Основно съдържание
Анализ на функции на много променливи
Курс: Анализ на функции на много променливи > Раздел 5
Урок 9: Доказателство на теоремата на Стокс- Доказателство на теоремата на Стокс - част 1
- Доказателство на теоремата на Стокс - част 2
- Доказателство на теоремата на Стокс - част 3
- Доказателство на теоремата на Стокс - част 4
- Доказателство на теоремата на Стокс - част 5
- Доказателство на теоремата на Стокс - част 6
- Доказателство на теоремата на Стокс - част 7
© 2023 Khan AcademyУсловия за ползванеДекларация за поверителностПолитика за Бисквитки
Доказателство на теоремата на Стокс - част 6
Още преобразувания на интегралите. Създадено от Сал Кан.
Искаш ли да се присъединиш към разговора?
Все още няма публикации.
Видео транскрипция
Прекъснах предишното видео,
когато бях изразил криволинейния интеграл по контура на повърхнината чрез dt, в дефиниционното множество на dt. Изразихме на какво е равно
скаларното произведение на F и dr. В това видео ще направим още малко алгебрични преобразувания, а после ще приложим теоремата на Грийн. В зависимост от това дали
ще ни стигне времето, после ще преобразуваме,
за да покажем, че това е съвсем същото нещо
като това, което видяхме по-рано, когато изразихме повърхностния
интеграл. Да започваме. Този интеграл тук е същото нещо като интеграл от а до b... Сега ще групирам тези неща,
които са умножени по dx, dt. Ако ги групирам и после
изнеса пред скоби dx, dt, така че ако взема тази част тук
и тази част ето тук,
(огражда ги) по същество ще разкрия скобите
и ще умножа по R. Искам да поясня. Ще разкрия скобите и ще умножа по R. Също така ще групирам това
и това ето тук, ще ми остане... и после
ще изнеса пред скоби dx,dt. Ще ми остане Р плюс R по
частната производна на z относно х, по dx,dt. Ще направя същото нещо
за членовете с dy, dt. Това е тази част ето тук. След това ще умножа R по това нещо ето тук. Значи това става плюс
Q, плюс R, по – разкривам скобите и умножавам по R – по
частната производна на z относно у. Ще изнеса пред скоби dy, dt. После не трябва да забравяме,
че всичко това е умножено по dt. Сега това е интересно, понеже започва да прилича много на това, което имаме тук горе, където имаме
просто нашето теоретично векторно поле.
(посочва с курсора) Всъщност ще копирам това
и ще го поставя. Само че не знам дали съм
в подходящия слой на моята работа. Ще копирам и ще поставя. Не, така не се получава. Ще опитам още веднъж. Ще опитам да копирам, като
отида с един слой по-назад. Аз използвам програма
за илюстрации за този урок. Копирам – сега мисля,
че проработи – и поставям. Готово. Това е резултатът, който
получихме преди. Това е един вид шаблона
за сравнение. Но какво се случва тук,
ако просто сравним с нашия шаблон? Виждаме, че това е в
дефиниционното множество за t. Интегрираме относно t ето тук. Но тогава получаваме тези неща. Имаме някаква функция, която
е функция от х и от у, по dx, dt, а после друга функция, която
е функция от х и от у, по dy, dt, и интегрираме относно t. Това е точно същото като това,
което правим ето тук. Можем да разкрием скобите
и да умножим по dt, и получаваме нещо, което
изглежда като това ето тук, където М е аналогично на
тази част ето тук.
(посочва с курсора) Искам да поясня. М – тази част ето тук
изглежда като М от шаблона ето тук. Това е умножено по dx, dt, а после това dt, когато разкрием скобите и умножим,
тогава тази част ето тук изглежда като N. Така че, можем да кажем, че получихме нещо, което прилича на това. Можем да преработим това
по този начин и да се върнем... един вид да обърнем
параметризацията наобратно. Значи това ще е равно сега на криволинеен интеграл по 'c1'. Намираме се в равнината ху. Започнахме с контура 'c',
но сега сме при контура 'c1'. Това е съвсем аналогично. Това са функции само на х и на у. Всичко това тук е така. Сега това е криволинеен
интеграл по контура 'c1' – даже мога да го напиша ето така – интеграл от M, dx,
което е логично. Защото ако умножим dt по dx, dt,
dt се съкращават, и ни остава само dx. Значи М по dx – ще го напиша
по следния начин. Това е равно на Р плюс R
по частната производна на z относно х, dx, плюс N... Ще се преместя малко надясно. Плюс N, което е равно на
Q плюс R, по частната производна на z относно у, dy. Това сега е наистина интересно, защото тази част, която
сега разглеждаме, е напълно аналогична. Надявам се, че не мислиш,
че правя някакви вуду магии. Това твърдение е напълно
аналогично на това твърдение, където М е ето това,
а N е ето това. Така че ние можем да се върнем
обратно сега към контура 'c1', който лежи в равнината ху. Това не е оригиналният контур 'c',
а сега разглеждаме само контура в равнината ху. Значи това се превръща в това. Но това, което е много важно,
когато стигнем до този етап, е, че можем да приложим
теоремата на Грийн към този интеграл, за да го превърнем в
двоен интеграл по тази област, която е оградена от този контур,
оригиналната област, тази област R. Когато променим това, когато
си поиграем с него, ще видим, че ще получим
съвсем същия резултат, като в предишните видеа. Спирам до тук. Ще видим ще успея ли
да го направя в следващото видео.