Полярни координати

Досега сме разгледали декартовите координати, дори и да не сте разбрали, че това са декартови координати, защото не съм ги наричал така досега. И така, какво представляват декартовите координати? Да нарисуваме оста, която се надявам, че вече познавате. Ако не ви е познато, прегледайте видеоклиповете. Ще нарисувам оста у и оста х. И така, декартовите координати--всъщност, те могат да имат повече от 2 измерения. Но ние обикновено работим в две измерения. После, ако искам да определя дадена точка двумерно пространство, само показвам колко далеч стигам по х и колко по у. Мога да определя тази точка. Например, да кажем, давам декартовите координати за тази точка там. Бих могъл да кажа, ами, за да стигна до тази точка там, трябва да отида 3 стъпки вдясно. Така това е 3 тук. И след това отивам нагоре 4 стъпки. 1, 2, 3, 4. И стигам дотук. Обикновено, наричаме това х-координата, а това у-координата, а това е 3 запетая 4. По правило, първата координата е по х, а втората координата показва положението нагоре или надолу, или посоката у. Значи, това е 3 запетая 4. Можем да вземем 3 надясно и 4 нагоре или пък 4 нагоре и 3 надясно. И ще получим една и съща точка. Това е единия от начините за определяне на точка двумерно. Друг вариант е и това сигурно сте правили в ежедневието си, хей, посочвам в дадена посока и вие се придвижвате дадено разстояние в тази посока. Можех да кажа, знаете ли какво? Нека ви посоча тази посока. Ще посоча натам и вие ще се придвижите дотам. Трябва да се придвижите в тази посока. Това пак ще ви отведе до същата точка. Така, че как определям посоката? Ами, какво ще кажете да го нарека 0 градуса? А какво ще кажете да го нарека оста х? А 0 градуса? Ще имаме градуси. Но надявам се знаете как да преобразувате между градуси и радиани. Значи можете също да преобразувате в радиани. Но можете да определите посоката ако наречете това 0, и кажете, ок, това е тита градуса и искам--ще ви посоча градус--знаете, че можете да си представите човек с превръзка на очите. Ако му посочите нанякъде и му кажете върви r единици. И след това той ще се върне в същата точка. Бихте могли да определите тази точка--вместо да определяте, това са декартовите координати, това е х запетая у--можете също да я определите ако се сетим по какъв начин да направим това. Ще го нарисувам в лилаво. Можете да я определите и като r запетая тита. Което по същество показва, че вървите r единици в посока тита. Добре, да видим какво е това. Защото мисля, че е малко абстрактно сега и може би е малко трудно за разбиране. Така, ние ще ползваме малко тригонометрия и всъщност Питагоровата теорема. Можем ли да намерим r и тита? Ами, r е по-лесното тук. Защото ако се замислите, това е правоъгълен триъгълник. Това е правоъгълен триъгълник. Той има разстояние 3. Това е разстояние 4. Това е правоъгълен тръгълник. Така, че какво е r там? Питагоровата теорема. 3 на Квадрат плюс 4 на квадрат е равно на хипотенузата на квадрат или r на квадрат. Така бихме могли да кажем, че 3 на квадрат плюс 4 на квадрат е равно на r на квадрат. Това е 9 плюс 16 е равно на r на квадрат. 25 е равно на r на квадрат. Ние не искаме отрицателни разстояния, така че 5 е равно на r, r е равно на 5. Достатъчно. Ако вече знаем, че r е равно на 5. Как да намерим тита? Какво ни е известно тук? Знаем ,че--ами, опитваме се да намерим тита. Знаем, че това е обратната страна, нали? Това просто се връща към SOHCAHTOA. Ще запиша SOHCAHTOA. Ако това ви е напълно непознато, можете да гледате видеото за основна тригонометрия. Така знаем обратната страна на тита, нали? Това е 4. Също така знаем съседната страна. Това е 3. Така коя от тригонометричните функции използва обратната и съседната страна? Ами, TOA. Обратна и съседна. Така, тангент. Тангенсът на тита е равен на обратното--което е всъщност у-координата, което е равно на 4--върху съседната. Което е х-координата, което е 3. Така, тангенсът на тита е равен на 4/3. За да решим това, трябва по същество просто да вземем обратната тангента на двете страни на това. Това е същото. И в зависимост от това какъв калкулатор имате, или по какъв начин смятате, можете да запишете това. Когато вземете обратната тангенса на двете страни, получавате--ще запиша това. Можете да запишете това като арктангенс на тита е равно на арктангенс от 4/3. И това е, разбира се--арктангенс на тангенса. Това е същото като обратния тангенс на тангенса на тита. Това е просто равно на тита. Това само опростява