If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

Директно изчисляване на криволинеен интеграл - част 1

Ще покажем, че не е задължително да се използва теоремата на Стокс, за да се изчисли дадения ни криволинеен интеграл. Създадено от Сал Кан.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.

Видео транскрипция

В последните няколко видео клипа изчислихме криволинейния интеграл по този контур ето тук с помощта на теоремата на Стокс, като казвахме, че това е равно на повърхностния интеграл от скаларното произведение на ротацията на векторното поле и повърхнината. В това видео искам да покажа, че не е задължително да се използва теоремата на Стокс, за да изчислим криволинейния интеграл. Това, което искам да проверим в този случай, е кой от двата начина е по-лесен за изчисление. Но теоремата на Стокс е ценна, тъй като понякога, когато имаме криволинеен интеграл, е по-лесно да се използва теоремата на Стокс и да се изчисли повърхностния интеграл. Но понякога, когато имаме повърхностен интеграл, е по-лесно да се използва теоремата на Стокс, за да се изчисли криволинейния интеграл. Да опитаме да решим този криволинеен интеграл. Надявам се, че ще получим същия отговор, ако не допускаме грешки. Първото нещо, което искам да направя, е да да намеря параметризацията на нашата крива ето тук, това сечение с равнината у плюс z равно на 2. Можеш да си представиш тази куха тръба, която се пресича с равнината ху и сечението е единична окръжност, а самата тръба е безкрайна в посока нагоре и надолу. Даден ни е този контур ето тук, който има тази ориентация. (показва на чертежа) Тъй като ще параметризираме само контура, ще ни е нужен само един параметър. Да помислим малко. Правили сме това много пъти досега, но не пречи да го направим отново. Това е оста у. Това е оста х. Това е оста z. Променливите х и у приемат всички стойности в единичната окръжност. Стойността z ни показва колко високо се намираме над единичната окръжност, за да попаднем върху този контур. Значи х и у ще приемат всички стойности от единичната окръжност. Правили сме това много пъти досега. Най-лесният начин да разсъждаваме е да въведем параметър тита, който измерва ъгъла спрямо положителната част на оста х. Параметърът тита – ние просто ще се завъртим и ще направим пълна обиколка около единичната окръжност. Значи тита ще бъде в интервала от 0 до 2 по пи. Значи 0 е по-малко от тита, което е по-малко или равно на 2 по пи. В тази ситуация х ще бъде... от определението на тригонометричните функции чрез единичната окръжност – х е равно на косинус от тита. у е равно на синус от тита. После z – на каква височина се издигаме – можем да използваме това ограничение, което да ни помогне да го определим. у плюс z равно на 2, значи z е равно на 2 минус у. Но понеже у е синус от тита, тогава z е равно на 2 минус синус от тита. И сме готови. Това е нашата параметризация. Ако искаме да я представим като функция от радиус-вектор, можем да напишем, че r, което е функция от тита, е равно на косинус от тита по i, плюс синус от тита по j, плюс 2 минус синус от тита, по k. Сега сме готови поне да се опитаме да изчислим този криволинеен интеграл. Трябва да намерим скаларното произведение на F по dr. За да го направим, трябва да определим колко е dr. Само да си припомним, че dr е равно на dr/d тита, по d тита. Ако диференцираме това относно тита, производната на косинус от тита е минус синус от тита, по i. Производната на синус от тита е косинус от тита, плюс косинус от тита, по j. Производната на 2 минус синус от тита е равна на минус косинус от тита, k. След това всичко това умножаваме... Тук отново имаме d тита. Това е dr/d тита. Ще го запиша. След това записваме d тита ето така. Сега сме готови да намерим скаларното произведение на F и dr. Да помислим за това. Скаларното произведение на F и dr – ще запиша dr с този цвят. Скаларното произведение на F и dr е равно на... първо да видим компонентите i. Имаме минус у на квадрат по минус синус от тита. Това е равно на... минусите ще се компенсират. Тогава получаваме... Ще получим у на квадрат по синус от тита, това е от i-компонента, плюс... сега ще имаме х по косинус от тита. После имаме плюс z на квадрат по минус косинус от тита. Това ще стане минус z на квадрат по косинус от тита. Всичко това е по d тита. За да изчислим интеграла по затворения контур, който ни интересува, сега ние сме в дефиниционното множество на тита. Можем да кажем, че това е обикновен интеграл от тита с граници от 0 до 2 по пи. Всъщност ние не сме изцяло в дефиниционното множество на тита. Все още това е изразено чрез х, у и z. Трябва да го изразим чрез тита. Да го направим. Значи това е равно на интеграл от 0 до 2 по пи. Всъщност ще си оставя повече място, защото имам чувството, че тук ще ни трябва много място в хоризонтална посока. Това е интеграл от 0 до 2 по пи, от у на квадрат – у е просто синус от тита. Значи ще стане синус на квадрат от тита, още веднъж по синус от тита. Това дава синус на трета степен от тита. Ще използвам нов цвят. Ще го запиша със синьо. Това е синус на квадрат от тита по синус от тита, което дава синус на трета степен от тита. Ще използвам различни цветове. Това е синус на трета степен от тита. Тук ще сложа скоби. После х е косинус от тита по косинус от тита. Значи става плюс косинус на квадрат от тита. След това z на квадрат – всъщност тук нещата малко се усложняват. Да помислим за това колко е z на квадрат. Ще го сметна ето тук. z на квадрат е равно на 4 минус 4 по синус от тита плюс синус на квадрат от тита. Тук имаме минус z на квадрат по косинус от тита. Значи минус z на квадрат е равно на минус 4 плюс 4 по синус от тита, минус синус на квадрат от тита. Това е минус z на квадрат, и умножаваме това по косинус от тита. Ще го напиша с оранжево. Значи всичко това тук е равно на косинус от тита по всичко това ето тук. (подчертава израза) Значи това дава минус 4 по косинус от тита, плюс 4 по косинус от тита, по синус от тита, и после минус косинус от тита, по синус на квадрат от тита. Изглежда, че сме готови, поне с тази стъпка – d тита. Сега само трябва да изчислим интеграла. Видяхме как преобразувахме този интеграл и получихме по-прост едноизмерен определен интеграл, който в този случай е много по-прост. Но истинският интеграл, който трябва да изчислим, е малко по-сложен. Може би ще се наложи да използваме знанията си по тригонометрия, за да го решим правилно, но той може да бъде решен. Ще спра дотук. Ще изчислим този интеграл в следващото видео.