Основно съдържание

Курс: Анализ на функции на много променливи > Раздел 5

Урок 6: Теорема на Стокс (статии)

Теорема на Стокс, примери

Виж как се използва в практиката теоремата на Стокс.

Преговор

Формулата (бърз преговор)

С помощта на теоремата на Стокс можем да преобразуваме един повърхностен интеграл върху ротационно векторно поле в криволинеен интеграл по границата на повърхнината или обратното. Тя гласи следното:

$\overset{\begin{matrix} Повърхностен интеграл от \\ ротационно векторно поле \end{matrix}}{\overset{⏞}{\underset{S е тримерна повърхнина}{\underset{⏟}{\iint_{S}}} (rot F \cdot \hat{n}) d Σ}} = \underset{\begin{matrix} Криволинеен интеграл по \\ границата на повърхнина \end{matrix}}{\underset{⏟}{\int_{C} F \cdot d r}}$ ‍

Да разгледаме членовете един по един:

$F (x; y; z)$ ‍ е тримерно векторно поле.
$rot F$ ‍, което често се записва и като $\nabla \times F$ ‍. Това е ротацията в три измерения of $F$ ‍, която представлява векторно поле.
$S$ ‍ е тримерна повърхнина.
$\hat{n}$ ‍ е функция, чиито изходни стойности са единичните нормални вектори към повърхнината $S$ ‍.
$C$ ‍ е границата (контурът) на повърхнината $S$ ‍.
Ориентацията на $C$ ‍ се определя с помощта на правилото на дясната ръка, което означава, че ако насочим палеца на дясната си ръка по посока на единичния нормален вектор $\hat{n}$ ‍ близо до ръба на повърхнината $S$ ‍ и свием пръстите си, посоката, в която сочат пръстите, е посоката на интегриране по контура $C$ ‍.

Пример 1: От повърхностен интеграл към криволинеен интеграл

Задача

Повърхнината

S

е половинката на единична сфера с център в началото на координатната система, която е над равнината

x y

, с ориентацията на насочени навън единични нормални вектори.

\vec{v} (x; y; z)

е векторно поле, дефинирано по следния начин:

$\vec{v} (x; y; z) = y \hat{i}$ ‍

Да се изчисли следният повърхностен интеграл:

$\iint_{S} \vec{v} \cdot d Σ$ ‍

Когато говорим за интеграл на векторно поле върху дадена повърхнина, това винаги изисква от нас да намерим скаларното произведение с единичния нормален вектор към повърхнината:

$\iint_{S} (\vec{v} \cdot \hat{n}) d Σ$ ‍

Всъщност това е повърхностен интеграл от скаларна функция, макар че стойността на функцията е скаларно произведение на две векторни функции:

(\vec{v} \cdot \hat{n})

Този израз е толкова стандартен, че често пропускаме

\hat{n}

и записваме само:

$\iint_{S} \vec{v} \cdot d Σ$ ‍

Решение

Спомни си, че теоремата на Стокс дава връзката между повърхностния интеграл от ротацията на някаква функция и криволинейния интеграл от тази функция по границата на повърхнината. Това означава, че ще направим две неща:

Стъпка 1: Ще намерим функция, чиято ротация е векторното поле $y \hat{i}$ ‍
Стъпка 2: Ще съставим криволинейния интеграл от тази функция по единичната окръжност в равнината $x y$ ‍, тъй като тази окръжност е границата на полусферата.

Проверка на концепцията: Намери векторно поле

F (x; y; z)

, което притежава следното свойство:

$\nabla \times F = y \hat{i}$ ‍

Има много начини да направим това, но един от тях ще ни улесни живота особено. За начина, който имаме предвид, компонентите

\hat{i}

\hat{j}

са

0

, докато компонентът

\hat{k}

е различен от нула. Можеш ли да го намериш?

