Доказателство на теоремата на Стокс - част 5

Сега вече имаме параметризацията на контура на нашата повърхнина ето тук и можем да помислим за това какъв криволинеен интеграл... това беше лявата страна на оригиналното равенство от теоремата на Стокс – какъв е криволинейният интеграл по контура 'c', интеграла от скаларното произведение на F – оригиналното векторно поле F, по dr. Сега, отново, това r, което разглеждаме този контур ето тук, 'c'. Не е 'c1', който е един вид тук в основата. Значи скаларното произведение на F по dr – помним какво беше F. F е всичко това ето тук – (показва с курсора) съдържа i, j и k-компонентите, които просто са Р, Q и R. Това лесно се помни. Но сега да помислим на какво е равно dr. Ще трябва да използваме нашето тримерно правило за диференциране на сложна функция. Значи dr е равно на dr, dt, по dt. Значи само трябва да намерим производната на r относно t. За целта ще ни е нужно правилото за диференциране на сложна функция. Ще запиша това. Значи dr, dt ще е равно на производната на х относно t, по i, плюс производната на у относно t – просто диференцирам относно t – по j. Понеже z е функция от х, което е функция от t, и z също така е функция от у, което е функция от t, ще използваме правилото за диференциране на сложна функция. За да намерим производната на z относно t – ще го направя тук отделно – а след това ще го напиша тук. Производната на z относно t – начинът, по който си го представям, е кои са различните начини, по които z може да се променя при промяна на t. z може да се промени, когато х се промени поради промяна на t. z може да се промени заради х, частната производна на z относно х, когато х се променя относно t. Но това не е единственият начин, по който може да се променя z. Към това трябва да прибавим как се променя z относно у, частната производна на z относно у, по това колко бързо се променя у относно t. Това е просто правилото за диференциране на сложна функция. Значи това е dz, dt. Ще го запиша ето тук. Ще използвам малко по-различен начин на записване, който съответства на това, което използвахме преди, и това ще ни помогне нещата да станат малко по-ясни. Значи това ще е частната производна на z относно х, dx, dt плюс – всъщност ще го напиша по следния начин – плюс частната производна на z относно у, dy, dt. След това умножаваме всичко по k. Като приключихме с това, ако искаме да определим колко е dr, dr е просто цялото това нещо по dt. (посочва с курсора) Да го направим. Сега можем да преработим този криволинеен интеграл ето тук. Сега ще сме в дефиниционното множество на t. t е между а и b. Скаларното произведение на F и dr – спомни си, че компонентите на F са просто функциите Р, Q и R. Всяка от тях е функция от х, у и z. z е функция от х и от у, така че трябва да помислим за всичко това. Пак ще използваме правилото за диференциране на сложна функция. Но когато намираме скаларни произведения, просто взимаме съответните компоненти и ги умножаваме. Значи това ще бъде – всъщност просто ще го копирам и ще го поставя. Ще препиша това тук долу. Нашето векторно поле F – ще го напиша малко по-кратко. Векторното поле F е P по i, плюс Q по j, плюс R по k. Когато намерим скаларното произведение на F по dr, ние всъщност намираме скаларното произведение на това по това. (посочва с курсора) И сега в края трябва да има dt. Значи получаваме Р по dx, dt, плюс Q по dy, dt, плюс R по всичко това ето тук, което е частната производна на z относно x, dx, dt плюс частната производна на z относно y, dy, dt. После умножаваме всичко по dt. Да не забравяме тази част ето тук. Значи умножаваме всичко това по dt. Ще прекъсна тук това видео, просто защото се страхувам да не направя грешки по невнимание. Това, което трябва да се направи сега, е да преработим цялото нещо, и да видим, че това е същото като това ето тук (посочва с курсора) и ще получим това във вид, в който можем да приложим теоремата на Грийн, като използваме тази граница (с1) ето тук. След това ще направим още малко алгебрични преобразувания, за да видим, че това нещо се опростява до това ето тук, което доказва теоремата на Стокс за нашия частен случай.