Двойни интеграли - 2

Надявам се, че вече имаш известна представа за двоен интеграл или как можем да намерим обема под някаква повърхнина. Сега да изчислим един двоен интеграл и всичко ще стане малко по-конкретно. Дадена е повърхнината z, която е функция от х и от у. z равно на х по у на квадрат. Това е повърхнина в тримерно пространство. Искам да намеря обема между тази повърхнина и равнината ху. Дефиниционното множество, което ме интересува в равнината ху, е х по-голямо или равно на 0, и по-малко или равно на 2 и у е по-голямо или равно на 0 и по-малко или равно на 1. Да видим как изглежда това, като разгледаме един хубав чертеж. Аз направих графиката така, че да можем да я въртим. Това е функцията z равно на х по у на квадрат. Това е ограничаващата ни кутийка, нали? х е от 0 до 2, а у е от 0 до 1. И буквално търсим това... можем да го разглеждаме като обема... не, не съвсем. Можем да го разглеждаме точно като обема под тази повърхнина. Между повърхнината, горната повърхнина, и равнината ху. Ще го завъртя, за да можеш да добиеш по-добра представа за реалния обем. Ще го завъртя. Трябва да използвам мишката за целта. Това е пространството под повърхнината тук. Това е някакъв вид навес или нещо такова. Мога да го завъртя малко. Това, което е отдолу, между двете повърхнини – това е обемът. Опа, обърнах го. Ето така. Това е обемът, който ни интересува. Да видим как можем да го намерим, като междувременно ще вникнем в логиката. Ще начертая една не толкова впечатляваща графика, но мисля, че тя ще ни свърши работа. Ще начертая координатните оси. Това е оста х, това е у, това е оста z. х, у, z. х е между 0 и 2. Това тук е 2. у е между 0 и 1. Ще изчислим обема над този правоъгълник, този правоъгълник, който лежи в равнината ху. Повърхнината – ще се постарая максимално , като я чертая. Ще я направя в различен цвят. Гледам чертежа. Този край ще изглежда ето така. После имаме права линия. Да видим мога ли да начертая тази повърхнина, това отива надолу ето така. След това, ако бях добър в това, щях да оцветя това. Ще изглежда приблизително така. Ако я оцветя, повърхнината ще изглежда ето така. Това тук е над това. Това е долният ляв ъгъл, почти можеш да го видиш. Сега да кажем, че в жълто е горният край на повърхнината. Това е горният край на повърхнината. После имаме този обем под повърхнината. Интересува ни обемът под тази повърхнина. Ще ти покажа действителната повърхнина. Значи търсим този обем под нея. Мисля, че разбираш идеята. Как можем да намерим обема? В предишния пример казахме, че избираме произволно у, за което ще намерим площта под кривата. Ако имаме някакво фиксирано у – когато действително решаваш задача, не е нужно да разглеждаш нещата чак толкова подробно, но сега искам да разбереш логиката на това, което правим. Значи избирам някакво произволно у ето тук. За това у можем да си представим... ако имаме фиксирана стойност на у, тогава функцията от х и от у можем да разглеждаме само като функция от х за дадено у. Така че можем един вид да намерим стойността на това, на площта под тази крива. Можеш да разглеждаш това като един вид крива за дадено у. Ако знаем стойността на у, можем да намерим – например, ако у е 5, тази функция става z равно на 25 по х. Тогава става лесно да намерим площта под кривата. Значи означаваме площта под кривата като функция от у. Преструваме се, че у е просто някаква константа. Да го направим. Ако имаме dx – една малка промяна на стойността на х, тогава височината на всеки от тези правоъгълници ще бъде функция – тя ще бъде z. Височината е z, което е функция от х и от у. Така че можем да запишем интеграл... Площта под всяка от тези криви ще е нашата функция х по у на квадрат – ще пиша ето тук, защото ще ми свърши мястото. х по у на квадрат, по широчината, която е dx. Интегрираме по оста х, тъй като правим срез за дадено у, така