$F (x; y; z) = 0 \hat{i} + 0 \hat{j} +$ ‍
$\hat{k}$ ‍

Първо да напишем как се намира ротацията. Нека с $F_{1}$ ‍, $F_{2}$ ‍ и $F_{3}$ ‍ да означим функциите, които съответстват на координатите на нашата векторна функция:
$F (x; y; z) = F_{1} (x; y; z) \hat{i} + F_{2} (x; y; z) \hat{j} + F_{3} (x; y; z) \hat{k}$ ‍
След това ротацията се изчислява с помощта на следната детерминанта:
$\begin{aligned} | \begin{array}{ccc} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ F_{1} & F_{2} & F_{3} \end{array} | \\ = (\frac{\partial F_{3}}{\partial y} - \frac{\partial F_{2}}{\partial z}) \hat{i} + (\frac{\partial F_{1}}{\partial z} - \frac{\partial F_{3}}{\partial x}) \hat{j} + (\frac{\partial F_{2}}{\partial x} - \frac{\partial F_{1}}{\partial y}) \hat{k} \end{aligned}$ ‍
Искаме целият този израз да е равен на простото векторно поле $\vec{v} (x; y; z) = y \hat{i}$ ‍. За целта ни е нужно следното равенство:
$\begin{array}{r} (\frac{\partial F_{3}}{\partial y} - \frac{\partial F_{2}}{\partial z}) = y \end{array}$ ‍
Съществуват много двойки функции $F_{2}$ ‍ и $F_{3}$ ‍, за които това равенство ще е изпълнено. Като имаме предвид как формулирахме въпроса по-горе, искаме $F_{2}$ ‍ да е $0$ ‍.
Това означава, че членът $\frac{\partial F_{3}}{\partial y}$ ‍ трябва да се погрижи за равенството. За целта намираме примитивната функция на $y$ ‍, функцията отдясно, спрямо променливата $y$ ‍:
$F_{3} (x; y; z) = \frac{1}{2} y^{2}$ ‍
Когато приравним другите два компонента на $0$ ‍, можем да проверим оригиналния израз за ротацията, за да се уверим, че $\nabla \times F = y \hat{i}$ ‍, каквато беше целта ни.

При положение, че съществуват много различни функции, които удовлетворяват равенството $\nabla \times F = y \hat{i}$ ‍, коя от тях трябва да изберем?
Първо – искаме възможно най-простата функция, така че всичките компоненти, освен един, да са $0$ ‍.
Но от обяснението може би ти прави впечатление, че можем да изберем и функция, в която само $F_{2}$ ‍ е различно от нула. Защо не избираме нея? Въпреки че можем да използваме и тази функция, когато отчетем факта, че ще изчисляваме криволинеен интеграл по единичната окръжност в равнината $x y$ ‍, функция, която има само $\hat{k}$ ‍ компонент ще направи нещата даже още по-лесни.

Повърхнината

S

е дефинирана като частта от единичната сфера над равнината

x y

. Границата на тази полусфера е единичната окръжност в равнината

x y

Проверка на концепцията: По-долу са дадени две параметризации на единичната окръжност в равнината

x y

, които имат различна ориентация. Коя от тях съответства на ориентацията на полусферата над равнината

x y

, с единични нормални вектори, които сочат навън? ("Съответства" тук означава, че можем да използваме теоремата на Стокс.)

Избери един отговор:
(Избор А)
$[\begin{matrix} \cos (t) \\ \sin (t) \\ 0 \end{matrix}]$ ‍, където $0 \leq t \leq 2 π$ ‍
(Избор Б)
$[\begin{matrix} \cos (t) \\ - \sin (t) \\ 0 \end{matrix}]$ ‍, където $0 \leq t \leq 2 π$ ‍

