Доказателство на теоремата на Стокс - част 3

Положихме основите, така че вече можем да изразим повърхностния интеграл, който е дясната страна на израза, с който записахме теоремата на Стокс. Сега можем да го изразим като двоен интеграл в дефиниционното множество на параметрите, които разглеждаме. това ще направим в настоящето видео, а в следващите видео клипове ще направим същото нещо за този израз, но ще използваме теоремата на Грийн. Ще видим, че ще получим същия израз, което ще ни покаже, че теоремата на Стокс е вярна, поне за този специален клас повърхнини, които разглеждаме тук. Но те са много общи. Сега да опитаме да го направим. Повърхностният интеграл – ще го препиша ето тук. Това е повърхностният интеграл по повърхнината от ротацията на F... Всъщност ще пиша малко по-надолу. Имаме повърхностен интеграл от скаларното произведение на ротацията на F и dS. Вече намерихме ротацията на F, (посочва с курсора) това беше преди два клипа. Почти намерихме какво е dS – dS е векторното произведение на тези два вектора, по dA. Векторното произведение на тези два вектора е ето това тук. (посочва с курсора) Можем да напишем просто, че dS е равно на това по dA. Това е векторното произведение на частната производна на r относно х по частната производна на r относно у. След това умножаваме по dA. Този двоен интеграл е просто скаларното произведение на ротацията на F, която е ето това тук, и това ето тук. По същество ще намерим скаларното произведение на този вектор и този вектор, а след това ще го умножим по... всъщност ще разглеждаме това като скаларна величина. Да го направим. Значи това ще е равно на... когато правим това, всички действия, които извършваме, са в дефиниционното множество на нашите параметри. Значи това се превръща от повърхностен интеграл в двоен интеграл в дефиниционното множество, в областта, която разглеждаме. Това е дефиниционното множество на нашите параметри – областта R. По този начин преработвахме всички повърхностни интеграли, които срещахме досега. Превръщахме ги в двойни интеграли в дефиниционното множество на нашите параметри. Значи това става двоен интеграл в дефиниционното множество на параметрите, което е областта R в равнината ху ето тук. Сега можем да намерим скаларното произведение на ротацията на F и dS, което е цялото това нещо ето тук. Да видим мога ли да покажа едновременно и двете на екрана. Ето така. Първо да помислим за х-компонентите. Имаме това ето тук. (огражда го) После имаме това тук. (огражда го) Умножаваме ги. Минусът – можем да сменим местата ето тук. Имаме частна производна от z относно х, по... ще разменим местата ето тук. Частната производна на Q относно z минус частната производна на R относно у. Сега да видим компонента j. Имаме минус z с индекс у по всичко това ето тук, това, което е умножено по компонента j. Тези минуси дават плюс, така че става плюс z с индекс у – частната производна на z относно у – по частната производна на R относно х, минус частната производна на Р относно z. Искам да поясня, че това тук е R. Следва компонентът k. k-компонентът всъщност е най-лесен, защото тук е просто 1. Значи това е 1 по – ще използвам същия цвят – 1 по частната производна на Q относно х, минус частната производна на Р относно у. Накрая тук имаме просто dA. Това dA умножаваме по всичко. Ще поставя скоби и записвам dA. Готови сме. Изразихме повърхностния интеграл като двоен интеграл в дефиниционното множество на нашите параметри. В следващите няколко видеа ще направим същото нещо с помощта на теоремата на Грийн. Ще видим, че ще получим същия резултат.