Интуиция за теоремата на Стокс

Начертах няколко копия на една и съща повърхнина S – пет копия на една и съща повърхнина. Искам сега да помислим за стойността на криволинейния интеграл... ще го запиша – стойността на криволинейния интеграл от F по dr, където F е векторното поле, което съм начертал в цикламено на всяка от тези повърхнини. Вижда се, че векторното поле е различно за всеки от примерите. Единствената част на векторното поле, която съм начертал, е частта, която е в рамките на повърхнините. Можех да начертая и част от векторното поле, която е извън повърхнината, но ние ще разглеждаме само това, което се случва в рамките на повърхнината. Векторното поле може да се дефинира също така и като цялото тримерно пространство ето тук. Очевидно е, че това са различни векторни полета, което може да се определи визуално от чертежа. Контурът, който ни интересува – спомни си, че ще разглеждаме криволинейни интеграли, така че контурът е важен. Контурът, който ни интересува, е границата на нашата повърхнина, с посока обратна на часовниковата стрелка, значи е ето тази тук. Границата с посока обратно на часовниковата стрелка – имаме скаларното произведение на F по dr по този контур. Значи това тук – ще го начертая, за да се ориентираме. Посоката е обратно на часовниковата стрелка. Това е едно и също за всеки от тези примери, за всяка от тези повърхнини, и за всяко от тези векторни полета F. Сега искам да помислим как стойността на скаларното произведение на F по dr по този затворен контур може да се различава в различните примери. Очевидно, единствената разлика между тези примери е поведението на векторното поле F. Да разгледаме първо този пример ето тук. (показва с курсора полето горе вляво) В тази част от контура – в долната му част ето тук векторното поле има посоката на кривата, посоката на нашия контур. Значи скаларното произведение F по dr ще бъде положително, и ще ги сумираме, когато интегрираме. После, като отидем нагоре по кривата, един вид като се изкачим ето тук, виждаме, че векторното поле става ортогонално. То става перпендикулярно на контура. Значи F по dr сега е равно на нула. Скаларното произведение на F по dr в тази част на контура е равно на нула. Тук няма да прибавим никаква стойност. Всъщност ще напиша просто "нищо". Тук не добавяме нищо. Може би ще напиша 0. Ще напиша, че тук получаваме 0. След това ето тук, когато сме в тази част на контура, векторното поле има точно противоположна посока на посоката на контура. Тук горе се движим от дясно наляво, докато векторното поле се движи от ляво надясно. Така че тук ще получим отрицателни стойности. Тук ще получим отрицателни стойности, и като ги съберем, ще получим значителна отрицателна величина. Ако векторното поле е постоянно, както съм го начертал, ако тази дължина е равна на тази дължина, то тогава тези две стойности ще се компенсират. Когато съберем положителната сума и отрицателната сума, те ще дадат нула. След това отново слизаме надолу, векторното поле е перепендикялно на нашия контур, така че отново получаваме 0. Въз основа на пътя, който описах тук, нашият криволинеен интеграл от F по dr за това векторно поле F за този пример ето тук, вероятно ще се компенсират. Така че ще получим – ако е вярно моето допускане – тогава това вероятно ще е 0. Значи в този пример F по dr ще е равно на нула. Сега да разгледаме този пример. В този пример, както и в предишния, като се движим по долната страна, векторното поле има същата посока като контура, така че ще получим положителни стойности. Когато се изкачваме нагоре, векторното поле става перпендикулярно на контура, така че тук няма да добавяме нищо. Значи в тази част получаваме 0. Но тук горе векторното поле си сменя посоката. Отново векторното поле има същата посока като контура, така че ще получим още положителни стойности. След това, когато слизаме надолу, няма да добавим нищо, защото векторното поле е перпендикулярно на контура. Ще получим нула. Обърни внимание, че сега тези два края не се компенсират взаимно. Ще получим положителна величина. Каква е разликата между този пример за F, между това векторно поле (сочи с мишката полето в средата горе) и това векторно поле? (посочва с мишката полето горе вляво) Това векторно поле си обръща посоката, така че горната част не се компенсира с долната част. Друг начин да разглеждаме това е, че имаме някаква ротация. Тук има някакво завъртане. Ако това описва скоростта на движение на някакъв флуид, ако поставим тук една пръчка върху повърхнината, тази пръчка ще се завърти. Тук има някакво завъртане или ротация, обаче ние искаме да я опишем. Ето тук няма никаква ротация. Ако поставим пръчка ето тук, тя просто ще плува заедно с флуида, но самата пръчка няма да се върти. Значи тук получаваме положителна стойност на криволинейния интеграл в този пример. Изглежда, също така, че имаме положителна ротация. Сега да разгледаме този пример. В този случай, когато се движим по тази част от контура, векторното поле F има съвсем същата посока, така че ще получим положителни стойности. Когато се изкачваме нагоре, векторното поле F един вид се обръща в тази посока, така че пак получаваме положителни стойности. Когато се движим в тази посока, векторното поле F отново е със същата посока като контура, така че получаваме още положителни стойности. Когато слизаме надолу, векторното поле F отново следва посоката на контура, затова ще получим още положителни стойности. В този случай стойността на нашия криволинеен интеграл от F по dr ще е още по-голяма положителан величина. Виждаме, че векторното поле се движи по посока на повърхнината – спомни си, че векторното поле може да прави всякакви щури неща извън повърхнината. Всъщност ще го начертая със същия цикламен цвят. Векторното поле може да прави всякакви странни неща извън повърхнината, но това, което ни интересува, е какво се случва в рамките на повърхнината. И понеже това векторно поле се