Доказателство на теоремата на Стокс - част 7

В края на предходното видео изразихме криволинейния интеграл по контура на нашата повърхнина. Това е скаларното произведение F по dr, когато нашият контур е 'c'. Изразихме го като криволинеен интеграл по този контур – по контура 'c1', който е контурът на областта R. Причината това да е ценно за нас е, че сега можем директно да приложим теоремата на Грийн към този интеграл, за да го превърнем в двоен интеграл по тази област тук – областта, която огражда контура 'c1'. Да го направим. Просто прилагаме теоремата на Грийн. Всъщност ще оградя това ето тук. Това е нещо, което току-що написах, което да си припомня от предишното видео. Просто ще оградя това ето тук. Когато прилагаме теоремата на Грийн, получаваме, че това ще е равно на двоен интеграл по областта, която огражда контура 'c1' – това е областта R, която лежи в равнината ху – от частната производна на това относно х, от това нещо. (показва с курсора) Ще използвам същия зелен цвят. Q плюс R по частната производна на z относно у, минус частната производна относно у, от Р плюс R, по частната производна на z относно х. После dA – диференциалът на площта. Сега да изчислим тези неща. Взимаме частната производна на всички тези изрази. Ще видим, че като разкрием скобите и после опростим, ще получим нещо много подобно на – или по-точно, надявам се, идентично – на това ето тук. Това ще докаже, че този криволинеен интеграл за този частен случай е равен на този повърхностен интеграл, което ще докаже теоремата на Стокс за този частен случай. Да го направим. Да използваме оператора за частна производна. Първо искаме да намерим частната производна относно Q. Трябва да си припомним – направихме го по този начин тук горе, където първо разсъждавахме за... видяхме, че P, Q и R са функции от х, у и z. Допуснахме, че могат да се представят по този начин. Ако z не беше функция от х, тогава, ако бяхме намерили частната производна на Q относно х, щяхме просто да напишем това като частна производна на Q относно х. Но ние знаем, че сме направили допускане, че самото z е функция от х и от у. Така че ако намерим частната производна относно х тук, трябва първо да разгледаме как Q директно се променя относно х и после как може да се промени относно нещо друго, което се променя относно х. Нещо тук, което може да се промени заради х, е z. у е независнимо от х, но z е функция от х. Да не забравяме това. Сега ще използваме правилото за диференциране на сложна функция. Когато се опитаме да намерим производната на тази част, на тази цялата функция относно х, трябва да помислим – как се променя Q директно по отношение на х? Към това трябва да добавим промяната на Q относно другите променливи, които се променят по отношение на х. Единствената друга променлива, от която е функция Q, е функция, която може да се променя относно х, и това е z. Значи Q може също така да се променя относно променливата z, която се променя относно х. Значи операторът тук е частна производна относно х плюс частна производна на Q относно z, по частната производна на z относно х. Ако преобразуваме Q, така че z да бъде заместено с х и с у – понеже z е функция от х и от у, тогава ще трябва да запишем само този първи член ето тук. Но ние допускаме, че това е изразено като функция от х, от у и от z. Самото z е функция от х. Ето защо трябваше да използваме правилото за диференциране на сложна функция. Сега да преминем към следващата част. Тези двете биха могли да съдържат х в тях. Следователно трябва да използваме правилото за диференциране на произведение. Първо ще намерим производната на R относно х. После умножаваме по z с индекс у. После намираме производната на z с индекс у относно х и я умножаваме по R. Значи тук имаме плюс. Когато намираме производната на R относно х, по същата логика – R може да се променя директно относно х, или може да се променя относно у. Това може да се променя относно z, и умножаваме това по това как z се променя относно х. Отново, можем да разглеждаме това като прилагане на правилото за диференциране на сложна функция. Разбира се, умножаваме производната на първия член по втория член. Ще напиша втория член в цикламено. Значи частната производна на z относно у плюс производната на втория член – тя е частната производна на z относно у, и след това частната производна на това относно х, което можем да напишем просто така– по първия член R. Това е частната производна относно х на целия този израз ето тук. После трябва да извадим частната производна относно у. Ще използваме същата логика. После изваждаме – ще сложа всичко това в скоби. Значи Р може да се променя директно заради у. Ще оградя Р, ще използвам цвят, който още не съм използвал. Р може да се променя заради у. Можем да вземем частната производна на Р относно у, но тя се променя и когато z се променя относно у. Значи