If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

Пример с използване на теоремата на Стокс - част 4

Определяне на ротацията на векторното поле и после изчисляване на двойния интеграл в дефиниционното множество на параметрите. Създадено от Сал Кан.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.

Видео транскрипция

Вече сме почти на финала. Трябва само да изчислим ротацията на F и после да намерим векторното произведение и да изчислим двойния интеграл. Да намерим ротацията на F. Значи ротацията ще е равна на... само да припомня, че детерминантата – когато имаме компонентите i, j и k – можеш да си представиш, че това е векторното произведение на операторът del с един истински вектор. Ще запиша оператора del с различен цвят, за да не е толкова монотонно, така че частната производна относно х, частната производна относно у, частната производна относно z, а после нашето векторно поле – копирах го и го поставих ето тук. Това е равно на минус у на квадрат, това е нашият i-компонент, х е нашият j-компонент, а z на квадрат е нашият k-компонент. Това е равно на i по частната производна на z на квадрат относно у. В този случай z на квадрат е просто константа относно у, значи частно z на квадрат относно у ще бъде просто 0. Минус частната производна на х относно z, което отново е константа, когато диференцираме относно z, така че и това ще бъде 0. Това е хубаво опростяване, и после имаме минус j – използваме шахматното правило, поставям знак минус пред j, минус j – сега имаме частната производна на z на квадрат относно х, това отново е нула, и после минус частната производна на минус у на квадрат относно z, което отново е нула, и накрая е компонентът k, значи плюс k – имаме частната производна на х относно х, което ни дава 1, минус частната производна на минус у на квадрат относно у – това е минус 2 по у, изваждаме го, значи става плюс 2 по у. Ротацията на F се опрости – всичко това тук е просто нула, получаваме 1 плюс 2 по у, по k, или k по (1 плюс 2 по у). Ако се върна тук горе, ако се върнем към това, ще получим – ще препиша интеграл от нула до едно, това е нашето r, нашият параметър r е от 0 до 1, тита е от 0 до две по пи. Сега ротацията на F се опрости до – няма да пропускам никакви стъпки, въпреки че е изкушаващо – това е 1 плюс 2 по у, всъщност, вместо да пиша 2 по у, ще го изразя направо чрез параметрите. Виждаме тук горе, че у е равно на r по синус от тита, ако правилно си спомням – да, у е r по синус от тита. Ще го запиша по следния начин. Две по r, по синус от тита, по k. Сега ще намерим векторното произведение на това с това ето тук – (посочва го) с r по j, плюс r по k, d тита, dr. Намираме векторното произведение – тук има само k компонент, j-компонентът е 0, така че векторното произведение с j-компонента е просто 0. Никое от двете няма i-компонент. Значи тук вътре се опростява до – (подчертава го) трябва да мислим само за k-компонентите, защото всичко друго е нула, така че това дава r по това и сме готови! Това е r плюс 2 по r на квадрат, по синус от тита, d тита, dr. Пак имаме границите на тита от нула до 2 по пи, и границите на r от 0 до 1. Сега това е един много лесен двоен интеграл. Трябва да изчислим само това нещо. Първо ще намеря примитивната функция относно тита, която ще бъде... да се фокусираме първо на тита – примитивната функция на r относно тита е просто r по тита, тъй като r е просто константа, а после примитивната функция на това, примитивната функция на синус от тита е минус косинус от тита. Това става минус 2 по r на квадрат, по косинус от тита. Ще го изчислим от нула до две по пи. След това имаме външния интеграл, който ще повторя с жълто – сега ще интегрираме относно r, като r е между 0 и 1. Но вътре ето тук, ако изчислим всичко това ето тук за 2 по пи, получаваме 2 по пи, по r, което е ето това тук, минус... Косинус от 2 по пи е 1. Значи това е минус 2 по r на квадрат, и после от това ще извадим това, изчислено за нула. Значи r по 0 е просто 0, а после косинус от 0 е 1. Така че това е просто минус 2 по r на квадрат. Този минус и този минус дават плюс, а после имаме минус 2 по r на квадрат, а после плюс 2 по r на квадрат, които се унищожават, това и това се унищожават. Цялото нещо се опростява много хубаво до един прост определен интеграл от 0 до 1, от 2 по пи, по r, dr. Примитивната функция на това е просто пи по r на квадрат, така че само трябва да сметнем пи по r на квадрат от 0 до 1. Когато изчислим това за 1, получаваме пи; когато го изчислим за 0, получаваме 0. Значи получаваме пи минус 0, което е дава – сега заслужаваме овации, защото свършихме толкова много работа в продължение на няколко видео клипа – това е равно на пи. Само да си припомним какво направихме в последните няколко видео клипа – имахме този криволинеен интеграл, който искахме да изчислим. Вместо да изчислим директно криволинейния интеграл, което можехме да направим и ти препоръчвам да го направиш самостоятелно, ако имаш време, аз може да го направя в следващото видео, но вместо директно да изчислим този криволинеен интеграл, използвахме теоремата на Стокс, като казахме, че това е равно на повърхностния интеграл по частичния гладък контур на частично гладката повърхнина, на която този контур е граница, и така изчислихме повърхностния интеграл и с малко изчисления получихме, че е равен на пи.