Доказателство на теоремата на Стокс - част 2

Сега да параметризираме повърхнината. След това ще разберем как по същество ще изглежда dS. Ще дефинирам функцията на радиус-вектора на нашата повърхнина като r. Тя ще бъде функция от два параметъра, защото ще трябва да дефинираме повърхнината ето тук. Ще използвам х и у като параметри, защото повърхнината може да бъде дефинирана като функция от х и от у. Значи нашата параметризация ще бъде функция от х и от у. В посока i тя ще е х по i. В посока j ще бъде у по j. После в посока k ще бъде просто z. z е функция от х и от у. Винаги, когато параметризираме една повърхнина, трябва да разгледаме какви са ограниченията на дефиниционното множество на параметрите. Ограниченията на дефиниционното множество на параметрите – ще кажем, че всяка двойка (х; у), всяка двойка координати (х; у) трябва да принадлежи – този символ означава принадлежи на множеството – трябва да принадлежи на тази малка област ето тук. Можем да наречем това дефиниционно множество на параметрите. Те трябва да принадлежат на R. Всъщност ние приехме, че това е така. Аз трябваше да напиша, че координатите (х; у), че наредените двойки (х; у), които принадлежат на R – това ще ни помогне да дефинираме нашата повърхнина. Ако (х; у) не принадлежи на R – тогава няма да разглеждаме, че z от това (х; у) е част от повърхнината. Само z от (х; у), когато (х; у) принадлежи на тази област. Сега имаме параметризацията на повърхнината и можем да започнем да разсъждаваме какво е dS. Трябва да помислим внимателно. Първо ще направя някакво допускане, а после ще потвърдим дали това допускане е вярно. dS – виждали сме и преди защо това е така – то ще бъде векторното произведение на частните производни на това относно всеки от параметрите по площта на това малко парче от дефиниционното множество. Можеш да го разглеждаш като векторното произведение на частно r на тази параметризация относно х с частно r относно у. След това цялото нещо... всъщност искаме това да е вектор, а не абсолютната стойност или дължината на този вектор. Искаме това да е вектор. Това нещо по... можем да изберем реда да е dx, dy, или може да е dy, dx. Ако искаме това да е общият случай, ще кажем, че това е диференциал от тази област ето тук, което можем да запишем като... вместо dx, dy или dy, dx, можем да запишем dA. Причината, поради която казах, че трябва да внимаваме, е защото трябва да сме сигурни, че въз основа на параметризацията на тази функция на радиус-вектора, въз основа на начина на параметризиране, в зависимост от това дали векторното произведение сочи в правилната посока – посоката, в която искаме да сме ориентирани. Защото, спомни си, ако се движим по границата по този начин, ще искаме да сме сигурни, че повърхнината е ориентирана по правилния начин. Начинът, по който разсъждаваме – ако трябва да завъртим една капачка като тази, тя трябва да отива нагоре. Или ако се движим по границата в тази посока, повърхнината трябва да се намира отляво на нас, а главата ни ще гледа нагоре. Така че искаме да сме сигурни, че този вектор, който дефинира ориентацията на повърхнината, определено сочи нагоре или над повърхнината, а не надолу от повърхнината. Сега да помислим за това. Частната производна относно х – когато х нараства, ще се "движи" в тази посока по повърхнината. Частната производна относно у, когато у нараства, ще се "движи" в тази посока по повърхнината. Ако намерим векторното произведение – можем да използваме правилото на дясната ръка. Поставяме показалеца си в посоката на първия вектор, който умножаваме векторно, средният ни пръст сочи в посоката на втория вектор в произведението. Ето по този начин. Свиваме средния пръст. Не ни интересуват останалите пръсти. Ще ги нарисувам ето така. После палецът ни ще сочи по посока на векторното произведение. В този случай палецът ще сочи нагоре. Точно това искахме да се случи. Значи това е правилното подреждане. Векторното произведение на частната производна относно у по частната производна относно х нямаше да е правилното подреждане. Това ще ни даде обратната посока. Това щеше да е все едно движението по този контур е в обратната посока. Ето това е правилната ориентация, като се има предвид как се движим по контура. Сега, след като изяснихме това, да намерим това векторно произведение. Просто ще го запиша. То ще е равно на... ще се фокусирам върху векторното произведение. Векторното произведение на частната производна на r относно х по частната производна на r относно у е равно на... правили сме това много пъти досега. Сега ще го направя по един по-обобщен начин. Това ще е равно на детерминантата на тази матрица – i, j и k. Ще използвам различни цветове. Мисля, че това ни помага да разсъждаваме по това. Значи i, j и k. Всъщност ще използвам този цикламен цвят. i, j и k. Затварям с вертикална линия. Искам да запиша отделните компоненти на частната производна относно х. Значи частната производна на i-компонента относно х е просто 1. Частната производна на j-компонента относно х е нула. Частната производна на z относно х – можем да напишем просто, че това е частната производна на функцията z относно х. Значи r с индекс х... или частната производна относно х е векторът 1 по i, плюс 0 по j, плюс z с индекс х по k. Сега правим същото и за това тук, за частната производна относно у – компонентът i ще бъде 0. Компонентът j ще бъде 1. Частната производна на това относно у е 1. Частната производна на z относно у записвам като z с индекс у. Всъщност, забравих да напиша тук k в параметризацията. След като направихме всичко това, можем да започнем да определяме векторното произведение. Векторното произведение е равно на – компонентът i е равен на 0 по частната производна на z относно у, минус 1 по частната производна на z относно х. Имаме минус частната производна на z относно х. После използваме шахматното правило. Имаме минус j по – игнорираме този стълб и този ред – 1 по частната производна относно у. Това е z с индекс у – частната производна на z относно у – минус 0 по това. Остана ни само това тук. После имаме плюс k. Тук имаме 1 по 1, минус 0 по 0. Значи това е k по 1. Можем просто да напишем k ето тук. Можем да напишем, че векторното произведение е равно на минус z с индекс х по i, минус z с индекс y по j, плюс k.