че интегрираме само по оста х. Ще интегрираме от х = 0 до х = 2. От х равно на 0 до х равно на 2. Добре. Но ние търсим не само тази площ тук под кривата на едно парченце, за една конкретна стойност на у, а търсим цялата площ под тази крива. Затова ще направим следното. Площта под тази крива, не под повърхнината – площта под кривата за дадено у е равна на този израз. Ами ако придадем малко дълбочина тук? Ако умножим цялата тази площ по dy, тогава това ще ни даде известна дълбочина, нали? Ще получим един вид тримерно парченце от обема, който ни интересува. Знам, че е трудно човек да си го представи. Ще сложа това тук. Ако имаме едно парче тук, ние току-що определихме площта на това парче, а после я умножихме по dy, за да получим известна дълбочина. Така че умножаваме това по dy, за да му придадем дълбочина, а после, за да намерим целия обем под повърхнината, ще съберем всички тези безкрайно много на брой безкрайно малки обеми. Така че ще интегрираме от у равно на 0 до у равно на 1. Знам, че моят чертеж е малко труден за разбиране, но можеш да гледаш отново предходното видео. Там имахме една малко по-проста за разбиране повърхнина. Сега – как да сметнем това? Както казах, ще го сметнем от вътре навън. Ще намерим частните производни наобратно. Ще интегрираме относно х, така че отначало можем да считаме, че у е константа. Приемаме, че у е число като 5 или нещо подобно. То не променя интеграла. Коя е примитивната функция на х по у на квадрат? Примитивната функция на х по у на квадрат – искам да спазвам съответствието на цветовете. Примитивната функция на х е х по 1/2 – извинявам се – тя е х на квадрат върху 2. у на квадрат е просто константа, нали? Тук не е нужно после да добавим константа 'с', защото това е определен интеграл. Ще изчислим интеграла за 2 и за 0. След това ще решим външния интеграл по отношение на у. След като го решим, ще интегрираме от 0 до 1 относно dy. На какво е равно това? Заместваме с 2. Заместваме с 2 и получаваме 2 на квадрат, върху 2. Това е 4 върху 2. Това е 2 по у на квадрат. Минус 0 на квадрат, върху 2 по у на квадрат. Това е просто 0. Значи минус 0. Няма да го пиша, защото би трябвало това ди ти е нещо като втора природа вече. Просто изчисляваме това в двете крайни точки, но ми свършва мястото. Значи това дава 2 по у на квадрат, а сега да сметнем външния интеграл. 0, 1, dy. Тук има нещо важно, което трябва да се разбере. Когато смятаме вътрешния интеграл – спомни си – какво правим всъщност? Търсим за дадено у каква е площта на тази повърхнина. Това не е повърхнина, по-точно търсим площта под повърхнината за дадено у. За дадено у повърхнината се превръща един вид в крива. Опитахме да намерим колко е площта под тази крива в обичайния смисъл. Това ще бъде функция от у. Което е логично, защото в зависимост от стойността на у, която изберем, ще изчисляваме различна площ. Очевидно е, че в зависимост от това какво у изберем, площта – един вид тази спусната стена право надолу – и тази площ се променя. Така че получаваме функция от у, когато изчисляваме тези площи, а сега просто интегрираме относно у, което си е един добре познат най-обикновен определен интеграл. Коя е примитивната функция на 2 по у на квадрат? Това е равно на 2 по у на трета степен, върху 3, или 2/3 по у на трета степен. Ще изчислим това за 1 и за 0, което е равно на – да видим. 1 на трета степен по 2/3. Това е 2/3. Минус 0 на трета степен по 2/3. Това е просто 0. Значи е равно на 2/3. Ако мерните единици бяха метри, това щеше да е 2/3 метра на куб или кубични метри. Това е. По този начин се пресмята двоен интеграл. Тук няма нищо ново. Просто трябва да внимаваш да проследяваш променливите. Да ги приемаме като константи. Те трябва да се разглеждат като константи, а после ги разглеждаме като променливи при интегрирането, когато е приложимо. Ще се видим в следващото видео!