Основно съдържание
Анализ на функции на много променливи
Курс: Анализ на функции на много променливи > Раздел 4
Урок 5: Двойни интеграли- Двойни интеграли - 1
- Двойни интеграли - 2
- Повторен интеграл
- Двойни интеграли - 3
- Двойни интеграли - 4
- Двойни интеграли - 5
- Двойни интеграли - 6
- Двойни интеграли с променливи граници
- Определяне на границите на области
- Размяна на границите на двоен интеграл
© 2023 Khan AcademyУсловия за ползванеДекларация за поверителностПолитика за Бисквитки
Двойни интеграли - 3
Нека първо интегрираме относно dy! Създадено от Сал Кан.
Искаш ли да се присъединиш към разговора?
Все още няма публикации.
Видео транскрипция
В последното видео намерихме
обема между тази повърхнина, която е с уравнение х по у на квадрат,
и равнината ху, когато х е в интервала от 0 до 2
и у е в интервала от 0 до 1. Определихме този обем, като първо
интегрирахме по отношение на х. Избрахме някаква стойност на у
и след това намерихме площта под кривата. Първо интегрирахме относно х, а след това интегрирахме относно у. Можехме да го направим
и в обратния ред. Сега да проверим дали
ще получим верния отговор. Ще изтрия голяма част от написаното. Спомни си, че нашият отговор беше 2/3,
когато първо интегрирахме относно х, а после интегрирахме относно у. Ще ти покажа, че можем
да го направим и в обратния ред. Да видим дали ще получим
един и същ отговор по два различни начина. Ще начертая отново графиката,
защото искам пак да ти покажа логиката на процеса. Това е оста х, а това са осите у и z. х, у, z. Това е равнината ху тук долу. у е в интервала от 0 до 1, х е
в интервала от 0 до 2. Това е х = 1, това е х = 2,
у = 1, и графиката... Ще се постарая при чертаенето. Графиката е приблизително....
искам да има малко контраст. Графиката изглежда
приблизително по този начин. Да видим мога ли да я начертая. От тази страна изглежда
приблизително така, а после слиза надолу ето така, направо. След това да видим обема,
който ни интересува. Това е обемът под графиката. Това е горната част на повърхнината
от тази страна. Интересува ни обемът под
повърхнината. После, когато чертая
долната страна на повърхнината – ще използвам по-тъмен цвят –
ще изглежда приблизително така. Това е долната страна
под повърхнината. Даже мога малко да го запълня,
за да ти покажа, че това е отдолу. Надявам се, че това е
добро представяне. Сега да видим какво имахме. Това е като лист хартия, който
просто съм обърнал в тази точка, интересува ни този обем,
тази оцветена област ето тук. Да видим как ще намерим обема. Миналия път интегрирахме
първо относно х. Сега да интегрираме първо
относно у. Значи х ще бъде константа. Ако х е константа, тогава
за някаква стойност на х... ще избера някаква стойност на х. Ако изберем някакво х –
ще избера х ето тук. Тогава за някаква постоянна
стойност на х можем да разглеждаме това като
функция от х и от у. Щом х е константа – нека
х да е равно на 1 – тогава z е равно просто
на у на квадрат. Сега е лесно да намерим площта
под кривата, защото знаем, че х не е константа, но ние
можем да приемем, че е константа. Например за всяка отделна
стойност на х ще имаме крива, подобна на това. Сега можем да опитаме да намерим първо площта под тази крива. Как ще го направим? Просто казваме, че можем
да разглеждаме тази функция като z равно на х по у на квадрат, защото тя е точно това. Но стойността на х е константа. Ние я приемаме за константа. За да намерим площта, можем
да вземем dy – промяната на у – и да я умножим по височината,
която е х по у на квадрат. Значи умножаваме х по у на квадрат
по dy, а след това, за да намерим тази цялата площ, ще я интегрираме
от у равно на 0 до у равно на 1. Добре. След като знаем тази площ,
за да намерим обема под цялата тази повърхнина,
можем да умножим тази площ по dx
и да получим някаква дължина. Ще избера хубав цвят – това зелено. Това е нашето dx. Ако умножа това по dx,
ще получим някаква дължина. Ще използвам по-тъмен цвят,
за да получа някакъв контраст. Понякога се чувствам като онзи
човек, който рисува по телевизията. Сега получихме обема на това,
което един вид можем да разглеждаме като – площта под кривата по dx,
за да имаме някаква дължина ето тук. Значи по dx. Ако искаме да намерим целия обем
под повърхнината – между повърхнината и равнината ху,
когато е дадено това ограничение на дефиниционното множество –
просто интегрираме в интервала от х = 0 до х = 2. Добре, да помислим върху това. Тази площ в зелено, с която
започнахме, трябва да е функция от х. х остава константа, но
в зависимост от това какво х избираме, тази площ ще се променя. Така че, когато изчисляваме
този вътрешен интеграл в цикламено по отношение на у,
ще получим функция от х. След това, когато изчислим
целия интеграл, ще получим търсените обеми. Да го направим. Да сметнем вътрешния интеграл. х е константа. Колко е примитивната функция
на у на квадрат? Тя е у на трета степен, върху 3. х е константа, нали? Ще го сметнем за 1 и за 0. