If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

Директно изчисляване на криволинеен интеграл - част 2

Изчисляване на криволинейния интеграл с директно интегриране на тригонометрични функции. Създадено от Сал Кан.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.

Видео транскрипция

Сега само остава да изчислим този интеграл, което е по същество повече упражнение за изчисляване на тригонометрични интеграли, отколкото нещо друго. Но никога не пречи да се упражним, така че да го направим стъпка по стъпка. Виждаме синус на трета степен от тита. Няма пряк начин да намерим примитивната функция на синус на трета степен от тита. Но щом тук имаме някаква смес от синуси и косинуси, тогава можем да направим интегриране със заместване, което в този момент вероятно вече можеш да правиш и наум. Това, което ще направим, е да запишем това като произведение. Можем да представим това като синус от тита... ще направя тази част ето тук. Това е синус от тита по синус на квадрат от тита. Синус на квадрат може да се представи като 1 минус косинус на квадрат от тита. Значи това е същото нещо като синус от тита по 1 минус косинус на квадрат от тита. Ако умножим ето тук, получаваме синус от тита минус синус от тита по косинус на квадрат от тита. Това е много по-лесно за интегриране, макар че изглежда като по-сложен израз, защото е лесно да се намери примитивната функция на синус от тита. Сега е лесно да намерим примитивната функция на това, защото имаме производната на косинус от тита ето тук. Това ще бъде косинус на трета от тита, върху 3. По същество интегрираме чрез заместване ето тук. Ще оставя това така за секунда. Ще преработя всички тези, (посочва ги с курсора на мишката) така че да е по-лесно да намерим примитивната функция от тях. Косинус на квадрат от тита – знаем, че това е обикновено тригонометрично тъждество. Това е равно на 1/2 от 1 плюс косинус от 2 по тита. Повтарям, че това е много, много по-лесно да намерим примитивната функция. Значи записвам плюс 1/2 по косинус от 2 по тита. Сега наистина е много лесно да намерим примитивната функция на това тук, като само ще го препиша още веднъж. Значи минус 4 по косинус от тита плюс 4 по косинус от тита, по синус от тита, минус косинус от тита, по синус на квадрат от тита, d тита. Едва успях да го сместя. Значи това е интеграл с граници от 0 до 2 по пи. Сега да намерим примитивната функция на всяка една от тези стъпки. Започва да изглежда зле. Ще се опитам да пиша малко по-старателно. Примитивната функция на синус от тита е минус косинус от тита. Ако диференцираме косинус от тита, ще получим минус синус от тита. След това минусите се компенсират, и получаваме това ето тук. После ето тук имаме производната на косинус от тита, която е минус синус от тита. Така че можем един вид да разглеждаме това като... можем да положим u равно на косинус от тита. Това един вид правим наум. Значи примитивната функция на това ще е равна на плюс косинус на трета от тита, върху 3. След това примитивната функция на 1/2 относно тита е просто плюс 1/2 по тита. Примитивната функция на косинус от 2 по тита... искаме производната на това да е някъде тук. Производната на това тук е 2. Значи ако сложим тук 2... но не можем просто да умножим по 2. Трябва също така да разделим на 2. Ако сложа тук 2, после трябва и да разделя на 2. Тогава в знаменателя ще получим 4. Това не се променя. Обърни внимание, сега това е 2/4 по косинус на квадрат от тита, което е съвсем същото като 1/2 по косинус 2 от тита. Но това е полезно, защото сега – по начина, по който съм го написал, тук имаме производната от 2 по тита. Можем просто да намерим примитивната функция на цялото това нещо, която е синус от 2 по тита. Но все още имаме 1, така че тази част от примитивната функция ето тук е синус от 2 по тита. След това имаме това 1/4 отпред. Значи плюс 1/4 по синус от 2 по тита. Примитивната функция на косинус от тита е просто синус от тита, така че минус 4 по синус от тита. Примитивната функция на това тук – можем да изберем по кой начин да я определим. Можем да кажем, че производната на синус от тита е косинус от тита. Това ще е равно на 4 по синус на квадрат от тита, върху 2. Вместо да кажем върху 2, вместо да запишем това 4, просто ще разделя 4 на 2, което дава 2. Ще изтрия това 4 и ще запиша тук 2. Можеш да го направиш и самостоятелно. Ако намериш производната на това тук, това е производната от синус от тита. Ако просто използваш правилото за диференциране на сложна функция, което ще е косинус от тита, а после по 4 по синус от тита. Това е точно това ето тук. И накрая имаме тази последната част. Производната на синус от тита е косинус от тита. Отново, както го направихме и преди, примитивната функция на цялото това нещо ще бъде минус синус на трета от тита, върху 3. Искаме да изчислим целия израз за 0 и за 2 по пи. Да видим какво ще ни даде. Първо да изчислим всичко за 2 по пи. Това изчислено за 2 по пи е минус 1. (посочва частта от израза, която изчислява) Това изчислено за 2 по пи е 1/3. Това изчислено за 2 по пи е просто пи. Това изчислено за 2 по пи е 0, защото синус от 4 по пи е равно на нула. Това изчислено за 2 по пи е равно на 0. Това изчислено за 2 по пи е равно на 0. И това изчислено за 2 по пи дава 0. Това е едно хубаво опростяване. Значи всичко това дава 2 по пи. От това сега ще извадим всичко това, изчислено за 0. Косинус от 0 е отново 1. Имаме знак минус, така че става минус 1. После имаме плюс 1/3. После ще имаме 0. После всичко това е 0. Ако опростим това, получаваме... това е равно на минус 1 плюс 1/3, плюс пи. След това имаме плюс 1, минус 1/3. Тези се унищожават. Това се унищожава с това. Сега заслужаваме аплодисменти. Всичко това се опрости, точно както когато използвахме теоремата на Стокс в предишните 4 видео клипа. Всъщност, даже мисля, че тогава беше малко по-просто, отколкото при това директно изчисляване на криволинейния интеграл. Това се опрости до пи.