If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

Пример с използване на теоремата на Стокс - част 3

Превръщане на повърхностния интеграл в двоен интеграл. Създадено от Сал Кан.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.

Видео транскрипция

Сега вече можем да се заемем със същината на изчисляването на този повърхностен интеграл. Трябва да го преработим като двоен интеграл в дефиниционното множество на параметрите. Първото нещо, което ще направя, е да преработя тази част чрез нашите параметри. Вече определихме, че произведението на n – нормалният вектор, по диференциала на повърхнината, може да бъде представено като един вид векторна версия на диференциала на повърхнината, който сочи в същата посока като нормалния вектор. Това ще бъде същото нещо. Трябва да се уверим, че получаваме правилно подреждането на векторното произведение като частните производни... ще потвърдя това след секунда. Частната производна на един от параметрите... Частната производна на параметризацията относно един от параметрите, векторното ѝ произведение с частната производна на параметризацията относно другия параметър. След това цялото това нещо... не взимам абсолютна стойност, защото искам да получа вектор ето тук – по деференциалите на параметрите – d тита, dr. Можем да разменим местата на тези двете, (диференциалите на параметрите) в зависимост от това кое ще направи по-лесен нашия двоен интеграл. Но не можем да разменим тези двете, (посочва на екрана) защото това ще промени посоката на вектора. Така че искаме да сме сигурни, че този вектор сочи в правилната посока. Да помислим за посоката на тази частна производна относно r. Когато r нараства, ние се движим радиално навън от центъра на повърхнината. Ще използвам различен цвят. Когато r нараства, ние се движим радиално навън. Значи тази величина ще е вектор, който сочи ето така. После, когато тита нараства, ние се движим приблизително в тази посока. Значи когато намираме векторното произведение на тези двете – можем да използваме и правилото на дясната ръка. Взимаш дясната си ръка и насочваш показалеца по посока на жълтия вектор... Искам да поясня – това е оранжевият вектор ето тук. Насочваш показалеца си по посока на жълтия вектор. Това е моят показалец, моят треперливо нарисуван жълт показалец. Поставям средния си пръст по посока на оранжевия вектор. Значи средния си пръст свивам и го поставям по посока на оранжевия вектор. Другите два пръста не ни интересуват. Сега палецът сочи по посока на векторното произведение. Палецът ще сочи по този начин. Старая се максимално да го нарисувам добре. Това е точно посоката, в която искаме да сочи. Искаме да сочи нагоре, за да бъде ориентиран правилно по отношение на посоката, в която обикаляме този контур. Значи това е право нагоре. Ако бяхме получили така, че палецът да сочи надолу от равнината, тогава щяхме да разменим местата на тези. Като изяснихме това, сега да изчислим това векторно произведение. Векторното произведение на частната производна на параметризацията относно r и частната производна на параметризацията относно тита – ще направя матрица, за да намеря това векторно произведение. Ще поставя i, j, k, ето така. След това първо ще запиша частната производна относно r. Компонентът i – ако го диференцираме относно r, това е просто косинус от тита. Производната на компонента j относно r е синус от тита. (посочва с курсора на мишката) Производната на компонента k относно r (посочва с курсора на мишката) е минус синус тита. След това умножаваме по това – значи производната на това относно тита, която е минус r по синус от тита. Производната на j-компонента относно тита е r по косинус от тита. Производната на k-компонента – или на z-компонента относно тита – тя е – да видим – минус r по косинус от тита. Така ли е? Да. Производната на синус от тита е косинус от тита. Да. Това е минус r по косинус от тита. Сега просто ще изчисля тази детерминанта ето тук. Нашият i-компонент ще бъде... игнорираме този ред и този стълб. Получаваме синус от тита по минус r, по косинус от тита. Ще използвам нов цвят за това. Получаваме минус r... това не е нов цвят. Ще използвам пурпурно. Получаваме минус r по косинус от тита, по синус от тита, минус... това ще бъде отрицателно число. Когато изваждаме отрицателно число, знакът става плюс. Значи плюс r по косинус от тита, по синус от тита. Винаги е хубаво, когато нещата се компенсират. Това плюс това дава просто нула. Отрицателната версия на това плюс положителната му версия. Тези се унищожават и остава 0. Нямаме i-компонент. Сега да видим j-компонента. Спомни си, че трябва да използваме шахматното правило. Това ще бъде минус j. Това е – игнорираме този ред и този стълб – косинус от тита по минус r, по косинус от тита, това дава минус r по косинус на квадрат от тита. Просто умножих тези два члена. Сега от това ще извадя това по това. Това по това – минусите се компенсират. Получаваме синус на квадрат от тита. Значи това е минус – само да проверя. Да, изваждаме произведението на тези двете. Произведението е положително. Това е r по синус на квадрат от тита. Това винаги е трудната част. Може да се допуснат много грешки по невнимание. Това изглежда, че може да се опрости, но само момент... Всъщност ще умножа по това минус 1, просто за забавление. Ако умножим по отрицателния знак, всички тези стават положителни. Това ще ни помогне в опростяването. Сега да видим компонента k. k-компонента ще напиша в пурпурно... не, ще го напиша със синьо. Компонентът k. Игнорирам този ред и този стълб. Значи плюс k по косинус от тита по r по косинус от тита, това е r по косинус на квадрат от тита. Сега от това ще извадя минус r по синус от тита по синус от тита. Това е минус r по синус на квадрат от тита, но го изваждаме. Значи става плюс r по синус на квадрат от тита. Това изглежда, че също ще се опрости хубаво. Ето тази част ето тук, можем да я изнесем пред скоби – само да го препиша. Това може да се преработи като r по косинус на квадрат от тита, плюс синус на квадрат от тита – това е основно тригонометрично тъждество. Това просто дава 1. Значи това е просто r по j. Това тук се опростява по съвсем същия начин. Това е r по косинус на квадрат от тита, плюс синус на квадрат от тита. Това също дава 1. Значи това се опростява до r по k. Така цялото векторно произведение – всичко това ето тук се опрости, за наш късмет, е равно на r единичния вектор j плюс r по единичния вектор k. Сега можем да запишем нашия повърхностен интеграл. Първоначалният повърхностен интеграл можем да представим като двоен интеграл. Но може би е добре да сменим реда на интегриране, като може да решим за реда на интегриране и по-късно. Двоен интеграл. Това е в дефиниционното множество на параметрите, или в дефиниционното множество на r и тита. Значи това е двоен интеграл от – пак имаме ротацията на F. Ще трябва да изчислим ротацията на F. Затова просто ще запиша "ротацията на векторното поле F", векторното ѝ произведение с това нещо тук, (r по j, плюс r по k). След това имаме нашите дав параметъра. Може би е добре да сменим местата им. Може би да напиша d тита, dr. След това, ако интегрираме в този ред, тита е в интервала от 0 до 2 по пи, а r е в интервала от 0 до 1. Но ако разменим местата на двата параметъра, тогава ще трябва да разменим и границите. Ще спра дотук. В следващото видео ще изчислим ротацията на F. Може би в същото видео, ако остане време, ще получим и крайния резултат.