If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

Двойни интеграли върху области, които не са правоъгълни

Това, което прави двойните интеграли по-особени, е определянето на границите на неправоъгълни области.  Тук ще видим какво означава това и ще се упражним с няколко примера.

Основни идеи

Пример за област, която не е правоъгълна
  • Ако искаш да интегрираш в област от равнината xy, която не е правоъгълна, трябва да изразиш всяка от границите на вътрешния интеграл като функция от външната променлива.
    y1y2(x1(y)x2(y)f(x;y)dx)Това е функция от ydy
    или алтернативно,
    x1x2(y1(x)y2(x)f(x;y)dy)Това е функция от xdx

Проблемът с неправоъгълните области

Нека разгледаме функцията
f(x;y)=xy2
Графиката на тази функция изглежда по следния начин:
Видео плейър на видеоклиповете в Кан Академия
Да намерим обема под част от тази графика. За разлика от последната статия, тази област няма да е над правоъгълна област в равнината xy. Сега ще търсим обем, чиято основа е триъгълник, по-точно показаният по-долу триъгълник.
Това е правоъгълен равнобедрен триъгълник, едно от бедрата на който свързва точките (0;0) и (2;0) върху оста x, а другото бедро свързва точките (2;0) и (2;2). Обемът над този триъгълник и под графиката на функцията f(x;y)=xy2 изглежда по следния начин:
Видео плейър на видеоклиповете в Кан Академия
Този пример е много подобен на този, който видяхме в предходната статия, когато се запознахме с двоен интеграл. Напълно естествено е, че начинът за неговото решаване също е подобен.
  • Изрази чрез интеграл площта на сеченията.
  • Използвай втори интеграл, за да сумираш тези безкрайно малки сечения и да получиш обема.
Сега следва да определим границите на интегриране, което е малко по-сложно. Представи си сеченията, които съответстват на постоянни стойности на x . Следващата анимация показва как изглеждат тези сечения, когато постоянните стойности на x се менят в интервала от 0 до 2.
Видео плейър на видеоклиповете в Кан Академия
Височината на сеченията над основата се променя въз връзка с височината на графиката на функцията f(x;y)=xy2. Но се променя и широчината на тези сечения. Например за x=0,5 стойността на y при основата се променя от 0 до 0,5, както се вижда от вертикалната червена ивица на долното изображение.
Когато стойността на x=1,5, стойността на y се променя от 0 до 1,5:
Това означава, че когато съставяме интеграла, чрез който да намерим площта на едно от тези сечения при постоянна стойност на x, горната граница ще я изразим чрез x.
0xf(x;y)dy=0xxy2dy
Що се отнася до изчисленията не е проблем да изразим една от границите чрез x. Все пак ще получим резултат като функция от x в крайна сметка. Да решим самия интеграл:
0xxy2dy=

Оттук нататък няма нищо ново. Умножаваме тази стойност по dx, за да добавим трето измерение и получаваме безкрайно малък обем. След това интегрираме спрямо x, като границите са константи, x=0 и x=2, тъй като основата лежи там върху оста x.
02x43dx=(x5(5)(3))02=25150515=3215
Общият обем следователно е 32152,13

Интегриране по диск

Сега да направим нещо малко по-трудно: да намерим обема под графика, ограничена от единичен диск. Единичният диск в равнината xy съдържа всички точки (x;y), такива че
x2+y21
Например обемът под графиката
f(x;y)=3+yx2
ограничена от единичния диск изглежда по следния начин
Видео плейър на видеоклиповете в Кан Академия
Отново си представи сечения от този обем, които съответстват на постоянни стойности на x.
Видео плейър на видеоклиповете в Кан Академия
Помисли каква е основата на всяко от тези сечения в равнината xy. Всяко сечение съответства на някаква вертикална ивица от единичния диск.
С помощта на питагоровата теорема можем да намерим стойностите на y, които определят горната и долната страна на тези ивици като функция от стойността на x, на която съответства дадената ивица.
Можем да намерим площта на една от тези ивици, съответстват на постоянна стойност на x, като интегрираме функцията f(x;y) относно y. Разликата между този случай и примера с правоъгълни области е в това, че тук всяка от границите е функция от x.
Проверка на концепциите: Кой от следните интеграли представлява площта на сечение за константна стойност на x?
Избери един отговор:

