Двоен интеграл с полярни координати

Преговор

• Полярни координати (видео)
• Двойни интеграли, които не се отнасят до обем

Основни идеи

• Когато използваш двоен интеграл,
  $\displaystyle \iint_\blueE{R} f\,\redE{dA}$\iint, start subscript, start color #0c7f99, R, end color #0c7f99, end subscript, f, start color #bc2612, d, A, end color #bc2612
  ако искаш да изразиш функцията $f$f и границите на областта $\blueE{R}$start color #0c7f99, R, end color #0c7f99 с полярни координати $(r; \theta)$left parenthesis, r, ;, theta, right parenthesis, начинът да представиш една малка площ $dA$d, A с полярни координати е:

  $\redE{dA} = r\,d\theta\,dr$start color #bc2612, d, A, end color #bc2612, equals, r, d, theta, d, r

  (Обърни внимание на факта, че променливата $r$r присъства в израза)
• Освен, че трябва да се приложи това правило, решаването на тези интеграли означава да се обърне внимание на това границите на интегралите да съответстват точно на областта $R$R.
• Интегрирането с използване на полярни координати е удобно винаги, когато функцията или областта на интегриране притежават някакъв вид ротационна симетрия. Например полярните координати са много подходящи за интегриране на диск или на функции, които съдържат израза $x^2 + y^2$x, squared, plus, y, squared.

Пример 1: Малки участъци, изразени с полярни координати

Предупреждение!: Може би е изкушаващо да заместиш $\redE{dA}$start color #bc2612, d, A, end color #bc2612 с $d\theta\,dr$d, theta, d, r, както при правоъгълни координати заместваме с $dx\,dy$d, x, d, y. Но това е погрешно!

$\begin{aligned} \int_0^2 \int_0^{2\pi} r^3\,d\theta\,dr = \end{aligned}$

Провери

[Отговор]

Пример 2: Интегриране върху сложна фигура с форма на цвете

Избери един отговор:

Избери един отговор:

• (Избор А)  

  $\begin{aligned} \iint_R r\sin(\theta) \,dr\,d\theta \end{aligned}$

  А

  $\begin{aligned} \iint_R r\sin(\theta) \,dr\,d\theta \end{aligned}$
• (Избор Б)  

  $\begin{aligned} \iint_R r^2 \sin(\theta) \,dr\,d\theta \end{aligned}$

  Б

  $\begin{aligned} \iint_R r^2 \sin(\theta) \,dr\,d\theta \end{aligned}$

Провери

[Отговор]

Избери един отговор:

Избери един отговор:

• (Избор А)  

  $\begin{aligned} \int_0^{2\pi} \int_0^{\cos(2\theta)} r^2 \sin(\theta) \,dr \,d\theta \end{aligned}$

  А

  $\begin{aligned} \int_0^{2\pi} \int_0^{\cos(2\theta)} r^2 \sin(\theta) \,dr \,d\theta \end{aligned}$
• (Избор Б)  

  $\begin{aligned} \int_0^{\arccos(r)/2} \int_0^{2\pi} r^2 \sin(\theta) \,dr \,d\theta \end{aligned}$

  Б

  $\begin{aligned} \int_0^{\arccos(r)/2} \int_0^{2\pi} r^2 \sin(\theta) \,dr \,d\theta \end{aligned}$

Провери

[Отговор]

$\begin{aligned} \int_0^{2\pi} \int_0^{\cos(2\theta)} r^2 \sin(\theta) \,dr \,d\theta = \end{aligned}$

Провери

[Отговор]

Пример 3: Камбановидна (нормална) крива

Въпрос: Да се пресметне интеграла $\begin{aligned} \int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\,dx \end{aligned}$ ?

"Но какво общо има това с двойните интеграли в полярни координати?"

Избери един отговор:

Избери един отговор:

• (Избор А)  

  $\begin{aligned} \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^{\infty} e^{-r^2}r\,d\theta\,dr \end{aligned}$

  А

  $\begin{aligned} \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^{\infty} e^{-r^2}r\,d\theta\,dr \end{aligned}$
• (Избор Б)  

  $\begin{aligned} \int_0^\infty \int_0^{2\pi} e^{-r^2} r\,d\theta\,dr \end{aligned}$

  Б

  $\begin{aligned} \int_0^\infty \int_0^{2\pi} e^{-r^2} r\,d\theta\,dr \end{aligned}$
• (Избор В)  

  $\begin{aligned} \int_0^\infty \int_0^{2\pi} e^{-r^2}\,d\theta\,dr \end{aligned}$

  В

  $\begin{aligned} \int_0^\infty \int_0^{2\pi} e^{-r^2}\,d\theta\,dr \end{aligned}$

Провери

[Отговор]

$\begin{aligned} \int e^{-r^2} r \, dr = \end{aligned}$

Провери

[Отговор]

$\begin{aligned} 2\pi \int_0^\infty e^{-r^2} r \, dr = \end{aligned}$

Провери

[Отговор]

Обобщение

• Най-важното нещо, което трябва да запомниш за двойните интеграли в полярни координати е следното:

  $dA = r\,dr\,d\theta$d, A, equals, r, d, r, d, theta

  Освен него, трудната част е определянето на границите на интегриране и решаването на получените интеграли. Но с последните две неща се сблъскваме и при правоъгълните координати.
• Причината да си заслужава да знаеш това е, че понякога двойните интеграли се решават по-лесно, ако ги представиш с полярни координати, както в примера с камбановидната крива.