върти, ако мога да кажа така, или то се върти в рамките на повърхнината, то е успоредно на границата във всички точки, и получаваме голяма положителна стойност на криволинейния интеграл. Значи имаме по-голяма ротация. По-голямата ротация изглежда води до по-голяма положителна стойност на криволинейния интеграл. Сега да видим какво се случва в този пример ето тук. ( долу вляво) В този пример тук отдолу векторното поле е със същата посока като контура, така че получаваме положителни стойности. Точно както в първия случай, когато се изкачваме нагоре, векторното поле е перпендикулярно на повърхнината, така че това няма да добави нищо към криволинейния интеграл. После, когато се движим по горната страна, в тази първа част от горната страна тук векторното поле е с обратна посока на контура. Значи тук е отрицателно. Посоката му е точно обратна на посоката на контура. После, когато стигаме до края, векторното поле си обръща посоката, и тук ще получим малко положителни стойности, защото в една малка част полето и контура имат една и съща посока. След това слизаме надолу. Когато слизаме надолу, не се добавя нищо, защото векторното поле е перпендикулярно на контура. Съществената разлика в този пример (долу вляво) е ето тук в горната страна – (горе вляво) всъщност мога да сравня тези два примера и тези два примера. Разликата между този случай и този случай е в това, ( примерите отляво) че тук в една малка част горе векторното поле си сменя посоката. (за примера долу вляво) Така че ще получим малка положителна стойност. Един начин да си представим това е, че в този случай криволинейният интеграл ще бъде по-малко положителен от този (горе в средата), но по-положителен от този (горе вляво). Друг начин да разгледаме това е, че имаме малка ротация ето тук горе. Нашето векторно поле си променя посоката ето тук. Предполагам, че можем да кажем, че то се завърта ето в тази част. Ако сложим пръчка, ако това е вода, тя ще започне да се върти. Но навсякъде другаде няма ротация. Значи имаме известна ротация, но тя е само в този малък участък от повърхнината. Докато ето тук (примерът горе в средата) имаме ротация в по-голям участък от повърхнината. Затова тук горе (в средата) имаме по-положителна ротация, по-положителен криволинеен интеграл. Тук (долу вляво) имаме ротация в по-малък участък, така че ще имаме по-малко положителен криволинеен интеграл. Сега да разгледаме този пример. (долу вдясно) Тук има известна ротация на векторното поле в повърхнината. Има известна ротация ето тук. Ако поставим пръчка във водата, ако разглеждаме векторното поле като скоростта на водата, пръчката ще се завърти. Тук имаме известна ротация. Но после полето отново си променя посоката, така че и тук имаме ротация, но това по същество е ротация в обратната посока. И ако сумираме всичко това, може би тези ще се компенсират. Това е логично. Логично е, че те ще се компенсират, защото когато изчисляваме криволинейния интеграл за цялата повърхнина, просто както в първия случай, изглежда, че сумата ще е 0. Защото, въпреки че имаме някаква ротация, двете ротации ще се компенсират взаимно. Така че, когато дойдем в тази горната част на повърхнината, векторното поле ще има съвсем същата посока като в долната част на повърхнината. Ако изчислим криволинейния интеграл, който ни интересува, също като в първия случай тук долу имаме положителни стойности, после 0 нагоре по кривата. После, когато слизаме надолу, векторното поле си променя посоката два пъти, така че отново е в обратна посока спрямо контура, точно както в първия случай. Значи тук ще бъде отрицателно. После, като слизаме надолу, ще бъде 0. Значи това ето тук също изглежда като първия пример, защото ротациите ще се компенсират. Посоката се променя два пъти. Ето тук криволинейният интеграл вероятно също ще е 0. Причината да направя това упражнение е да ти покажа логиката защо ако тук имаме по-голяма ротация в по-голяма част от повърхнината, защото това може да доведе до по-голяма стойност на криволинейния интеграл. Надявам се, че започваш да разбираш това и може би стойността на този криволинеен интеграл, стойността на F по dr по този затворен контур, който е с посока обратна на часовниковата стрелка... ще говорим повече за тази ориентация в бъдещи видеа – може би това е равно на сумата от ротациите в повърхнината. Да помислим за това. Това може да е повърхностен интеграл. Движим се по повърхнината, и ни интересува ротацията на F. Но нас не ни интересува общата ротация на F, защото F може да се върти в някаква посока, може да се върти извън повърхнината. Нас ни интересува колко е ротацията в рамките на повърхнината. Затова искаме да намерим скаларното произведение на ротацията на F и нормалния вектор във всяка точка от повърхнината, а след това да умножим това по самата повърхнина. Това означава, че колкото по-голяма е повънхнината, в която имаме повече ротация, толкова по-голяма ще бъде стойността на криволинейния интеграл. Видяхме това, когато сравнихме тези три примера. Друг начин да запишем това е, че повърхностният интеграл – ще запиша повърхнината със същия кафяв цвят – повърхностният интеграл от ротацията на F, което е просто друг вектор, който ни казва колко е ротацията общо, но нас ни интересува колко е ротацията в тази повърхнина. Затова намираме скаларното произведение на това с нормалния вектор. Друг начин да запишем това е като скаларно произведение на цялото това нещо и ds. Ако сумираме това за цялата повърхнина, ако сумираме ротацията – колко се завъртаме в тази повърхнина, тогава вероятно това ще е равно на стойността на криволинейния интеграл, когато се движим по границите на тази повърхнина. Всъщност се оказва, че това е точно така. Очевидно, аз още не съм го доказал, но се надявам, че сега имаш известна представа защо това е логично. Твърдението, че това е равно на това, се нарича теорема на Стокс. Ще я разгледаме по-подробно в следващите видео уроци.