тита. Е равно на арктангенс на 4/3. Друг начин за записване на арктангенса е често--често го записват--ще го запиша. Абсолютно същото твърдение може да бъде записано като обратен тангенс на отрицателна 1 степен. Понякога го казват. Въпреки, че е малко подвеждащо понякога, когато се записва така. Защото не знаете. О, взимам целия тангенс на тита на отрицателна степен или нещо такова? Но понякога записвам арктангенс като 10 на отрицателна 1 степен. Един от двата начина. Така можем да намерим тита като вземем арктангенса на 4/3. Повечето хора не помнят точно колко е арктангенса на 4/3. Не знам лесен начин да го намерите без да извадите моето TI-85 . Така, че нека го извадим. Добре. Така как научаваме арктангенса--искаме да направим обратното ще вдигна малко калкулатора за да виждате по-добре. Искаме да получим този инверсен тангенс тук. Натискаме втория иверсен тангенс на 4 делено на 3. Вече съм сложил калкулатора в режим градуси. Получаваме 53.13 градуса. Получаваме 53.13 градуса. Така тита е равно на 53.13 градуса. Ето получихме го. Беше ни известно, че можем да определим точката в 2- мерна равнина по точката х равно на 3, у е равно на 4. Можем също така да я определим по r е рвано на 5, и тита е равно на 53 градуса. Ще запиша това. По отношение на полярните координати може да бъде определено като r е равно на 5 и тита е 53.13 градуса. Всичко, което това показва е, ок, ориентирайте се към 53.13 градуса в посока обратна на часовниковата стрелка от оста х и след това се преместете с 5 единици. Ще стигнете до същата точка. Това е всичко, което ви показват полярните координати. Да направим още една. Всъщност, преди това, да видим дали можем да намерим нещо общо тук. Щом ведъж сте намерили общото, после винаги можете решите отделните случаи. Нека запишем някаква прозиволна точка. Последният път имахме определена точка. Точката--беше 3 запетая 4, нали? Мисля, че беше така. Да кажем , че имам точката х запетая у. Ето тук. Нейната х-координата е там, а у-координатата е там. Така, как да преобразуваме това в r, в полярни координати? r, тита. Добре, да направим същото като в последното видео. Ако тази дължина е r и този ъгъл е тита. Така стигаме до същото, което правихме в последното видео. Ще използваме Питагоровата теорема. Казваме х на кавдрат плюс--защото това разстояние тук е също у, нали? Това разстояние тук е х. По Питагоровата теорема получавате х на квадрат плюс у на квадрат е равно на r на квадрат. Това е по Питагоровата теорема. И след това имате тангенс от тита. Тангенсът на този ъгъл. Тангенсът на този ъгъл. SOHCAHTOA. TOA. Противоположното върху съседното. Тангенс от тита е равно на противоположното--което е у-- върху съседното--което е х. И това е всъщност, което търсите. Ако искахте да отидете една стъпка напред, това е всъщност нещо, което трябва да запишете отстрани на вашия лист. Как да изразим у като функция ако искаме да направим обратното? Ако ни е дадено r и тита, как да получим у? Ами, нека помислим върху това. у-- ако искаме да го получим--да видим, ако е дадено r и у и искаме да получим тита--кое е свързано с r и у по отношение на тита? r е хипотенузата, а у е противоположното. Ще запиша SOHCAHTOA. Ще запиша SOHCAHTOA. Така, кое има отношение към противоположното и хипотенузата? Така, кое има отношение към противоположното и хипотенузата? Синусът. Значи, синус от тита е равно на противоположното--което е страна у, което е равно на у--върху хипотенузата, което е r. Равно на r. И така, ако умножим и двете страни по r, получаваме r синус от тита е равно на у. И след това, нека го направим по друг начин. Ако искаме да имаме равенство за тита, r и х? Х е съседно на ъгъла. r е хипотенузата. Така, че кое има отношение към съседното и хипотенузата? Ами, CAH. Косинусът. Имаме косинус от тита е равно на съседното, е равно на х върху хипотенузата, което е r. Умножете и двете страни по r и получавате х е равно на r косинус от тита. И наистина, като имате тази формула-- което всъщност е заради трогонометричните идентичности--тази формула, която ви е известна, е подобна и произлиза от SOHCAHTOA. Тя произлиза от SOHCAHTOA-- и всъщност е, знаете--ако имате тези първо. Ако имате тези двете можете лесно да получите онова. А това, е просто по Питагоровата теорема, така че сте готови. Имате всичко за да преобразувате между полярни и правоъгълни координати. Това ще направим в следващото видео, защото тъкмо осъзнах, че времето ни свърши. осъзнах, че времето ни свърши.