Основно съдържание

Анализ на функции на много променливи

Курс: Анализ на функции на много променливи > Раздел 4

Урок 6: Двойни интеграли (статии)

Двоен интеграл за сумиране на величини, различни от обем

Двойните интеграли имат по-широко приложение от това да намираме единствено обем под тримерна графика. В тази статия ще разгледаме и други случаи, в които се използват двойните интеграли, един по-общ начин за тяхното записване и ще обясним логиката на двойното интегриране.

Преговор

Двойни интеграли върху области, които не са правоъгълни

Основни идеи

Двойните интеграли се използват винаги, когато искаме да разрежем една двумерна област на безкрайно много безкрайно малки площи, да умножим всяка от тях по някаква стойност и после да ги сумираме.
По-общият начин за записване на двоен интеграл е:
$\begin{aligned} \iint_\blueE{R} f\,\redE{dA} \end{aligned}$ ,
където
start color #0c7f99, R, end color #0c7f99 е областта, върху която интегрираме.
start color #bc2612, d, A, end color #bc2612 означава "малко парче площ", което обикновено означава d, x, d, y или d, y, d, x, освен ако не се използва различна координатна система.
f, left parenthesis, x, ;, y, right parenthesis е функция на две променливи.

Пример 1: Маса на метален лист

Представи си метален лист с широчина 3 метра и височина 2 метра. Целта ни е да намерим масата въз основа на плътността, но уловката тук е, че плътността не е еднородна за целия метален лист.

За да опишем тази различна плътност с функция, първо ще поставим металния лист в равнината x, y:

Долният ляв ъгъл се намира в началото на координатната система, а дългата му страна лежи върху оста x.

Да кажем, че плътността на този метален лист в start text, k, g, end text, slash, start text, m, end text, squared е дадена със следната функция:

sigma, left parenthesis, x, ;, y, right parenthesis, equals, left parenthesis, sine, left parenthesis, pi, x, right parenthesis, plus, 1, right parenthesis, y

(sigma е променливата, с която обикновено се изразява двумерна плътност). Плътността представлява маса на единица площ, така че може да ти се стори странно, че я дефинираме с функция, която разглежда отделни точки. Какво означава за една точка като точката left parenthesis, 1, ;, 2, right parenthesis да има плътност sigma, left parenthesis, 1, ;, 2, right parenthesis? Ако предпочиташ, можеш да си представиш, че тази функция дава плътността в една малка околност на всяка точка.

За да намерим масата на металния лист, можем да си представим, че го разрязваме на много миниатюрни парченца, всяко от които е правоъгълник, а после събираме масите им.

Представи си, че всеки правоъгълник има малка широчина d, x и малка височина d, y.

Да разгледаме един конкретен правоъгълник, например този, който съдържа точката left parenthesis, 1, ;, 2, right parenthesis. Понеже този правоъгълник е много малък, неговата плътност ще е почти константа sigma, left parenthesis, 1, ;, 2, right parenthesis. Колкото по-малки са парчетата, на които разрязваме металния лист, толкова по-близко сме до това да е вярно, че плътността на всеки малък правоъгълник е константа.

Това означава, че можем да намерим масата на всеки правоъгълник. Например,

\begin{aligned} \underbrace{ \sigma(1; 2) }_{\text{плътност}} \,\underbrace{ dx\,dy }_{\text{малка област}} = (\sin(\pi)+1)(2)\,dx\,dy = 2\,dx\,dy \end{aligned}

За да получим масата на металния лист интегрираме всички тези малки маси. Понеже интегрираме върху двумерна област, ще използваме двоен интеграл. Внимание: Редът на интегралите зависи от това дали изразяваш тези малки площи на правоъгълниците като d, x, d, y или като d, y, d, x

Проверка на понятията: Всеки от тези двойни интеграли представя масата на нашия метален лист, който е широк 3 метра и висок 2 метра:

(Избор А)
$\begin{aligned} \int_0^3 \int_0^2 \sigma(x; y)\,dx\,dy \end{aligned}$
(Избор Б)
$\begin{aligned} \int_0^2 \int_0^3 \sigma(x; y)\,dx\,dy \end{aligned}$

