Основно съдържание

Анализ на функции на много променливи

Курс: Анализ на функции на много променливи > Раздел 4

Урок 6: Двойни интеграли (статии)

Двойни интеграли

Двойните интеграли ни позволяват да интегрираме върху двумерни области. С тяхна помощ, освен всичко друго, можем да изчисляваме обема под някаква повърхнина.

Преговор

Основни идеи

Видео плейър на видеоклиповете в Кан Академия

Виж видео транскрипцията

За дадена функция на две променливи f, left parenthesis, x, ;, y, right parenthesis можем да намерим обема под графиката на функцията и над правоъгълна област в равнината x, y, като интегрираме интеграла,
$\begin{aligned} \int_{y_1}^{y_2}\overbrace{\left( \int_{x_1}^{x_2} f(x; y)dx \right)}^{\text{Това е функция от $y$}}dy \end{aligned}$
Това се нарича двоен интеграл.
Можем да изчислим същия обем, като променим реда на интегриране:
$\begin{aligned} \int_{x_1}^{x_2}\overbrace{\left( \int_{y_1}^{y_2} f(x; y)dy \right)}^{\text{Това е функция от $x$}}dx \end{aligned}$
Изчисленията ще са различни, но резултатът ще бъде един и същ.

Обем под повърхнина

Нека разгледаме функцията

f, left parenthesis, x, ;, y, right parenthesis, equals, x, plus, sine, left parenthesis, y, right parenthesis, plus, 1

Графиката на тази функция изглежда по следния начин:

Видео плейър на видеоклиповете в Кан Академия

Виж видео транскрипцията

Да разгледаме правоъгълника в равнината x, y, определен по следния начин:

0, is less than, x, is less than, 2

minus, pi, is less than, y, is less than, pi

Колко е обемът над този правоъгълник и под графиката на функцията f, left parenthesis, x, ;, y, right parenthesis?

Видео плейър на видеоклиповете в Кан Академия

Виж видео транскрипцията

Бърз преговор за намиране на площ под крива

От анализа на функции на една променлива знаем, че с помощта на интегралите можем да намираме площ под крива. Например площта под графиката на функцията y, equals, start fraction, 1, divided by, 4, end fraction, x, squared, plus, 1 в интервала от x, equals, minus, 3 до x, equals, 3 е

$\begin{aligned} \int_{-3}^{3} \left( \dfrac{1}{4} x^2 + 1 \right) \, dx \end{aligned}$

Един добър начин да си обясним какво се случва е да си представим, че събираме площите на безкрайно много безкрайно тънки правоъгълници, на които разделяме областта под кривата в този интервал:

Видео плейър на видеоклиповете в Кан Академия

Виж видео транскрипцията

Стойността на функцията g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start fraction, 1, divided by, 4, end fraction, x, squared, plus, 1 можем да си представим като височината на всеки правоъгълник, d, x е една много малка широчина, а integral е една чудодейна машина, която може да работи с безкрайно много безкрайно малки неща. Записано по-абстрактно, това изглежда по следния начин:

$\begin{aligned} \int_{x_1}^{x_2} g(x)\,dx \end{aligned}$

Събиране на площи под някакъв обем

За нашата задача за намиране на обем можем да направим нещо много подобно. Стратегията ни ще бъде да:

Разделяме обема на тънки сечения с две измерения
Изчисляваме площите на тези сечения
Събираме тези площи и получаваме целия обем.

Представи двумерни сечения на обема под графиката на функцията f, left parenthesis, x, ;, y, right parenthesis. По-точно ще разгледаме всички сечения, които съответстват на постоянна стойност на променливата y:

Видео плейър на видеоклиповете в Кан Академия

Виж видео транскрипцията

Представи си едно единствено сечение от тях, например това, което съответства на y, equals, start fraction, pi, divided by, 2, end fraction. Площта на това сечение е дадена с интеграла

$\begin{aligned} \int_0^2 f\left(x; \dfrac{\pi}{2}\right)\,dx &= \int_0^2 \left(x + \sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right) + 1 \right)\,dx \end{aligned}$

Записано за общия случай за дадена стойност на y площта на това сечение е

$\begin{aligned} \int_0^2 f(x; y)\,dx \end{aligned}$

Обърни внимание, че това е интеграл спрямо x, както се разбира от d, x, така че когато интегрираме, "y" представлява константа.

Когато решим този интеграл, ще получим някакъв израз, съдържащ y.

Опитай самостоятелно: Реши интеграла, за да намериш площта на тези сечения, за които y е константа:

$\begin{aligned} \int_0^2 (x+\sin(y)+1)\,dx = \end{aligned}$

[Отговор]

Когато заместим някаква стойност на y в този израз, например y, equals, start fraction, pi, divided by, 2, end fraction, получаваме площта на сечението от обема, което съответства на тази стойност на y.

Ако сега умножим площта на всяко едно от тези сечения по d, y, което представлява малка промяна в посока y, ще получим обема на едно малко тримерно сечение. Например 4, plus, 2, sine, left parenthesis, y, right parenthesis представлява лицевата площ на сечението, а left parenthesis, 4, plus, 2, sine, left parenthesis, y, right parenthesis, right parenthesis, d, y представлява обема на това сечение.

Като използваме още един интеграл, но този път спрямо y, можем успешно да сумираме всички тези малки обеми на сеченията, за да получим целия обем под повърхнината:

\begin{aligned} \overbrace{ \int_{-\pi}^{\pi}\left( \underbrace{ \int_0^2 f(x; y)dx }_{\text{Площ на сечението}} \right)dy }^{\text{Обем под повърхнината $f(x; y)$}} \end{aligned}

Опитай самостоятелно! Какво получаваш, когато заместиш в израза за integral, start subscript, 0, end subscript, squared, f, left parenthesis, x, ;, y, right parenthesis, d, x, който получихме по-горе, и решиш втория интеграл?