Първият отговор е верен:
$[\begin{matrix} \cos (t) \\ \sin (t) \\ 0 \end{matrix}]$ ‍, където $0 \leq t \leq 2 π$ ‍
Това съответства на ориентация на окръжността обратно на часовниковата стрелка.
Повърхнините са ориентирани съгласно избраната посока на единичните им нормални вектори, а кривите са ориентирани съгласно избраната посока на техните тангенциални вектори. За да можем да използваме теоремата на Стокс, ориентацията на повърхнината и нейната граница трябва да си съответстват по правилния начин. Ето няколко различни, но еквивалентни начина да формулираме как изглежда това съответствие:
Когато гледаш към повърхнината по такъв начин, че всички единични нормални вектори сочат към теб, тогава контурът е с посока, обратна на часовниковата стрелка.
Ориентацията на кривата трябва да е в унисон с правилото на дясната ръка. Това означава, че когато насочиш палеца на дясната си ръка по посока на единичен нормален вектор в близост до ръба на повърхнината, посоката, в която сочат свитите ти пръсти, е посоката, в която контурът съответства на ориентацията на повърхнината.
Когато се движиш по граничния контур и тялото ти е обърнато в посоката на единичния нормален вектор, трябва да се движиш по такъв начин, че повърхнината да бъде винаги вляво от теб.
Ако използваме някое от тези изображения за конкретния пример, ще видим, че ориентацията обратно на часовниковата стрелка за единичната окръжност "съвпада" с единичните нормални вектори, които сочат навън от полусферата.

Проверка на концепцията: Нека

C

да е границата на повърхнината

S

. Използвай параметризацията на

C

, която току-що избрахме, заедно с дефиницията на

F

от предишната точка, за да решиш следния криволинеен интеграл:

$\oint_{C} F \cdot d r =$ ‍

Не е нужно да се впускаш в изчисления, след като помислиш какво представлява интегралът. Разгледай $F (x; y; z)$ ‍:
$F (x; y; z) = \frac{1}{2} y^{2} \hat{k}$ ‍
Прави впечатление, че той съдържа само компонент $\hat{k}$ ‍, така че всички вектори са перпендикулярни на равнината $x y$ ‍. Понеже кривата $C$ ‍ се намира изцяло в равнината $x y$ ‍, всички допирателни вектори $d r$ ‍ щесе намират в равнината $x y$ ‍. Следователно скаларното произведение $F \cdot d r$ ‍ в криволинейния интеграл винаги ще бъде $0$ ‍, така че като цяло криволинейният интеграл винаги ще е $0$ ‍.
Този факт би трябвало да ти е направил впечатление даже по-рано в задачата, още преди параметризирането на кривата. Обаче искахме просто да упражниш как се разсъждава относно съответствието на ориентацията на границата на повърхнината и самата повърхнина, защото това много лесно може да обърка нещата в задачите с теорема на Стокс.

Пример 2: Вятър и мрежичка за лов на пеперуди

Задача

Представи си, че имаш мрежа за лов на пеперуди, чиято рамка е квадратна, и че вятърът духа през мрежата. Представи си, че квадратната рамка е разположена в пространството върху равнината

y z

, така че четирите ѝ ъгъла са разположени в следните четири точки:

$[\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} 0 \\ - 1 \\ 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} 0 \\ - 1 \\ - 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ - 1 \end{matrix}]$ ‍

Нека мрежата да образува някаква повърхнина, която започва от тази рамка в положителната посока на оста

x

Векторното поле на скоростта на вятъра е дадено чрез следната функция:

$\begin{aligned} F = [\begin{array}{c} y^{2} \\ z^{2} \\ x^{2} \end{array}] \end{aligned}$ ‍

При условие, че движещият се въздух има еднородна плътност

1 kg / m^{3}

, какво количество въздух преминава през мрежата за единица време? По-точно, да приемем, че въздухът, който излиза от мрежата, е с положителен знак при сумирането, а въздухът, който влиза в мрежата, е с отрицателен знак.

Стъпка 1: Разнищване на въпроса

Първо да разгледаме по какъв начин тази физична на пръв поглед задача е свързана с използването на теоремата на Стокс.

Проверка на концепцията: Какво се търси в задачата по същество?

Избери един отговор:
(Избор А)
Потокът от $F$ ‍ през повърхнината на мрежата за пеперуди.
(Избор Б)
Криволинейният интеграл от $F$ ‍ около конкретния квадрат в равнината $y z$ ‍.

