Двойни интеграли - 3

В последното видео намерихме обема между тази повърхнина, която е с уравнение х по у на квадрат, и равнината ху, когато х е в интервала от 0 до 2 и у е в интервала от 0 до 1. Определихме този обем, като първо интегрирахме по отношение на х. Избрахме някаква стойност на у и след това намерихме площта под кривата. Първо интегрирахме относно х, а след това интегрирахме относно у. Можехме да го направим и в обратния ред. Сега да проверим дали ще получим верния отговор. Ще изтрия голяма част от написаното. Спомни си, че нашият отговор беше 2/3, когато първо интегрирахме относно х, а после интегрирахме относно у. Ще ти покажа, че можем да го направим и в обратния ред. Да видим дали ще получим един и същ отговор по два различни начина. Ще начертая отново графиката, защото искам пак да ти покажа логиката на процеса. Това е оста х, а това са осите у и z. х, у, z. Това е равнината ху тук долу. у е в интервала от 0 до 1, х е в интервала от 0 до 2. Това е х = 1, това е х = 2, у = 1, и графиката... Ще се постарая при чертаенето. Графиката е приблизително.... искам да има малко контраст. Графиката изглежда приблизително по този начин. Да видим мога ли да я начертая. От тази страна изглежда приблизително така, а после слиза надолу ето така, направо. След това да видим обема, който ни интересува. Това е обемът под графиката. Това е горната част на повърхнината от тази страна. Интересува ни обемът под повърхнината. После, когато чертая долната страна на повърхнината – ще използвам по-тъмен цвят – ще изглежда приблизително така. Това е долната страна под повърхнината. Даже мога малко да го запълня, за да ти покажа, че това е отдолу. Надявам се, че това е добро представяне. Сега да видим какво имахме. Това е като лист хартия, който просто съм обърнал в тази точка, интересува ни този обем, тази оцветена област ето тук. Да видим как ще намерим обема. Миналия път интегрирахме първо относно х. Сега да интегрираме първо относно у. Значи х ще бъде константа. Ако х е константа, тогава за някаква стойност на х... ще избера някаква стойност на х. Ако изберем някакво х – ще избера х ето тук. Тогава за някаква постоянна стойност на х можем да разглеждаме това като функция от х и от у. Щом х е константа – нека х да е равно на 1 – тогава z е равно просто на у на квадрат. Сега е лесно да намерим площта под кривата, защото знаем, че х не е константа, но ние можем да приемем, че е константа. Например за всяка отделна стойност на х ще имаме крива, подобна на това. Сега можем да опитаме да намерим първо площта под тази крива. Как ще го направим? Просто казваме, че можем да разглеждаме тази функция като z равно на х по у на квадрат, защото тя е точно това. Но стойността на х е константа. Ние я приемаме за константа. За да намерим площта, можем да вземем dy – промяната на у – и да я умножим по височината, която е х по у на квадрат. Значи умножаваме х по у на квадрат по dy, а след това, за да намерим тази цялата площ, ще я интегрираме от у равно на 0 до у равно на 1. Добре. След като знаем тази площ, за да намерим обема под цялата тази повърхнина, можем да умножим тази площ по dx и да получим някаква дължина. Ще избера хубав цвят – това зелено. Това е нашето dx. Ако умножа това по dx, ще получим някаква дължина. Ще използвам по-тъмен цвят, за да получа някакъв контраст. Понякога се чувствам като онзи човек, който рисува по телевизията. Сега получихме обема на това, което един вид можем да разглеждаме като – площта под кривата по dx, за да имаме някаква дължина ето тук. Значи по dx. Ако искаме да намерим целия обем под повърхнината – между повърхнината и равнината ху, когато е дадено това ограничение на дефиниционното множество – просто интегрираме в интервала от х = 0 до х = 2. Добре, да помислим върху това. Тази площ в зелено, с която започнахме, трябва да е функция от х. х остава константа, но в зависимост от това какво х избираме, тази площ ще се променя. Така че, когато изчисляваме този вътрешен интеграл в цикламено по отношение на у, ще получим функция от х. След това, когато изчислим целия интеграл, ще получим търсените обеми. Да го направим. Да сметнем вътрешния интеграл. х е константа. Колко е примитивната функция на у на квадрат? Тя е у на трета степен, върху 3. х е константа, нали? Ще го сметнем за 1 и за 0. Външният интеграл пак е по отношение на х, dx. Това е равно на... да видим. Когато имаме у равно на 1, получаваме 1 на трета степен. Това е 1. Значи х върху 3, минус – когато у е 0, тогава това цялото става нула. Този цикламен израз е просто х върху 3. Тогава все още ни остава външният интеграл от 0 до 2, dx. В зависимост от това колко е х тук, площта на тази зелена повърхнина... това е същото, с което започнах. За някаква стойност на х тази площ... исках да има малко контраст. Тази площ е х върху 3 и зависи от стойността на х, която сме избрали. Ако х е 1, тази площ ето тук е 1/3. Но сега ще интегрираме в другата посока цялата площ, за да намерим търсения обем. Както казах, когато интегрираме, това е функция от х. Да го направим. Това е супер лесен, стандартен интеграл. Колко е примитивната функция на х? Тя е х на квадрат, върху 2. Имаме 1/3 тук, така че това е равно на х на квадрат, върху 2, по 3. Значи х на квадрат, върху 6. Ще го изчислим за 2 и за 0. 2 на квадрат върху 6 е 4/6. Минус 0/6, което е 0. Това дава 4/6. Колко е 4/6? Това е просто 2/3. Значи обемът под тази повърхнина е равен на 2/3, а ако си гледал/а предишното видео, ще оцениш факта, че когато интегрираме по обратния начин, когато първо интегрираме относно х, а после относно у, отново получихме съвсем същия отговор. Значи обратният ред също е правилен начин за работа. Изненадващо, но всъщност приключих с това видео с неизползвано време. Така че просто за забавление, мога да завъртя тази графика, за да оценим факта, че намерихме обема между тази повърхнина – х по у на квадрат и равнината ху. Много яко! Ще се видим в следващото видео.