Представяне на повърхностен интеграл като вектор

В последното видео видяхме как може да се конструира единичен нормален вектор към повърхнина. Сега можем да използваме това в нашия първоначален повърхностен интеграл, за да опитаме да го опростим или поне да ни подскаже как можем да изчисляваме тези неща. Също така да помислим за различните начини за представяне на този тип повърхностни интеграли. Ако просто заместим с това, което получихме като нормален вектор, нашият единичен нормален вектор, ще получим – отново, това е повърхностният интеграл от скаларното произведение на F по всичко това ето тук. (показва на екрана) Ще запиша всичко това в бяло, за да не губя твърде много време. Значи векторното произведение на частната производна на r относно u и частната производна на r относно v върху дължината на това векторно произведение, векторното произведение на частно r относно u и частно r относно v. Досега доста си поиграхме с dS. Знаем, че можем да представим dS като... надявам се, че успя да схванеш логиката, както я обясних в преди няколко видео клипа, когато разглеждахме какъв е смисълът на повърхностния интеграл. Знаем, че dS може да се представи като дължината на векторното произведение на частно r относно u и частно r относно v, du, dv. du, dv, разбира се, може да се запише като dv, du. Можем да го представим като da, което е малка площ в равнината uv или в дефиниционното множество uv. Всъщност, понеже интегрираме относно u и v, това вече не е повърхностен интеграл. Това е двоен интеграл в дефиниционното множество uv. Можем да кажем в някаква област в uv. Така че мога да кажа, че r e област в равнината uv, която разглеждаме сега. Но тук вероятно има голяма, или предполагам, че има голямо опростяване, което можем сега да забележим. Делим на дължината на векторното произведение на тези два вектора, след което умножаваме по дължината на векторното произведение на тези два вектора. Това са просто скаларни величини. Значи делим на нещо и умножаваме по нещо. Това е същото като да умножим или да разделим на 1. Значи тези два члена се съкращават, интегралът се опростява до двоен интеграл в тази област, съответната област в равнината uv, двоен интеграл от F... от нашето векторно поле F, скаларното произведение на F и това векторно произведение. Това ще ни даде един вектор ето тук (загражда с бяло на екрана). Ще получим вектор. Това всъщност е нормален вектор. Когато го разделим на неговата дължина, получаваме единичен нормален вектор. Значи намираме скаларното произведение на F и на r, векторното произведение на частната производна на r относно u и частната производна на r относно v, du, dv. Ще се преместя надолу малко – du, dv. В следващите няколко видеа ще видим, че това по същество е начинът, по който се изчисляват тези неща. Ако имаме параметризация, можем да представим всичко като двоен интеграл относно uv, ето по този начин. Последното, което искам да разгледаме, е още един начин, по който може да срещнеш написан един такъв повърхностен интеграл. Свързано е със записването на тази част по различен начин. Надявам се, че това ти дава по-добра представа какво представлява това. Просто ще го преработя. Ще преработя тази част ето тук. (огражда частта с червено) Ще използвам малко по-различен начин за записване, защото се надявам, че така ще ти стане по-ясно. Това частно r относно u можем да запишем като частно r относно u. Намираме векторното произведение. Само ще напиша това 'u' малко по-добре, за да не се бърка с 'v'. Намираме векторното произведение на тази частна производна с частната производна на r относно v. Това са много малки промени на нашите вектори – на нашата параметризация ето тук, нашият радиус-вектор при малка промяна на v. Много малки промени на вектора при малка промяна на u. После умножаваме това по du, dv. du и dv са скаларни величини. Те са изключително малки. В интерес на нашата логика, можем да ги разглеждаме не като вектори, а като скаларни величини. Така че можем да ги включим... ако имаме векторно произведение на а по b, по някаква скаларна величина – да кажем на някакво х, можем да представим това като х по векторното произведение на a и b, или можем да го представим като векторното произведение на а и (х по b), тъй като х е просто някаква скаларна величина. То е просто някакво число. Така че можем да направим същото нещо и тук. Можем да преработим всичко това като... ще