Основно съдържание
Анализ на функции на много променливи
Курс: Анализ на функции на много променливи > Раздел 4
Урок 6: Двойни интеграли (статии)Двоен интеграл с полярни координати
Ако имаме функция на две променливи, която е дефинирана чрез полярни координати, как можем да изчислим нейния двоен интеграл?
Основни идеи
- Когато използваш двоен интеграл,ако искаш да изразиш функцията f и границите на областта start color #0c7f99, R, end color #0c7f99 с полярни координати left parenthesis, r, ;, theta, right parenthesis, начинът да представиш една малка площ d, A с полярни координати е:(Обърни внимание на факта, че променливата r присъства в израза)
- Освен, че трябва да се приложи това правило, решаването на тези интеграли означава да се обърне внимание на това границите на интегралите да съответстват точно на областта R.
- Интегрирането с използване на полярни координати е удобно винаги, когато функцията или областта на интегриране притежават някакъв вид ротационна симетрия. Например полярните координати са много подходящи за интегриране на диск или на функции, които съдържат израза x, squared, plus, y, squared.
Пример 1: Малки участъци, изразени с полярни координати
Представи си, че ни е дадена функция на много променливи, която е дефинирана с помощта на полярните координати r и theta,
Да кажем, че искаме да намерим двойния интеграл от тази функция
в областта, в която
Това е диск с радиус 2 единици и център в началото на координатната система.
Ето как изглежда двойният интеграл, записан в общия случай:
Можеш да тълкуваш това като обема под параболоид (тримерният аналог на парабола), както е показано по-долу:
Въпросът е какво да правим с члена start color #bc2612, d, A, end color #bc2612?
Предупреждение!: Може би е изкушаващо да заместиш start color #bc2612, d, A, end color #bc2612 с d, theta, d, r, както при правоъгълни координати заместваме с d, x, d, y. Но това е погрешно!
Спомни си какво прави двойният интеграл: той разделя областта, върху която интегрираме, на малки парченца. start color #bc2612, d, A, end color #bc2612 е площта на всяко такова малко парченце. Например, когато разделим на парченца нашия диск с радиус 2 единици, ще получим следното:
Защо разделяме областта по този начин, наподобяващ паяжина, а не използваме вертикални и хоризонтални линии? Тъй като работим с полярни координати, ще е по-лесно да разглеждаме тези малки парченца все едно техните ръбове са или константна стойност на r, или константна стойност на theta.
Да се фокусираме само върху едно такова малко парченце:
Въпреки че това малко парченце има извита форма, ако правим все по-малки и по-малки парченца, в един момент то ще започне да прилича на правоъгълник. Дължината на едната страна на този "правоъгълник" можем да разглеждаме като d, r – малка промяна на координатата r.
Използването на диференциала d, r, за да опишем тази дължина, подчертава факта, че нямаме предвид конкретно парченце, а ни интересува какво се случва, когато размерът се доближи до 0.
А каква е дължината на другата страна?
Тя не е d, theta, т.е. малка промяна на ъгъла, понеже радианите не са единица мярка за дължина. За да превърнем радианите в дължина на дъга, трябва да ги умножим по r.
Следователно, ако разглеждаме това малко парченце като правоъгълник, и ако d, r и d, theta клонят към нула 0, това по същество е правоъгълник, чиято площ е равна на:
Заместваме това в оригиналния интеграл и получаваме:
Определянето на границите на тази област е доста лесно в този конкретен пример, защото окръжностите са много подходящи за работа с полярни координати. Понеже написахме d, theta пред d, r, вътрешният интеграл е спрямо theta. Границите на този вътрешен интеграл ще представят пълния интервал на theta, докато правим един пълен оборот около окръжността, от 0 до 2, pi. Външният интеграл е спрямо r, което се мени в интервала от 0 до 2.
Проверка на концепциите: Реши този двоен интеграл
Пример 2: Интегриране върху сложна фигура с форма на цвете
Дефинирай функцията на две променливи f с полярни координати като
Областта R има форма на цвете и е дефинирана от:
Да се реши двойния интеграл
Стъпка 1: Кой от следните варианти е правилен начин за заместване на f, d, A в интеграла, записан абстрактно?
Стъпка 2: Трябва да отразим факта, че R е дефинирана като област, в която r, is less than or equal to, cosine, left parenthesis, 2, theta, right parenthesis. Кое от следните е правилният начин да се поставят граници на двойния интеграл?
Стъпка 3: Решаване на интеграла.
Пример 3: Камбановидна (нормална) крива
И сега следва едно от най-любимите ми неща в математиката. Това наистина е нещо изключително!
Въпрос: Да се пресметне интеграла ?
Решаването на този единичен интеграл е много трудно, почти невъзможно. Опитай да намериш примитивните функции!
В този интеграл се търси площта под нормалната крива, което е нещо супер важно при работа с вероятности и в статистиката.
"Но какво общо има това с двойните интеграли в полярни координати?"
Знам какво си мислиш, тук не изглежда да има връзка, нали? Да, обаче на някого му хрумнала една супер умна идея.
Учудващо, не се оказва, че е много по-лесно да се реши аналогът на тази задача, който е с повече измерения. По-точно – да се намери обемът под тримерна нормална крива над цялата равнина x, y.
Но ако запазим правоъгълните координати, това пак е все така трудно да се реши, колкото и първоначалния единичен интеграл.
Но когато преминем към полярни координати, се случва истинско чудо.
Проверка на концепцията: Преобразувай този двоен интеграл в полярни координати.
Понеже вътрешният интеграл е спрямо theta, можем да изнесем от интеграла всички членове, съдържащи r, което в случая е цялата функция:
Проверка на концепцията: Намери примитивната функция на e, start superscript, minus, r, squared, end superscript, r, като използваш или интегриране със заместване или правилото за диференциране на сложна функция наобратно.
Обърни внимание, че сега можем да намерим примитивната функция, защото се появи този член r поради факта, че d, A, equals, r, d, theta, d, r.
Проверка на концепцията: Като използваш тази примитивна функция, довърши решението на интеграла, който дава обема под тримерната нормална (камбановидна) крива.
Това не е ли чудесен отговор? Сега става още по-хубаво – можем да използваме този многомерен резултат, за да решим оригиналния единичен интеграл. Досещаш ли се как?
Обобщение
- Най-важното нещо, което трябва да запомниш за двойните интеграли в полярни координати е следното:Освен него, трудната част е определянето на границите на интегриране и решаването на получените интеграли. Но с последните две неща се сблъскваме и при правоъгълните координати.
- Причината да си заслужава да знаеш това е, че понякога двойните интеграли се решават по-лесно, ако ги представиш с полярни координати, както в примера с камбановидната крива.
Искаш ли да се присъединиш към разговора?
Все още няма публикации.