If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

Двойни интеграли - 1

Въведение в двойните интеграли. Създадено от Сал Кан.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.

Видео транскрипция

Досега използвахме интеграли, за да намираме площта под някаква крива. Нека само да преговорим логиката на това, въпреки че това вече трябва да го знаеш много добре. Ако не го знаеш, може би трябва да преговориш уроците за определени интеграли. Ако ни е дадена някаква функция – това е равнината ху, това е оста х, това е оста у – дадена ни е някаква функция. Да я наречем – не знам – това е у равно на някаква функция от х. Даваш ми някакво х и аз ти давам у. Ако искаме да намерим лицето на областта под тази крива, между х равно на а и х равно на b – ето тази площ искам да намеря. Това, което правим, е да разделим тази площ на много колонки или на много правоъгълници. Ще начертая един от тези правоъгълници. Можеш да видиш... като тук има различни начини да го направим, но това сега е само преговор. Можеш да си преговориш – това е един такъв правоъгълник. Лицето на правоъгълника е просто основата по височината му, нали? Ще направим тези правоъгълници много тънички, а после ще сумираме площите на безкрайно много такива правоъгълници. Всеки от тях е много малък. Ще означа основата на този правоъгълник с dx. Височината на правоъгълника е равна на f от х в тази точка. Това е f от... ако това е х0, или нещо друго, можем да наречем височината f от х, нали? Това е височината на този правоъгълник. И след това ще сумираме площите на всички тези правоъгълници. Имаме много такива правоъгълници. Един тук, един тук. След това намираме лицето, и ако имаме безкрайно много от тези правоъгълници, които са безкрайно малки, получаваме точно площта под кривата. Това представлява определеният интеграл. Начинът, по който записваме това – това е определен интеграл. Ще сумираме площите на всички тези правоъгълници, от х равно на а до х равно на b. Сумата или площите, които сумираме, ще ни дадат... височината е f от х, а широчината е dх. Това е f от х по dx. Това е равно на площта под кривата. f от х, у е равно на f от х, за х в границите от х = а до х = b. Това е просто преговор. Надявам се, че сега ще можеш да видиш паралел как ще разширим тази концепция до намирането на обем под повърхнина. Първо – какво е повърхнина? Ако разсъждаваме в три измерения, повърхнината е функция от х и от у. Значи можем да запишем повърхнината като – вместо у е функция от f от х... извинявам се. Вместо да кажем ,че у е функция от х, можем да кажем, че повърхнината е z равно на функция от х и от у. Разглеждаме (х; у) като дефиниционно множество. Нали? Дефиниционното множество съдържа всички допустими стойности, които можем да въведем в една функция. Преди нашето дефиниционно множество беше просто... поне това, което сме срещали най-често – беше просто оста х, или един вид оста на реалните числа в посока х. Сега нашето дефиниционно множество е равнината ху. Можем да дадем произволно х и у... като тук разглеждаме само реални стойности за момента, но не искам да навлизам в подробности. След това получаваме някакво друго число, и ако искаме да начертаем това, това е височината. Това може да е височината на повърхнината. Ще ти покажа как изглежда повърхнината, ако случайно не си спомняш. И евентуално ще изчислим обема под тази повърхнина. Значи това е повърхнина. След малко ще ти дам функцията, но това е много красива графика. Както виждаш, това е повърхнината. Прилича на лист хартия, който е огънат. Да видим, ще я завърта до обичайния изглед. Значи това е посоката х, а това е посоката у. Височината е функция от това къде се намираме в равнината ху. Как можем да определим обема под една такава повърхнина? Как да намерим този обем? Това изглежда надхвърля това, което сме научили досега. Но ако... само ще начертая тук една абстрактна повърхнина... ще начертая координатните оси. Това е оста х. Това е оста у. Това е оста z. Аз не подготвям тези видео уроци предварително, така че често импровизирам какво ще начертая. Добре. Това е х, това е у, а това е z. Да кажем, че е дадена някаква повърхнина. Чертая някаква повърхнина. Тя е съвсем произволна. Някаква произволна повърхнина. Това е нашата повърхнина. z е функция от х и от у. И да кажем, че ти ми дадеш някаква точка в равнината ху. Тогава аз въвеждам координатите в тази функция и тя ми