Проверка на концепцията: По-конкретно кой от следните интеграли отговаря на въпроса? Нека означим с

S

повърхнината на мрежата за пеперуди, докато

C

е квадратната рамка, която лежи в равнината

y z

Избери един отговор:
(Избор А)
$\iint_{S} (F \cdot \hat{n}) d Σ$ ‍, където $\hat{n}$ ‍ са единичните нормални вектори, които сочат навън.
(Избор Б)
$\iint_{S} (F \cdot \hat{n}) d Σ$ ‍, където $\hat{n}$ ‍ са единичните нормални вектори, сочещи навътре.
(Избор В)
$\int_{C} F \cdot d r$ ‍, където $C$ ‍ е с ориентация обратно на часовниковата стрелка.
(Избор Г)
$\int_{C} F \cdot d r$ ‍, където $C$ ‍ е с ориентация по часовниковата стрелка.

Скоростта, с която въздухът преминава през мрежата, изразена като обем за единица време, можем да изразим със следния интеграл на потока:
$\iint_{S} (F \cdot \hat{n}) d Σ$ ‍
Поради допускането, че въздухът има еднородна плътност $1 kg / m^{3}$ ‍, това ни дава също така и масата на въздуха, който преминава през мрежата за единица време.
За да предадем условието, че въздухът, който излиза от вътрешността на мрежата навън е с положителен знак спрямо потока, докато въздухът, който навлиза в мрежата отвън е с отрицателен знак спрямо потока, единичните нормални вектори $\hat{n}$ ‍ трябва да сочат навън. По този начин скаларното произведение $F \cdot \hat{n}$ ‍ ще бъде положително в точките, в които въздухът излиза навън, и отрицателно в точките, където влиза навътре.
Ако това ти е непознато, виж отново статията за тримерен поток.

Това е просто начин да придадем физически смисъл на повърхностния интеграл върху векторно поле.

Стъпка 2: Използване на теоремата на Стокс

Това, което може да изглежда странно за тази задача, и което предполага, че трябва да използваме теоремата на Стокс,е фактът, че повърхнината на мрежата не е дефинирана! Дадена е само границата на тази повърхнина: конкретен квадрат в равнината

y z

Ако намерим начин да изразим

F (x; y; z)

като ротацията на някакво друго векторно поле, да кажем

G (x; y; z)

, ще можем да приложим теоремата на Стокс по следния начин:

$\underset{Търсеният интеграл на потока}{\underset{⏟}{\iint_{S} (F \cdot \hat{n}) \cdot d Σ}} = \underset{Теорема на Стокс}{\underset{⏟}{\iint_{S} (\nabla \times G) \cdot \hat{n} d Σ = \int_{C} G \cdot d r}}$ ‍

Това е аналогично на използването на интеграла

\int f (x) d x

в анализа на функции на една променлива, където търсим някаква нова функция, която отговаря на условието

g^{'} (x) = f (x)

, което после ни дава възможност да изчислим интеграла въз основа на граничните стойности. В този случай търсим "примитивната функция на ротацията" от

F

, така да се каже, което ще ни позволи да изчислим повърхностния интеграл въз основа на стойностите на тази "примитивна функция" на ротацията по границата на повърхнината.

За разлика от анализа на функции на една променлива, не всички векторни полета

F

притежават такава "примитивна функция" на ротацията. За наш късмет точно тази конкретна функция е от тези, които имат.

$F = [\begin{matrix} y^{2} \\ z^{2} \\ x^{2} \end{matrix}]$ ‍

Проверка на концепцията: Намери векторното поле

G (x; y; z)

