Определяне на единичен нормален вектор към повърхнина

Сега, след като вече разбираме смисъла, надявам се, на това какво може да представя един повърхностен интеграл, искам да помислим как по същество можем да конструираме единичен нормален вектор във всяка точка от повърхнината. За да го направим, ще приемем, че нашата повърхнина може да бъде параметризирана чрез функция от радиус-вектора r, като r е функция от два параметъра. Тя е функция от u и от v. Даваш ми стойности на u и на v, които определят дадена точка от тази двумерна повърхнина ето тук – тя може да е огъната, т.е. един вид се намира в тримерно пространство. Стойностите на u и на v определят някаква точка от тази повърхнина. Сега да помислим за това каква е посоката на r, по-точно на частната производна на r по отношение на u и каква е посоката на частната производна на r по отношение на v. Да кажем, че имаме някаква точка. Намираме се в някаква точка (u; v). За някаква точка (u; v) определяме радиус-вектора, който ни отвежда до тази точка от повърхнината ето тук. Сега да кажем, че увеличим съвсем мъничко u. Когато увеличим съвсем малко u, ще отидем в друга точка от повърхнината и нека тази друга точка от повърхнината да е ето тук. Колко ще бъде r... Как ще изглежда този вектор r_u? Неговата дължина ще зависи от това колко бързо се движим по посока на тази точка, а посоката му ще бъде насам. Ще сочи към тази точка. Той ще лежи в тази повърхнина. Преместваме се от една точка на повърхнината в друга точка от нея. Този вектор ще бъде тангенциален към повърхнината в тази точка. Можеше да го начертая малко по-голям. Ще изглежда приблизително така. r с индекс u. Все едно разглеждаме този участък под лупа. Сега да се върнем към тази точка. Ще направя v малко по-голям. Да кажем, че v е малко по-голям и отиваме в тази точка ето тук. Радиус-векторът r ще сочи към тази точка. Как ще изглежда r_v? Неговата дължина, отново, ще зависи от това колко бързо сме дошли тук, но сега е интересна неговата посока. Посоката му също ще бъде тангенциална към повърхнината. Придвижваме се от една точка на повърхнината в друга точка от нея, когато променяме v. r_v може би ще изглежда ето така. Като не е задължително... Тези два вектора не е задължително да са перпендикулярни помежду си. Всъщност по начина, по който ги начертах, те не са перпендикулярни. Значи r_v е ето това, като и двата вектора са тангенциални към равнината. Те и двата ни показват точно в тази точка каква е допирателната, какъв е наклонът ѝ в посока u и в посока v. Сега, това е... Когато имаме два вектора, които са тангенциални към равнината, като те не са един и същ вектор, те по същество определят... те самите определят една равнина. Представи си равнина, която изглежда приблизително така. Линейната комбинация на тези два вектора дава равнина, в която лежат и двата вектора. Ние сме правили това и преди, но сега ще си го преговорим. Какво се получава, когато намерим векторното произведение на векторите r_u и r_v? Какво се получава, когато намерим векторното им произведение? Първо – получаваме друг вектор. Получаваме вектор, който е перпендикулярен и на двата вектора – и на r_u, и на r_v. Друг начин да разглеждаме това е, че тази равнина... че когато намираме векторното произведение, тази равнина по същество е тангенциална равнина към повърхнината. А когато нещо е перпендикулярно на тези два вектора, то е нормално на тях или то определено ще е перпендикулярно и на двата вектора, но ще бъде нормално към тази равнина. Което означава, че ще е перпендикулярно на самата повърхнина. Значи това тук ще бъде нормален вектор. Това е – ще го запиша... ще го запиша по следния начин. Това е един нормален вектор. Не казвам единичния нормален вектор. Не казвам нормалният вектор, защото е възможно да има различни нормални вектори с различни дължини. Това е нормален вектор, когато намираме векторното произведение. Даже можем да разгледаме каква е неговата посока. Когато имаме векторно произведение на два вектора, най-лесният начин, по който да определим посоката, е да използваме левия палец... извинявам се, да насочим ДЕСНИЯ палец по посока на първия вектор – в този случай това е r_u. Само да видя дали мога да нарисувам това. Буквално ще гледам ръката си и ще се опитам да я нарисувам. Значи поставяме десния си палец – това е правилото на дясната ръка – по посока на първия вектор, а после поставяме показалеца по посока на втория вектор. Ето така. Това е вторият вектор. Това е посоката на показалеца ми. Показалецът ми ще сочи ето така. След това сгъвам средния си пръст навътре и той ми показва посоката на векторното произведение. Ако свия средния си пръст навътре, ще изглежда приблизително така. А другите ми два пръста ще бъда сгънати ето така, но те са без значение. Другите ми два пръста и ръката ми изглеждат ето така. Така определяме посоката. Посоката ще бъде ето тази. Ще сочи нагоре. Това е важно, защото имаме нормални вектори... Понеже има две посоки на нормалност, ако мога да се изразя така. Единият сочи насам, навън, или в посока нагоре, а другият сочи надолу, ако мога да кажа така – към повърхнината. По начина, по който начертах векторите сега, тук той ще сочи навън. Това е нормален вектор към повърхнината. За да бъде един нормален вектор единичен нормален вектор, трябва просто да го нормализираме. Трябва просто да го разделим на неговата дължина. Сега заслужаваме овации! Единичният вектор... ще бъде по същество функция от u... той е функция от u и от v. Даваш ми стойностите на u и на v и аз ще ти дам този единичен нормален вектор. Той ще е равен на частната производна на r по отношение на u, на векторното ѝ произведение с частната производна на r относно v. Така получаваме нормален вектор, но той не е нормализиран. Затова трябва да го разделим на неговата дължина. Разделяме го на неговата дължина, на дължината на векторното произведение на r_u и r_v. И сме готови! Получихме единичния нормален вектор. В следващите уроци ще използваме това с конкретни примери.