дава някаква стойност z. Ще я нанеса тук, това е точка от повърхнината. Това, което искам да намеря, е обемът под тази повърхнина. Като трябва да определим някакви граници. Тук границите са от х равно на а до х равно на b. Ще направя граници като квадрат, защото това много опростява нещата. Да кажем, че дефиниционното множество или областта, това не е дефиниционно множество – областта от х и у, които определят тази част от повърхнината, под която искаме да изчислим обема. Да кажем, че сянката – ако слънцето свети точно отгоре над повърхнината, сянката ще бъде ето тук. Ще се постарая да го начертая прилежно. Значи ще се опитаме да определим обема на... Ако начертаем в равнината ху един вид проекцията на повърхнината в равнината ху, или сянката на повърхнината в равнината ху. Какви са границите? Можеш да кажеш... какви са границите на дефиниционното множество? Да кажем, че това е тази точка – нека да е тази точка тук, това точката (0; 0) в равнината ху. Нека това да е у равно на... не знам, това е у равно на а. Това е тази права ето тук. у е равно на а. Нека тази права тук да е х равно на b. Разбираш това, нали? Това е равнината ху. Имаме някаква константа х, която определя права като тази. у е равно на константа, това е уравнението на една такава права. След това имаме площта между тях. Как можем да изчислим обема под тази повърхнина? Ако искахме да намерим само лицето на... да кажем на тази пластина. Да кажем, че имаме... всъщност ще го направя по друг начин. Нека да имаме у равно на константа. Да кажем, че имаме някаква пластина. Не искам да те обърквам. Да кажем, че имаме някаква константа у. Просто искам да ти покажа логиката. И да кажем... Не знам колко е това у. Това е произволно у. Но за някаква константа у, ако искаме да намерим площта под кривата ето тук? Как можем да намерим площта под тази крива? Тя ще бъде функция от у, което избера, нали? Защото ако избера у ето тук, тази площ ще е различна. Ако избера у ето тук, ще имаме различна площ. Но сега тази задача изглежда много подобна на задачата тук горе. Мога да взема dx – ще избера ярък цвят, за да можеш да виждаш. Да кажем, че това е dx, нали? Това е промяната на х. След това височината е функция от х и от у, което съм избрал. Въпреки че приемаме, че в известен смисъл че у е константа. Каква ще бъде площта на този лист хартия? у е един вид константа. Този лист хартия е част от целия този обем, можем да го разглеждаме по този начин. Тогава това е... казваме височината на всеки от тези правоъгълници е f от (х; у), нали? Това е височината. Тя зависи от х и от у, които избираме ето тук долу. След това широчината е dx. Не d от х, а dx. След това, ако интегрираме това от х равно на 0, което е ето тук, всичко до х равно на b, какво ще получим? Ще изглежда ето така. х е в интервала от 0 до b. Добре. Това по същество ни дава функция от у. Това ще ни даде някакъв израз, така че ще намерим площта на този участък от обема за всяка стойност на у. Ако ми дадеш у, мога да ти кажа площта на този участък, който съответства на това у. Какво мога да направя сега? Ако знам площта на всеки един такъв срез, ако умножа площта на този срез по dy? Това е dy. Ще го направя в ярък цвят. Значи dy е много малка промяна на у. Ако умножим тази площ по едно много малко dy, тогава ще получим този много малък обем на пластината. Надявам се, че сега това ти изглежда логично. Отрязвам тази тънка пластина, на която имам площта на... като тя е в три измерения. Какъв ще бъде обемът на тази пластинка? Обемът на тази пластина е тази функция от у по dу, или това цялото нещо по dу. Значи това е интеграл от 0 до b от f от (х; у), dx. Това ни дава площта на целия този син лист. Сега умножаваме тази площ по dу и получаваме този обем. Тук сега имаме някаква дълбочина. Тази малка площ, която оцветявам ето тук, ни дава широчината на този лист. И ако събера всички тези листове, които сега имат и дълбочина, ако намеря сумата от безкрайно много такива... ако това е интеграл от това с долна граница у = 0 до горна граница у = а, а после... въз основа на логиката ни тук... и така ще намеря обема под тази повърхнина. Но както и да е, не искам да те обърквам. Това е логиката на това, което ще разглеждаме. Според мен ще разбереш, че всъщност изчисляването на обемите е много лесно, особено когато имаме фиксирани граници за х и за у. Точно това ще разгледаме в следващото видео. До скоро!