Проверка на знанията: Като използваш функцията sigma, left parenthesis, x, ;, y, right parenthesis, equals, left parenthesis, sine, left parenthesis, pi, x, right parenthesis, plus, 1, right parenthesis, y, изчисли този двоен интеграл. (Ако не ти е ясно как може да направиш това, преговори въвеждащата статия за двойни интеграли)

\begin{aligned} \int_0^2 \int_0^3 (\sin(\pi x) + 1)y \,dx\,dy = \end{aligned}

Разглеждане на малки площи

Видео плейър на видеоклиповете в Кан Академия

Виж видео транскрипцията

Когато за пръв път се запознахме с двойните интеграли, това беше в контекста на изчисляваме на обем под графика. Разсъждавахме по следния начин:

Първо разрязваме обема на безкрайно малки сечения. Всяко сечение съответства на някаква константна стойност на една от променливите, например на x, equals, 0, comma, 78.
Намираме площта на всяко от тези сечения. (Ето това прави вътрешният интеграл).
Превръщаме всяко сечение в нищожно малък обем, като му придаваме малка дължина. Това означава да умножим площта или по d, x, или по d, y, като избираме това, което съответства на малка стъпка в посока перпендикулярна на сечението.
Интегрираме тези безкрайно малки обеми, за да получим обема на цялото тяло. (Точно това прави външният интеграл).

За разлика от това в примера от предишната точка намирането на масата на металния лист изглежда по друг начин. Започнахме да разглеждаме малки площи, които умножихме по някаква константа (плътността) и след това направо ги събрахме.

И двата метода са еквивалентни. Когато стигнем до изчисляването, всичко изглежда по един и същ начин. Винаги единият интеграл е вътре в другия, изчисляваме първо вътрешния интеграл, а после външния интеграл.

Но все пак от гледна точка на визуализацията и осмислянето, представянето на един двоен интеграл чрез малки площи е различно от това да го представим като един линеен интеграл в друг интеграл. Например, когато изчисляваме обем под графика, като първо разделяме областта в равнината x, y на малки площи, можем да си представим как събираме обемите на едни тънки колонки над тези малки площи.

Видео плейър на видеоклиповете в Кан Академия

Виж видео транскрипцията

Общ начин на записване на двойни интеграли

Когато разглеждаме двоен интеграл във връзка с малки площи, обичайно го записваме по следния начин:

\begin{aligned} \iint_\blueE{R} f\,\redE{dA} \end{aligned}

start color #0c7f99, R, end color #0c7f99

start color #0c7f99, R, end color #0c7f99 представлява площта, върху която интегрираме. Причината да се записва по този начин е в това, че когато съставяме интеграла не искаме да бъдем объркани с конкретна дефиниция на областта (която евентуално може да ни затрудни), докато описваме нещата.

Когато трябва да се изчисли интеграла, заместваме \iint, start subscript, start color #0c7f99, R, end color #0c7f99, end subscript с двойка единични интеграли, чиито граници могат да се изчислят. Когато областта start color #0c7f99, R, end color #0c7f99 е правоъгълник, тези граници са константи:

integral, start subscript, y, start subscript, 1, end subscript, end subscript, start superscript, y, start subscript, 2, end subscript, end superscript, integral, start subscript, x, start subscript, 1, end subscript, end subscript, start superscript, x, start subscript, 2, end subscript, end superscript, dots

Казано по-общо, когато областта start color #0c7f99, R, end color #0c7f99 е дефинирана чрез някакви криви в равнината x, y, границите на вътрешния интеграл се изразяват като функции на външната променлива:

integral, start subscript, y, start subscript, 1, end subscript, end subscript, start superscript, y, start subscript, 2, end subscript, end superscript, integral, start subscript, x, start subscript, 1, end subscript, left parenthesis, y, right parenthesis, end subscript, start superscript, x, start subscript, 2, end subscript, left parenthesis, y, right parenthesis, end superscript, dots

(Виж последната статия, за да упражниш идеята.)

start color #bc2612, d, A, end color #bc2612

start color #bc2612, d, A, end color #bc2612 представлява малка площ, по същия начин както d, x представлява малка дължина в обикновения интеграл.

Можеш да си представиш, че нарязваме областта start color #0c7f99, R, end color #0c7f99 на много малки парченца, като този член представлява площта на тези парченца. Когато стигнеш до изчисляването на двойния интеграл, замествам това с d, x, d, y или d, y, d, x. В различни координатни системи има различни начини за разделяне на това start color #bc2612, d, A, end color #bc2612, но това ще разгледаме в следващата статия.

f, left parenthesis, x, ;, y, right parenthesis

f, left parenthesis, x, ;, y, right parenthesis е някаква функция на две променливи. Когато разделим областта на малки парченца, всяко парченце обикновено съответства на някаква величина, която ще събираме. Може би тази величина е маса, или малък обем на тънка колонка под графиката.