, което удовлетворява условието

\nabla \times G = F

$G (x; y; z) =$ ‍
$\hat{i} +$ ‍
$\hat{j} +$ ‍
$\hat{k}$ ‍

Нека $G_{1}$ ‍, $G_{2}$ ‍ и $G_{3}$ ‍ да са компонентите на функцията $G$ ‍:
$G (x; y; z) = G_{1} (x; y; z) \hat{i} + G_{2} (x; y; z) \hat{j} + G_{3} (x; y; z) \hat{k}$ ‍
Сега просто записваме дефиницията на ротацията:
$\begin{aligned} | \begin{array}{ccc} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ G_{1} & G_{2} & G_{3} \end{array} | \\ = (\frac{\partial G_{3}}{\partial y} - \frac{\partial G_{2}}{\partial z}) \hat{i} + (\frac{\partial G_{1}}{\partial z} - \frac{\partial G_{3}}{\partial x}) \hat{j} + (\frac{\partial G_{2}}{\partial x} - \frac{\partial G_{1}}{\partial y}) \hat{k} \end{aligned}$ ‍
Когато заместим това в дефиницията на $F$ ‍, това означава, че желаното условие $\nabla \times G = F$ ‍ може да се представи като следните три уравнения:
$\begin{aligned} \frac{\partial G_{3}}{\partial y} - \frac{\partial G_{2}}{\partial z} & = y^{2} \\ \frac{\partial G_{1}}{\partial z} - \frac{\partial G_{3}}{\partial x} & = z^{2} \\ \frac{\partial G_{2}}{\partial x} - \frac{\partial G_{1}}{\partial y} & = x^{2} \end{aligned}$ ‍
Решаването на тези уравнения е като подреждането на пъзел. Заместваш някакви стойности и ги променяш дотогава, докато нещата се получат, като се опитваш всичко да остане по възможност по-просто. След като си поиграеш на налучкване, може би ще установиш, че най-поростата стратегия е следната: Нека $G_{3}$ ‍ да се погрижи за цялото първо уравнение, $G_{1}$ ‍ за второто уравнение и $G_{2}$ ‍ за последното уравнение. По-точно:
$\begin{aligned} G_{3} & = \frac{1}{3} y^{3} \\ G_{1} & = \frac{1}{3} z^{3} \\ G_{2} & = \frac{1}{3} x^{3} \end{aligned}$ ‍
Нека запишем това по начина, нужен за задачата:
$G (x; y; z) = \frac{1}{3} z^{3} \hat{i} + \frac{1}{3} x^{3} \hat{j} + \frac{1}{3} y^{3} \hat{k}$ ‍
В известен смисъл имахме късмет с тази задача, тъй като има известна симетрия и нещата не се усложниха особено. В общия случай уравненията, в които участват частни производни, са доста трудни за решаване. Както и в момента, за някои от тях има обявени награди от милион долара. Разделът, който се занимава с този вид уравнения, се нарича "Частни диференциални уравнения", и решаването им изисква по-сложна тактика от това да налучкваме отговора, което използвахме в този пример.> $\begin{aligned} \frac{\partial G_{3}}{\partial y} - \frac{\partial G_{2}}{\partial z} & = y^{2} \\ \frac{\partial G_{1}}{\partial z} - \frac{\partial G_{3}}{\partial x} & = z^{2} \\ \frac{\partial G_{2}}{\partial x} - \frac{\partial G_{1}}{\partial y} & = x^{2} \end{aligned}$ ‍

Стъпка 3: Изчисляване на криволинейния интеграл

При тези условия за

G

, последната стъпка е да изчислим криволинейния интеграл отдясно в основното ни уравнение:

$\underset{Интеграл от търсения поток}{\underset{⏟}{\iint_{S} (F \cdot \hat{n}) \cdot d Σ}} = \underset{Теорема на Стокс}{\underset{⏟}{\iint_{S} (\nabla \times G) \cdot \hat{n} d Σ = \overset{Сега изчисляваме това.}{\overset{⏞}{\int_{C} G \cdot d r}}}}$ ‍

В този контекст кривата

C

представлява квадрат

2 \times 2

в равнината

y z

, чиито върхове са следните четири точки:

$[\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} 0 \\ - 1 \\ 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} 0 \\ - 1 \\ - 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ - 1 \end{matrix}]$ ‍

Преди да изчислим криволинейния интеграл по този квадрат, трябва да го ориентираме по подходящ начин в съответствие с ориентацията на повърхнината на мрежата за пеперуди

S

Проверка на концепцията: При условие, че мрежата лежи в положителната посока на оста

x

спрямо квадрата на рамката

C

, и ориентацията ѝ е съгласно насочените навън единични нормални вектори, как трябва да е ориентирана границата