Решаване на интеграла: Този пример е по-труден от предишните, но ако имаш желание, реши интеграла, за да получиш формула за площта на сечение за постоянна стойност на x като функция от x.
Площ на сечение за постоянна стойност на x:

Стойностите на x в единичния диск са в интервала от x=1 до x=1, така че за да намерим търсения обем трябва да интегрираме спрямо x израза, който току-що намерихме, в границите от 1 до 1. Както и преди, можеш да си представиш, че сумираш много малки обеми.
Това е един сложен интеграл, затова можем да го решим с помощта на компютър или онлайн инструмент като Wolfram Alpha.
Общ обем: 11(62x2)1x2dx=11π48,6394

Сечения в другата посока: Област с формата на перка на акула

Понякога е по-лесно да разглеждаме сечения за постоянни стойности на y, което означава да разрежем нашата област в равнината xy на хоризонтални ивици. Да разгледаме областта от равнината xy, която притежава следните свойства:
  • xy2
  • xy+2
  • y0
Тази област прилича на гръбната перка на акула:
Горният десен ъгъл на областта е там, където графиката на функцията x=y2 пресича правата с уравнение x=y+2. Това е точката (4;2).
Да намерим обема на тялото, чиято проекция е тази област, и чиято височина се определя от една проста функция на много променливи:
f(x;y)=x+2y
Ето как изглежда този обем:
Видео плейър на видеоклиповете в Кан Академия
Този път си представи, че правим сечения на тялото за постоянни стойности на y. Това ни дава площта над хоризонталната ивица на нашата област с форма на перка на акула, както показаната в червено.
Проверка на понятията: Ако една от тези хоризонтални ивици съответства на стойност на y, какви са границите по x на тази ивица? Това означава, че търсим координатите x в левия и в десния край на тази отсечка като функция от y.
Долна граница: x=
Горна граница: x=

Проверка на понятията: Кой от следните интеграли съответства на сечението над една от тези ивици и под графиката на функцията f(x;y)=x+2y, като функция от y?
Избери един отговор:

Проверка на понятията: Реши този интеграл, за да намериш площта на тези ивици от нашия обем за постоянни стойности на y.
Площ на сечение за постоянна стойност на y:

Проверка на понятията: Когато интегрираме тази функция от y, за да получим общия обем, какви граници трябва да използваме?
Избери един отговор:

За домашно: Реши този интеграл, за да намериш обема на областта, която дефинирахме в началото на точката. (Можеш съвсем спокойно да използваш калкулатор).
Обем:

Обобщение

Когато трябва да решим двоен интеграл върху област, която не е правоъгълна, следваме тези стъпки:
  • Правим сечения на областта, които съответстват на постоянни стойности за едната променлива. Например, ако x е константа, тогава ще направим вертикални ивици.
  • Изразяваме границите на тези ивици като функция от другата променлива. Например горната и долната страна на вертикалните ивици може да се изрази като функция от x.
  • ПРи съставянето на двойния интеграл, вътрешният интеграл ще съответства на интегриране по протежение на една от тези ивици, като границите на вътрешния интеграл ще са функции от външната променлива. Ако вътрешният интеграл съответства на константни стойности за x, двойният интеграл ще изглежда по следния начин:
    x1x2(y1(x)y2(x)f(x;y)dy)Някаква функция от xdx
    В обратния случай, ако започнем с хоризонтални ивици за постоянна стойност на y, двойният интеграл ще изглежда по следния начин:
    y1y2(x1(y)x2(y)f(x;y)dx)някаква функция от ydy

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.