Обикновено можеш да изразиш това малко количество като нещо по площта на твоите малки парченца. Например масата на едно парченце е плътността по площта, а обемът на една колонка над това парченце е височината на колонката по площта.

В тези примери функцията f, left parenthesis, x, ;, y, right parenthesis представлява плътност или височина. В общия случай това е нещо, което ще умножим по площта start color #bc2612, d, A, end color #bc2612 на едно малко парченце, и това нещо по принцип зависи от местоположението на малкото парченце, като това местоположение е изразено като координати left parenthesis, x, ;, y, right parenthesis.

"А какво се случва, ако не мога да изразя тази малка величина, която искам да сумирам, като нещо по d, A?"

В такъв случай двойните интеграли не са подходящи за задачата. Макар че не се сещам за нито един пример, когато това не може да се направи...

Този абстрактен начин за записване има две предимства:

Простота: Когато започнеш да решаваш една задача или искаш бързо да нахвърляш един двоен интеграл, за да представиш идеята си, без да навлизаш в подробности, е чудесно, че има бърза начин за записване. Много от теоремите и инструментите, използвани в анализа на функции на много променливи, използват точно този абстрактен начин на записване.
Универсалност: Записването на интеграла като \iint, start subscript, start color #0c7f99, R, end color #0c7f99, end subscript, f, start color #bc2612, d, A, end color #bc2612 ти дава различни опции за неговото изчисляване. Например в следващата статия ще разгледаме двойни интеграли с полярни координати, при които развиваме start color #bc2612, d, A, end color #bc2612, а определянето на границите на интегриране се различава от това при правоъгълни координати.

Пример 2: Център на масата

Къде се намира центърът на масата на един полудиск?

За простота да кажем, че радиусът на диска е 1, и да го ориентираме така, че диаметърът му да лежи на оста y. Ще приемем, че дискът има еднородна плътност.

Много интересна задача, не мислиш ли? Можем да предположим, че отговорът е някъде малко вляво от точката left parenthesis, 0, comma, 5, ;, 0, right parenthesis, но очевидно това не е точен отговор, нали?

Поради вертикалната симетрия на този полудиск, можем да кажем, че центърът на неговата маса ще лежи на оста x. Това, което търсим, е "средната стойност на x" за точките от диска.

Проверка на понятията: Ако H е този полудиск, а vertical bar, H, vertical bar е неговата площ, кой от следните интеграли, записани абстрактно, представя стойността x за центъра на масата на H?

(Избор А)
$\dfrac{1}{|H|} \begin{aligned} \iint_H x \,dA \end{aligned}$
(Избор Б)
$\dfrac{1}{|H|} \begin{aligned} \iint_H \sqrt{1-x^2} \,dA \end{aligned}$

Проверка на понятията: Каква е площта на полудиска H?

vertical bar, H, vertical bar, equals

Проверка на понятията: Кое от следните е правилният начин да превърнем интеграла \iint, start subscript, H, end subscript, x, d, A във вид, подходящ за изчисление?

(Избор А)
$\begin{aligned} \int_{-1}^1 \int_0^{\sqrt{1 - y^2}} x\,dx\,dy \end{aligned}$
(Избор Б)
$\begin{aligned} \int_{0}^1 \int_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1 - x^2}} x\,dy\,dx \end{aligned}$

За домашно: Реши този интеграл и с негова помощ намери центъра на масата на H.

x-координата на центъра на масата:

Обобщение

Двойните интеграли се използват винаги, когато искаме да разрежем една двумерна област на безкрайно много безкрайно малки площи, да умножим всяка от тях по някаква стойност и после да ги сумираме.

По-общият начин за записване на двоен интеграл е:

\begin{aligned} \iint_\blueE{R} f\,\redE{dA} \end{aligned}

,
където

start color #0c7f99, R, end color #0c7f99 е областта, върху която интегрираме.
start color #bc2612, d, A, end color #bc2612 означава "малко парче площ", което обикновено означава d, x, d, y или d, y, d, x, освен ако не се използва различна координатна система.
f, left parenthesis, x, ;, y, right parenthesis е функция на две променливи.

Отсега нататък двойните интеграли ще присъстват неотлъчно в повечето нови теми в анализа на функции на много променливи. В повечето случаи това ще ни помага да разсъждаваме какво се случва вътре в една "малка площ" на дадена област, а не просто да интегрираме спрямо някаква крива и после да интегрираме в посока, перпендикулярна на първата.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила

Сортирай по:

Все още няма публикации.

Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.