Доказателство на теоремата на Стокс - част 4

Да продължим с доказателството на теоремата на Стокс. Този път ще се фокусираме върху другата страна на равенството от теоремата на Стокс. Ще опитаме да намерим криволинейния интеграл по контура 'c' – ето това тук е 'c', контурът на повърхнината – интеграл от скаларното произведение на F по dr. Сега ще видим, че това, което ще направим, ще ни даде съвсем същият резултат като този, който получихме тук. Преди да го направим, ще направя малко отклонение, за да обясня това. Ще взема това и засега ще го оставя настрана. Всъщност направо ще го изтрия. Това, което ще направя, е да се фокусирам върху тази област тук долу – тази област в равнината ху. По-конкретно това е контурът 'c', който е граница на повърхнината. Ще се фокусирам върху контура, който е граница на тази област. Този контур, който лежи в равнината ху. Ще означа този контур като 'c1'. Сега да помислим за параметризацията на този контур в равнината ху. Можем да кажем, че 'c1' може да се параметризира като х равно на х от t и у също е функция от t. t очевидно е нашият параметър. Той е в границите от а до b. Може би, когато t е равно на а, то се намира ето тук. После, когато t става все по-голямо и по-голямо, то прави пълна обиколка. Евентуално, когато t е равно на b, то достига до съвсем същата точка. Така че това е нашата параметризация ето тук. Сега искам да направя останалата част от доказателството по-разбираема, затова ще направим един малък преговор. Представи си, че имаме някакво векторно поле G. G, като минимум, е дефинирано в равнината ху. Може да се дефинира и на други места, но да кажем, че G е равно на М от (х; у) по i, плюс N от (х; у) по j. Това е просто преговор. Разглеждали сме го преди доста време. Какъв ще бъде криволинейният интеграл по контура 'c1'? Не контура 'c', а този контур 'c1', който лежи в равнината ху. Какъв е криволинейният интеграл по контура 'c1'? Понякога обичам да го записвам по този начин – като използвам G, така че да не става грешка с F – оригиналното векторно поле – интеграл от G, нашето векторно поле, по този контур – скаларното произведение на G и dr – dr е равно просто на dx по i, плюс dy по j. Ако намерим скаларното произведение на тези две неща ето тук, ще получим криволинейния интеграл по контура 'c1' – спомни си, че 'c1' е този контур ето тук. Ще го направя със същия цвят, за да не те обърквам. Криволинеен интеграл по контура 'c1'. За да намерим това скаларно произведение, умножаваме х-компонентите и после ги добавяме към произведението на у-компонентите. Така че имаме M по dx плюс N по dy. Просто намерих скаларното произведение на G и dr, M по dx плюс N по dy. Когато изчислим това, един начин да разсъждаваме, е, че това dx е същото нещо като – ще го запиша тук с различен цвят – dx е равно на производната на х относно t, dt. Същата логика и за у – dy е равно на производната на у относно t, dt. Можем да си представим, че тези dt се съкращават. Тогава ни остава само dx. Това е нещо важно, защото това ни позволява да съставим този криволинеен интеграл в дефиниционното множество на нашите параметри. Тогава това е равно на интеграла от дефиниционното множество на нашите параметри. Сега сме в дефиниционното множество на t. t се изменя между а и b. Ние сме в дефиниционното множество на t между а и b. Това е равно на М по – вместо да запиша dx, ще запиша dx/dt, dt. Значи това е dx – ще го запиша по следния начин. dx, производната на х относно t, dt, това е първият израз – плюс N – и после същото нещо – по dy, dt. N по dy, dt. Това са еквивалентни твърдения. Сега, като изяснихме всичко това, което беше просто припомняне, така че оставащата част от доказателството да бъде по-логична. Като изяснихме това, сега да намерим параметризацията на нашия контур, на контура 'c'. Спомни си, че току-що разгледахме контура 'c1' в равнината ху. Сега да параметризираме контура 'c', който е ето тук, един вид над равнината ху. Значи за 'c' параметризацията за х и за у може да е съвсем същото нещо, защото стойностите на х и у са съвсем същите. Стойностите на х и на у тук са съвсем същите като стойностите на х и на у ето тук. Единствената разлика е компонентът z. Ние го дефинирахме тук горе. z-компонентът е функция от х и от у. Той ни показва на каква височина се намираме. Можем да параметризираме 'c' като – може би ще го напиша като вектор. Ще параметризирам. Ще запиша 'c' като вектор. Всъщност не. Ще го напиша по следния начин. Ще запиша 'c' – ще го напиша с лилав цвят. 'c' – можем да кажем, че х е функция от t – всъщност, ще запиша това като вектор. Ще го означа като вектор r, но не го бъркай с това r ето тук. Това са две различни r, но ще използвам r, защото така е прието. За да параметризираме 'c', ще имаме радиус-вектора r, който е функция от t. х пак е х от t, по i, плюс у от t, по j. Сега ще имаме компонент z. z е функция от х и от у, които са функции от t. Значи z е функция от х, което е функция от t, и е функция от у, което е функция от t, k – това ни казва колко високо се изкачваме, за да стигнем до тези точки. После, отново – знаем, че t е между а и b, t e по-голямо от или равно на а, и по-малко от или равно на b. Имаме тази параметризация ето тук. Сега можем да започнем да мислим за криволинейния интеграл от скаларното произведение на F и dr по този контур. Преди умножавахме по dr по този контур. Сега ще умножим dr по този контур ето тук. Сега това е нашата параметризация r. Спирам тук и ще продължим в следващото видео.