If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

Пример с използване на теоремата на Стокс - част 2

Параметризиране на повърхността. Създадено от Сал Кан.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.

Видео транскрипция

След като съставихме нашия повърхностен интеграл, можем да параметризираме повърхнината. Един начин да разсъждаваме е, че искаме стойностите на х и на у да дават всички стойности на функцията, които са в кръга, ограден от единичната окръжност, която оцветявам ето тук. Това са стойностите на z, които са функция от у. Можем да ги изразим с това уравнение – z е равно на 2 минус у. След това можем да определим колко високо да отидем, за да получим стойността на z. Като направим това, ние ще можем да получим всяка точка, която лежи в повърхнината. Първо да помислим за това как можем да получим всяко х и у вътре в единичната окръжност. Да се фокусираме върху равнината ху. Ще направя друг чертеж, така че да изглежда по-традиционно. Това е оста х, а това е оста у, които изглеждат ето така. Ще го начертая още веднъж. Това е оста у. Сега, ако искаме да начертаем единичната окръжност, като някаква основа на това тяло, или поне сечението ѝ с равнината ху... всъщност това нещо продължава надолу, ако искам да начертая х на квадрат плюс у на квадрат равно на 1. Но ако начертая сечението му с равнината ху, получаваме единична окръжност. Просто ще я начертая. Това е най-добрият ми опит да начертая единичната окръжност. Получаваме единична окръжност, и сега искаме да определим какви параметри да използваме, за да получим всяка координата х и у на точките, които лежат вътре в единичната окръжност. За да определим това, ще въведа един параметър, който по същество е ъгълът спрямо оста х. Ще означа този параметър като тита. Значи тита е ъгълът с оста х. Значи тита показва как точките се завъртат наоколо. Тита е между 0 и 2 по пи. Значи тита приема стойности между 0 и 2 по пи. Ако фиксираме радиуса в някаква точка, да кажем, че радиусът е 1, тогава това ще ни даде всички точки върху единичната окръжност. Но ние искаме всички точки вътре в единичната окръжност. Така че радиусът също трябва да се променя. Да въведем още един параметър, който можем да означим с r – това е радиусът. За всяка дадена стойност r, ако тита се променя, ние по същество ще опишем една окръжност с този радиус. Ако променим радиуса с малко, ще опишем друга окръжност. Ако променяме радиуса между 0 и 1, ще получим всички окръжности, които ще запълнят това пространство вътре в единичната окръжност. Значи радиусът се изменя между 0 и 1. Друг начин да разсъждаваме е, че за всяка дадена стойност на тита, ако променяме радиусът, то ще получим всички точки, които лежат на тази отсечка. Тогава, когато променяме тита, ще опишем цялата окръжност. Така че можем да го разглеждаш и по двата начина. Като казахме това, сега да определим х и у чрез тези параметри. Можем да кажем, че х е равно на... значи стойността на х за произволно r е равна на r по косинус от тита. Това е този компонент, той ще е равен на r по косинус от тита. След това компонентът у... това е елементарна тригонометрия – у ще е равно на r по синус от тита. Компонентът z, който вече казахме, че може да се представи като функция от у – ето тук можем да преработим компонента z и да го представим като 2 минус у. Това ни казва колко високо се намираме над тази равнина. Значи, ако z е равно на 2 минус у, а у е r по синус от тита, тогава z можем да представим като 2 минус r по синус от тита. Дотук добре. Това е нашата параметризация, ако искаме да представим това като радиус-вектор, който има два параметъра – ще го означа като малко s, защото вече използвахме r. Малка буква s – това е нашата повърхнина, която ще параметризираме с r и тита. Можем да я запишем като r по косинус от тита, по i, плюс r по синус от тита, по j, плюс r... плюс 2 минус r по синус от тита, по k.