще начертая цилиндъра, който разглеждаме. Дефиниционното множество ще е правоъгълник в равнината хz. Значи дефиниционното множество ще е правоъгълен участък в равнината xz, ето така. Долната граница на у ще бъде тази страна на цилиндъра. Страната, която гледа в тази посока тук, е долната граница. После горната граница на у е тази страна, която е обърната в тази посока. Отново, това също е област от трети тип. По същата логика това тук, този пясъчен часовник, може да е област от трети тип. Предната страна ето тук, всичко това, включително и това, което... После задната страна, когато я разглеждаме относно у, задната страна е тази част ето тук. Отново, това също може да е област от трети тип. Границата на дефиниционното множество ще бъде това напречно сечение ето тук. Значи границата на дефиниционното множество може да е това напречно сечение ето тук. Долната граница на у ще бъде задната половина на пясъчния часовник. Горната граница на у ще бъде предната половина. Ще използвам този цикламен цвят, защото този вече го използвах. Всъщност ще използвам зелено. Значи горната граница на у ще бъде тази дясна половина ето тук. Кога няма да е област от трети тип? Ами например ако завъртим това по този начин. Само ще начертая какво не може да е област от трети тип, само за да ти покажа, че това определение не включва всичко. Значи нещо, което не е област от трети тип – по същата логика, както видяхме преди за втори тип и за първи тип за пясъчния часовник, когато той е по посока на оста у, когато е ориентиран по този начин. Не е задължително да е центриран около оста у. Но един пясъчен часовник, който изглежда така, в този случай у не може да бъде изразено като ограничено от повърхнини, които са функции от х и от z. Трябва да разделим това, за да го изразим по този начин. Но можем да разделим тази област на две области от трети тип. Но цялото нещо не е област от трети тип. Не е област от трети тип.