групирам du, където имаме частната производна относно u в знаменателя. Ще направя същото нещо и с v. Така получаваме частно r относно u, по du, по това число (скалар). Това ни дава вектор. Сега ще намерим векторното произведение на това с частно r относно v, dv. Записани по този начин тези двете може би изглеждат различни неща, но всъщност това следва от нуждата, когато намираме частни производни, да кажем, че тази векторна функция е дефинирана – това е функция на много променливи, и това е частната производна само относно една променлива. Това показва колко се променя този вектор, когато имаме съвсем малка промяна на u. Но това също е една много малка промяна на u ето тук, просто я записваме по различен начин. Така че в интерес на... това е малко непрецизно от математическа гледна точка, но се надявам, че разбираш логиката защо можем да запишем това по различен начин. Тези два записа са на една и съща величина. Делим на нещо и умножаваме по нещо. Те се съкращават. Ако разделим на нещо и умножим по същото нещо, можем да съкратим това нещо. Тогава ще ни остане... ще ни остане само диференциал от r. И тъй като загубихме информацията в посока u, ще я запиша ето тук, диференциал от r в посока u. Не искам да се объркваме с този начин на записване. Това е просто диференциал. Това е колко се променя r. Това не е частна производна на r относно u. Това тук е колко се променя r за единица промяна на u, за една малка промяна на u. Това е просто диференциал в посока на... когато u се променя, това е колко е малката промяна, която настъпва в r. Това не е промяна на r относно промяната на u. Сега ще намерим векторното произведение на това с частната производна на r в посока v. Това ето тук – само да го обясним. Това ни връща към първоначалната ни представа за смисъла на повърхностния интеграл. Ако сме върху повърхнината – ще начертая една повърхнина. Ще начертая друга повърхнина. Не искам да използвам тази, върху която чертах вече. Ако начертаем повърхнина, и за една много малка промяна на u... но сега не ни интересува скоростта на изменение. Ние просто разглеждаме промяната на r. Отиваме в тази посока. Ако това изглежда по този начин, това всъщност е разстоянието, на което се преместваме върху повърхнината. Защото, спомни си, това не е производна. Това е диференциал. Значи това е просто много малка промяна по повърхнината, това е ето това тук. А това е малка промяна, когато се промени v. Значи също е промяна по повърхнината. Когато намерим векторното произведение на тези двете, получаваме вектор, който е ортогонален. Получаваме вектор, който е нормален към повърхнината. Значи е нормален към повърхнината и неговата дължина... видяхме това, когато учихме за векторно произведение. Дължината на вектора е равна на площта, която е дефинирана от тези два вектора. Значи дължината е равна на площ. Така че можеш да си го представиш като единичния нормален вектор по dS. Начинът, по който можем да направим това като начин на записване, е да наречем това – понеже това е един вид dS, но това е векторната версия на dS. Това ето тук е площ. Това е просто скаларна стойност. Но сега имаме вектор, който е нормален към тази повърхнина, и дължината му е равна на това dS, (записва на екрана) което разгледахме току-що. Така че можем да наречем това ето тук dS. Основната разлика е, че това сега е вектор. Значи го означаваме с dS с малка стрелка отгоре, за да можем да го разпознаваме. Това не е скаларът dS, който има връзка само с площта. Когато разглеждаме нещата по този начин, тогава виждаме, че това нещо се опростява само до dS. Тогава можем да преработим целия повърхностен интеграл. Вместо да го записваме по този начин, можем да го запишем като повърхностен интеграл... този знак за интеграл е много специален. Повърхностният интеграл от F по... Тук вместо да напишем нормалния вектор по скаларна величина, това малко парченце от повърхнината, можем да означим това като векторния диференциал dS. Искам да поясня, че това са две различни неща. Това е вектор. (показва на екрана) Това е начинът, по който го наричаме. Това ето тук е скалар по нормален вектор. (показва на екрана) Така че това са три различни начина да представим едно и също нещо. В различни контексти ще срещаш различни неща, в зависимост от това, което авторът иска да съобщи. Това ето тук ще използваме най-често, (показва на екрана) когато изчисляваме повърхностни интеграли.