$\begin{aligned} \int_{-\pi}^{\pi}\left(\int_0^2(x+\sin(y)+1) dx \right)dy = \end{aligned}$

[Отговор]

Два избора на посока

Можем да намерим обема и по различен начин. Ако намерим сечения, които съответстват на стойности на x, които са константи, вместо да разглеждаме стойностите на y като константи, и след това да съберем обемите на тези сечения.

Видео плейър на видеоклиповете в Кан Академия

Виж видео транскрипцията

Проверка на концепциите: Кой от следните интеграли представлява площта на сечение с константна стойност на x?

[Отговор]

Сега си представи, че умножим всяка от тези площи по d, x, една малка стъпка по посока x, която е перпендикулярна на сечението. По този начин ще получим някакъв нищожно малък обем. Като съберем всички тези безкрайно малки обеми за стойности на x в интервала от 0 до 2, ще получим обема под повърхнината.

Проверка на разбирането: Кой от следните двойни интеграли представя обема под графиката на нашата функция

f, left parenthesis, x, ;, y, right parenthesis, equals, x, plus, sine, left parenthesis, y, right parenthesis, plus, 1

в областта, където

0, is less than or equal to, x, is less than or equal to, 2 и minus, pi, is less than or equal to, y, is less than or equal to, pi?

(Избор А)
$\begin{aligned} \int_0^2 \left(\int_{-\pi}^{\pi} (x+\sin(y)+1)\,\blueE{dx} \right) \, \redE{dy} \end{aligned}$
(Избор Б)
$\begin{aligned} \int_0^2 \left(\int_{-\pi}^{\pi} (x+\sin(y)+1)\,\redE{dy} \right) \, \blueE{dx} \end{aligned}$

[Отговор]

Опитай самостоятелно!: Изчисли двойния интеграл, за да намериш обема под повърхнината. (Разбира се, ние получихме обема в предишната точка, но е много удовлетворяващо да провериш какво се случва по втория начин за пресмятане).

$\begin{aligned} \int_0^2\left( \int_{-\pi}^{\pi} (x+\sin(y)+1) dy \right) dx = \end{aligned}$

[Отговор]

За щастие и по този начин получаваме същия обем, както в предишната точка. Ако бяхме получили нещо различно, това щеше да означава, че сме допуснали грешка.

Казано накратко, редът на интегриране няма значение. От една страна това може да изглежда очевидно, тъй като и по двата начина изчисляваме един и същ обем. Обаче по същество това са две напълно различни изчисления, а фактът, че резултатите от тях са еднакви е удобен математически трик.

Например няколко доказателства в теорията на вероятностите включва това да докажем, че две величини са равни, като покажем, че и двата резултата от един двоен интеграл са еднакви, просто са изчислени в различен ред.

[Всъщност, понякога редът има значение]

Още един пример

Нека разгледаме функцията

f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, cosine, left parenthesis, y, right parenthesis, x, squared, plus, 1

Какъв е обемът под графиката на тази функция в интервала

minus, 1, is less than or equal to, x, is less than or equal to, 1

minus, pi, is less than or equal to, y, is less than or equal to, pi?

Ето как изглежда този обем:

Видео плейър на видеоклиповете в Кан Академия

Виж видео транскрипцията

Проверка на концепцията: Представете си, че разделяме този обем под графиката на функцията f, left parenthesis, x, ;, y, right parenthesis, equals, cosine, left parenthesis, y, right parenthesis, x, squared, plus, 1 успоредно на равнината, съответстваща на y, equals, 1. Кой от следните интеграли дава обема на това сечение?

(Избор А)
$\begin{aligned} \int_{-1}^1 \big(\cos(1)x^2 + 1 \big)\, dx \end{aligned}$
(Избор Б)
$\begin{aligned} \int_{-\pi}^\pi \big(\cos(y)(1)^2 + 1 \big)\, dy \end{aligned}$

[Отговор]

Упражнение: Какво ще получиш, ако пресметнеш този интеграл за произволна стойност на y, а не само за y, equals, 1?

$\begin{aligned} \int_{-1}^1 \big(\cos(y)x^2 + 1 \big)\, dx = \end{aligned}$

[Отговор]

Още упражнения: Изразът, който току-що намери, представя площта на сеченията от нашия обем, които съответстват на фиксирани стойности на y. Като използваш този израз, състави интеграл, с чиято помощ да намериш обема под тази повърхнина, и след това го реши.

Финален обем:

\quad

[Отговор]

Обобщение

За дадена функция на две променливи f, left parenthesis, x, ;, y, right parenthesis можем да намерим обема под графиката на функцията и над правоъгълна област в равнината x, y, като интегрираме интеграла,
$\begin{aligned} \int_{y_1}^{y_2}\overbrace{\left( \int_{x_1}^{x_2} f(x; y)dx \right)}^{\text{Това е функция от $y$}}dy \end{aligned}$
Това се нарича двоен интеграл.
Можем да изчислим същия обем, като променим реда на интегриране:
$\begin{aligned} \int_{x_1}^{x_2}\overbrace{\left( \int_{y_1}^{y_2} f(x; y)dy \right)}^{\text{Това е функция от $x$}}dx \end{aligned}$
Изчисленията ще са различни, но резултатът ще бъде един и същ.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила

Сортирай по:

Все още няма публикации.

Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.