If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

Теоремата на Стокс и фундаменталната теорема на математическия анализ

Виж как можем да разглеждаме теоремата на Грийн и теоремата на Стокс като аналози на фундаменталната теорема на анализа в повече измерения.

Основни идеи

  • Теоремата на Грийн, теоремата на Стокс и някои други теореми в анализа на функции на много променливи са просто аналог на фундаменталната теорема на математическия анализ за повече измерения.

Бърз преговор на фундаментална теорема на математическия анализ

Спомняш ли си фундаментална теорема на анализа?
Ето какво гласи тя:
abf(x)=f(b)f(a)
С други думи, когато интегрираме производната на една функция в областта [a;b] върху числовата ос, това е равносилно на това да изчислим стойностите на функцията в границите на тази област – a и b, и да намерим тяхната разлика.

Теорема на Грийн

Теоремата на Грийн може да се разглежда като съвършен аналог на фундаменталната теорема на анализа в две измерения.
R2d-rotFdA=CFdr
  • Вместо да разглеждаме производната на функцията на една променлива f, тук разглеждаме 2d-rot на векторната функция на две променливи F(x;y).
  • Вместо да интегрираме върху областта [a;b] от числовата ос, взимаме двойния интеграл върху областта R в равнината xy.
  • Границите на едномерния интервал [a;b] са просто двойката точки a и b. Но понеже областта R е двумерна, нейната граница е кривата C.
  • Вместо да изчисляваме стойността на функцията f в двете гранични точки a и b и да намираме разликата, решаваме криволинейния интеграл от F по границата C, ориентирана обратно на часовниковата стрелка.
Идеята тук е, че когато интегрираме "производната" на някаква функция в дадена област, стойността на интеграла зависи само от стойността на функцията в границите на дадената област. Само че в две измерения аналогът на производната е 2d-rot, а границата на областта представлява цялата крива, а не просто двойка точки.

Теорема на Стокс

Теоремата на Стокс пренася това в три измерения. Сега вместо да разглеждаме плоска област R в равнината xy, разглеждаме някаква повърхнина S в тримерното пространство. В този случай границата на тази повърхнина е кривата C.
SrotFn^dΣ=CFdr
  • Вместо функция на една променлива f или двумерно векторно поле, сега F(x;y;z) е тримерно векторно поле.
  • Вместо да намираме производната f(x) или 2d-rot, сега разглеждаме тримерната ротация от F.
  • Вместо единичен интеграл в интервала [a;b] или двоен интеграл в двумерна област, сега използваме повърхностен интеграл върху повърхнината S в три измерения. Намирането на повърхностен интеграл върху векторно поле включва скаларното произведение на векторното поле и единичните нормални вектори.
  • Отдясно вместо да запишем f(b)f(a), което включва изчисляването на стойностите на f в границите на интервала [a;b] и намирането на разликата им, сега имаме криволинейния интеграл от нашата функция F по границата C на повърхнината S, точно както в теоремата на Грийн.

Още обобщения

Теоремата за дивергенцията, която донякъде сме разгледали, е още една версия на този феномен. Тя свързва тройния интеграл от дивергенцията на тримерно векторно поле в тримерен обем и повърхностния интеграл върху това векторно поле в границите на този обем.
Фундаменталната теорема за криволинейните интеграли също е в унисон с тези принципи, като свързва криволинейния интеграл на градиента на дадена функция и стойностите на функцията в границите на кривата.
Като цяло, изглежда Вселената се опитва да ни каже, че когато интегрираме производната на една функция в рамките на някаква област, като видът на интегрирането/диференцирането/областта/функцията може да е в много измерения, винаги получаваме резултат, който зависи само от стойностите на функцията в границите на съответната област. Това е едно от най-красивите неща в математиката!

Обобщена теорема на Стокс

Ако ти е интересно, теоретичната математика има по-всеобхватна теорема, която обединява всички тези теореми (и още някои други) в една много компактна формула. Това е така наречената обобщена теорема на Стокс. Нейното описание включва някои термини, които още не познаваш, така че няма да го даваме тук. Но ако разбираш всички примери, дадени по-горе, вече можеш да разбереш логиката и красотата на тази обобщаваща теорема.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.