частната производна относно z, по частната производна на z относно у. Плюс... ще напиша R в същия цвят – плюс производната на R. Вече установихме това, но сега това е относно х, а не относно у. Трябва да внимаваме. Значи това ще бъде частната производна на R относно у плюс частната производна на R относно z, по частната производна на z относно у, по z с индекс х, плюс – сега ще умножим производната на втория член по първия член. Производната на частно z относно х, после относно у, ще бъде z с индекс ху. После умножаваме това по R. Сега да видим как можем да развием това. Надявам се, че ще се опрости. Просто си спомни, че в момента работим вътре в този двоен интеграл. Ще допиша знака за двойния интеграл и dA, след като опростя това. Нека да го преработя малко. Това е равно на частната производна на Q. Ще се опитам да използвам цветовете по същия начин. Това в момента са просто алгебрични преобразувания. Частната производна на Q относно х плюс частната производна на Q относно z по частната производна на z относно х, плюс частната производна на R относно х, по частната производна на z относно у. После плюс частната производна на R относно z, по частната производна на z относно х, по частната производна на z относно у. След това имаме този член ето тук – който ще напиша във виолетово – плюс частната производна на z относно у, и после относно х, по R. Сега ще извадя всичко това ето тук. Значи минус... Ще го напиша в синьо. Минус частната производна на Р относно у, минус частната производна на Р относно z, по частната производна на z относно у. После ще извадим от това. Минус частната производна на R относно у, по – искаме да разкрием скобите и да умножим по това – по частната производна на z относно х, минус частната производна на R. Това става малко досадно. Надявам се, че ще ни отведе там, където искаме да стигнем. Частната производна на R относно z по частната производна на z относно у, по частната производна на z относно х. После, накрая, този член ето тук, минус този – защото имаме този знак минус тук – минус частната производна на z относно х и после относно у, умножена по R. Сега да видим можем ли да опростим малко това. Първото нещо – това и това изглеждат еднакви. Можем просто да разменим местата на множителите. Но това е един и същ член. Значи това се унищожава с това. Понеже тук горе приехме, че имаме непрекъснати втори производни на функцията z – z е функция от х и от у, така че това е равно на това – можем сега да кажем, че тези двете ето тук са с обратни знаци, което значи, че те ще се унищожат. Това опростява донякъде нещата. Да видим дали мога да групирам членовете по такъв начин, че да се получи нещо логично. Всъщност ще се опитам да видя дали мога да направя това подобно на това. Значи имам всички членове, които съдържат z с индекс х и z с индекс у, и след това останалите членове. z с индекс х ще напиша в синьо. Значи имаме членове, които съдържат z с индекс х. Имаме този член ето тук и този член ето тук. Можем да изнесем пред скоби z с индекс х. Получаваме частната производна на z относно х по частната производна на Q относно z, минус частната производна на R относно у. После, да видим... искам да използвам цветовете по същия начин като преди. Ще използвам жълто. Плюс – имам всички членове, които съдържат частната производна на z относно у. Това е този член тук и този член ето тук. Това става плюс частната производна на z относно у по частната производна на R относно х, минус частната производна на Р относно z. После имаме последните два члена. Тук горе използвах зелено, сега пак ще използвам зелено. Значи тези два члена – просто пиша плюс частната производна на Q относно х минус частната производна на Р относно у. Значи нашия двоен интеграл е... не може много да се опрости, но можем да го преработим по следния начин. Да не забравяме, че цялото това опростяване правим вътре в двойния интеграл по областта, по dA. Използвахме теоремата на Грийн и правилото за диференциране на сложна функция, и какво ли още не. Можахме да покажем, че криволинейният интеграл по контура на повърхнината е същото нещо като това. Сега можем да сравним този интеграл с повърхностния интеграл. Да видим дали ще намеря място. Копирам. Сега да видя дали имам място да го поставя. Изглежда, че нямам достатъчно място, за да го поставя, но все пак ще опитам. Ако го поставя, ще видим, че тези два интеграла са еднакви. Те са еднакви. Криволинейният интеграл е идентичен с този интеграл. Получихме напълно еднакви интеграли. Криволинейният интеграл от скаларното произведение на F по dr по контура 'c' се опрости до това и повърхностния интеграл се опрости до това. Като използвахме направеното допускане, двата интеграла се опростиха до едно и също нещо. Сега знаем, че за този частен случай нашият криволинеен интеграл е равен на повърхностния интеграл. Готови сме.