C

, за да използваме теоремата на Стокс? Отговори на този въпрос, все едно стоиш върху оста

x

и гледаш директно към

C

Избери един отговор:
(Избор А)
По часовниковата стрелка
(Избор Б)
Обратно на часовниковата стрелка

Обратно на часовниковата стрелка.
Както споменахме при отговора на подобен въпрос в предходния пример, съществуват няколко начина да формулираме правилото за това съответствие на ориентацията.
Когато гледаш към повърхнината по такъв начин, че всички единични нормални вектори сочат към теб, тогава контурът е с посока, обратна на часовниковата стрелка.
Ориентацията на кривата трябва да е в унисон с правилото на дясната ръка. Това означава, че когато насочиш палеца на дясната си ръка по посока на единичен нормален вектор в близост до ръба на повърхнината, посоката, в която сочат свитите ти пръсти, е посоката, в която контурът съответства на ориентацията на повърхнината.
Когато се движиш по граничния контур и тялото ти е обърнато в посоката на единичния нормален вектор, трябва да се движиш по такъв начин, че повърхнината да бъде винаги вляво от теб.

Проверка на концепцията: Нашата конструкция на

G

изглежда по следния начин:

$G = \frac{1}{3} [\begin{matrix} z^{3} \\ x^{3} \\ y^{3} \end{matrix}]$ ‍

При това условие, и при ориентацията на

C

, която току-що определи, довърши задачата като изчислиш следния криволинеен интеграл:

$\int_{C} G \cdot d r =$ ‍

Първо ще начертаем квадрат в равнината $y z$ ‍ с определената ориентация обратно на часовниковата стрелка.
Сега да помислим за следния криволинеен интеграл по всяка от неговите страни:
$\int \frac{1}{3} [\begin{matrix} z^{3} \\ x^{3} \\ y^{3} \end{matrix}] \cdot d r$ ‍
Дясна страна: Когато се изкачваме по дясната страна, малка стъпка под формата на вектор $d r$ ‍ е стъпка в посока $z$ ‍.
$d r = [\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ d z \end{matrix}]$ ‍
Ето какво означава това за интеграла:
$\int \frac{1}{3} [\begin{matrix} z^{3} \\ x^{3} \\ y^{3} \end{matrix}] \cdot [\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ d z \end{matrix}] = \int \frac{1}{3} y^{3} d z$ ‍
Този интеграл е по дясната страна на квадрата, където стойността на $y$ ‍ е винаги $1$ ‍, а $z$ ‍ е в интервала от $z = - 1$ ‍ до $z = 1$ ‍. Интегралът се опростява до:
$\int_{- 1}^{1} \frac{1}{3} (1)^{3} d z = \frac{2}{3}$ ‍
Горна страна: Когато вървим наляво върху горната страна, малката стъпка е вектор, който е
$d r = [\begin{matrix} 0 \\ - d y \\ 0 \end{matrix}]$ ‍
Понеже границите на криволинейния интеграл са от $y = - 1$ ‍ до $y = 1$ ‍, това означава, че криволинейният интеграл в тази част на квадрата става:
$\int_{- 1}^{1} - \frac{1}{3} x^{3} d y$ ‍
Понеже $x$ ‍ е нула върху цялата права (или даже за целия квадрат), този интеграл е равен на $0$ ‍.
Лява страна: Почти идентично на дясната страна, с тази разлика, че $d z$ ‍ и константната стойност на $y$ ‍ са отрицателни. Тези разлики се унищожават, така че интегралът от тази страна също става $\frac{2}{3}$ ‍.
Долната страна: Почти същото като за горната страна. Също дава $0$ ‍.
И ето така криволинейният интеграл е равен на $\frac{4}{3}$ ‍.

Обобщение

Теоремата на Стокс може да се използва за превръщане на повърхностни интеграли върху векторно поле в криволинейни интеграли.
Това действа само тогава, когато можем да изразим първоначалното векторно поле като ротацията на някакво друго векторно поле.
Трябва да внимаваме ориентацията на границата на повърхнината да съответства на ориентацията на самата повърхнина.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила

Сортирай по:

Все още няма публикации.

Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.