Двойни интеграли върху области, които не са правоъгълни

Преговор

• Двойни интеграли

Основни идеи

• Ако искаш да интегрираш в област от равнината $xy$x, y, която не е правоъгълна, трябва да изразиш всяка от границите на вътрешния интеграл като функция от външната променлива.

  $\begin{aligned} \int_{y_1}^{y_2}\overbrace{\left( \int_{\redE{x_1(y)}}^{\redE{x_2(y)}} f(x; y)\,dx \right)}^{\text{Това е функция от $y$}}dy \end{aligned}$

  или алтернативно,

  $\begin{aligned} \int_{x_1}^{x_2}\overbrace{\left( \int_{\blueE{y_1(x)}}^{\blueE{y_2(x)}} f(x; y)\,dy \right)}^{\text{Това е функция от $x$}}dx \end{aligned}$

Проблемът с неправоъгълните области

• Изрази чрез интеграл площта на сеченията.
• Използвай втори интеграл, за да сумираш тези безкрайно малки сечения и да получиш обема.

Интегриране по диск

Общ обем: $\qquad \begin{aligned} \int_{-1}^1 (6- 2x^2) \sqrt{1-x^2} \,dx = \dfrac{11\pi}{4} \approx 8{,}6394 \end{aligned}$

Сечения в другата посока: Област с формата на перка на акула

Долна граница: $x =$x, equals

Горна граница: $x =$x, equals

Провери

[Отговор]

Избери един отговор:

Избери един отговор:

• (Избор А)  

  $\begin{aligned} \int_{y^2}^{y+2} (x+2y) \,dx \end{aligned}$

  А

  $\begin{aligned} \int_{y^2}^{y+2} (x+2y) \,dx \end{aligned}$
• (Избор Б)  

  $\begin{aligned} \int_0^2 (x+2y) \,dy \end{aligned}$

  Б

  $\begin{aligned} \int_0^2 (x+2y) \,dy \end{aligned}$

Провери

[Отговор]

Площ на сечение за постоянна стойност на $y$y:

Провери

[Отговор]

Избери един отговор:

Избери един отговор:

• (Избор А)  

  $\begin{aligned} \int_0^4 \dots \,dy \end{aligned}$

  А

  $\begin{aligned} \int_0^4 \dots \,dy \end{aligned}$
• (Избор Б)  

  $\begin{aligned} \int_0^2 \dots \,dy \end{aligned}$

  Б

  $\begin{aligned} \int_0^2 \dots \,dy \end{aligned}$

Провери

[Отговор]

Обем:

Провери

[Отговор]

Обобщение

• Правим сечения на областта, които съответстват на постоянни стойности за едната променлива. Например, ако $x$x е константа, тогава ще направим вертикални ивици.
• Изразяваме границите на тези ивици като функция от другата променлива. Например горната и долната страна на вертикалните ивици може да се изрази като функция от $x$x.
• ПРи съставянето на двойния интеграл, вътрешният интеграл ще съответства на интегриране по протежение на една от тези ивици, като границите на вътрешния интеграл ще са функции от външната променлива. Ако вътрешният интеграл съответства на константни стойности за $x$x, двойният интеграл ще изглежда по следния начин:
  $\begin{aligned} \int_{x_1}^{x_2}\overbrace{\left( \int_{\blueE{y_1(x)}}^{\blueE{y_2(x)}} f(x; y)\,dy \right)}^{\text{Някаква функция от $x$}}dx \end{aligned}$
  В обратния случай, ако започнем с хоризонтални ивици за постоянна стойност на $y$y, двойният интеграл ще изглежда по следния начин:
  $\begin{aligned} \int_{y_1}^{y_2}\overbrace{\left( \int_{\redE{x_1(y)}}^{\redE{x_2(y)}} f(x; y)\,dx \right)}^{\text{някаква функция от $y$}}dy \end{aligned}$