If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

Двоен интеграл с полярни координати

Ако имаме функция на две променливи, която е дефинирана чрез полярни координати, как можем да изчислим нейния двоен интеграл?

Основни идеи

  • Когато използваш двоен интеграл,
    RfdA
    ако искаш да изразиш функцията f и границите на областта R с полярни координати (r;θ), начинът да представиш една малка площ dA с полярни координати е:
    dA=rdθdr
    (Обърни внимание на факта, че променливата r присъства в израза)
  • Освен, че трябва да се приложи това правило, решаването на тези интеграли означава да се обърне внимание на това границите на интегралите да съответстват точно на областта R.
  • Интегрирането с използване на полярни координати е удобно винаги, когато функцията или областта на интегриране притежават някакъв вид ротационна симетрия. Например полярните координати са много подходящи за интегриране на диск или на функции, които съдържат израза x2+y2.

Пример 1: Малки участъци, изразени с полярни координати

Представи си, че ни е дадена функция на много променливи, която е дефинирана с помощта на полярните координати r и θ,
f(r;θ)=r2
Да кажем, че искаме да намерим двойния интеграл от тази функция в областта, в която
r2
Това е диск с радиус 2 единици и център в началото на координатната система.
Ето как изглежда двойният интеграл, записан в общия случай:
r2r2dA
Можеш да тълкуваш това като обема под параболоид (тримерният аналог на парабола), както е показано по-долу:
Въпросът е какво да правим с члена dA?
Предупреждение!: Може би е изкушаващо да заместиш dA с dθdr, както при правоъгълни координати заместваме с dxdy. Но това е погрешно!
Спомни си какво прави двойният интеграл: той разделя областта, върху която интегрираме, на малки парченца. dA е площта на всяко такова малко парченце. Например, когато разделим на парченца нашия диск с радиус 2 единици, ще получим следното:
Защо разделяме областта по този начин, наподобяващ паяжина, а не използваме вертикални и хоризонтални линии? Тъй като работим с полярни координати, ще е по-лесно да разглеждаме тези малки парченца все едно техните ръбове са или константна стойност на r, или константна стойност на θ.
Да се фокусираме само върху едно такова малко парченце:
Въпреки че това малко парченце има извита форма, ако правим все по-малки и по-малки парченца, в един момент то ще започне да прилича на правоъгълник. Дължината на едната страна на този "правоъгълник" можем да разглеждаме като dr – малка промяна на координатата r.
Използването на диференциала dr, за да опишем тази дължина, подчертава факта, че нямаме предвид конкретно парченце, а ни интересува какво се случва, когато размерът се доближи до 0.
А каква е дължината на другата страна?
Тя не е dθ, т.е. малка промяна на ъгъла, понеже радианите не са единица мярка за дължина. За да превърнем радианите в дължина на дъга, трябва да ги умножим по r.
Следователно, ако разглеждаме това малко парченце като правоъгълник, и ако dr и dθ клонят към нула 0, това по същество е правоъгълник, чиято площ е равна на:
dA=(rdθ)(dr)
Заместваме това в оригиналния интеграл и получаваме:
r2r2dA=r2r2(rdθ)(dr)=r2r3dθdr
Определянето на границите на тази област е доста лесно в този конкретен пример, защото окръжностите са много подходящи за работа с полярни координати. Понеже написахме dθ пред dr, вътрешният интеграл е спрямо θ. Границите на този вътрешен интеграл ще представят пълния интервал на θ, докато правим един пълен оборот около окръжността, от 0 до 2π. Външният интеграл е спрямо r, което се мени в интервала от 0 до 2.
Проверка на концепциите: Реши този двоен интеграл
0202πr3dθdr=

Пример 2: Интегриране върху сложна фигура с форма на цвете

Дефинирай функцията на две променливи f с полярни координати като
f(r;θ)=rsin(θ)
Областта R има форма на цвете и е дефинирана от:
rcos(2θ)
Да се реши двойния интеграл
RfdA
Стъпка 1: Кой от следните варианти е правилен начин за заместване на fdA в интеграла, записан абстрактно?
Избери един отговор:

Стъпка 2: Трябва да отразим факта, че R е дефинирана като област, в която rcos(2θ). Кое от следните е правилният начин да се поставят граници на двойния интеграл?
Избери един отговор:

Стъпка 3: Решаване на интеграла.
02π0cos(2θ)r2sin(θ)drdθ=

Пример 3: Камбановидна (нормална) крива

И сега следва едно от най-любимите ми неща в математиката. Това наистина е нещо изключително!
Въпрос: Да се пресметне интеграла ex2dx ?
Решаването на този единичен интеграл е много трудно, почти невъзможно. Опитай да намериш примитивните функции!
В този интеграл се търси площта под нормалната крива, което е нещо супер важно при работа с вероятности и в статистиката.
"Но какво общо има това с двойните интеграли в полярни координати?"
Знам какво си мислиш, тук не изглежда да има връзка, нали? Да, обаче на някого му хрумнала една супер умна идея.
Учудващо, не се оказва, че е много по-лесно да се реши аналогът на тази задача, който е с повече измерения. По-точно – да се намери обемът под тримерна нормална крива над цялата равнина xy.
равнината хуe(x2+y2)dA
Но ако запазим правоъгълните координати, това пак е все така трудно да се реши, колкото и първоначалния единичен интеграл.
e(x2+y2)dxdy
Но когато преминем към полярни координати, се случва истинско чудо.
Проверка на концепцията: Преобразувай този двоен интеграл в полярни координати.
Избери един отговор:

Понеже вътрешният интеграл е спрямо θ, можем да изнесем от интеграла всички членове, съдържащи r, което в случая е цялата функция:
002πer2rdθdr=0er2r02πdθТова дава 2πdr=0(er2r)(2π)dr=2π0er2rdr
Проверка на концепцията: Намери примитивната функция на er2r, като използваш или интегриране със заместване или правилото за диференциране на сложна функция наобратно.
er2rdr=

Обърни внимание, че сега можем да намерим примитивната функция, защото се появи този член r поради факта, че dA=rdθdr.
Проверка на концепцията: Като използваш тази примитивна функция, довърши решението на интеграла, който дава обема под тримерната нормална (камбановидна) крива.
2π0er2rdr=

Това не е ли чудесен отговор? Сега става още по-хубаво – можем да използваме този многомерен резултат, за да решим оригиналния единичен интеграл. Досещаш ли се как?

Обобщение

  • Най-важното нещо, което трябва да запомниш за двойните интеграли в полярни координати е следното:
    dA=rdrdθ
    Освен него, трудната част е определянето на границите на интегриране и решаването на получените интеграли. Но с последните две неща се сблъскваме и при правоъгълните координати.
  • Причината да си заслужава да знаеш това е, че понякога двойните интеграли се решават по-лесно, ако ги представиш с полярни координати, както в примера с камбановидната крива.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.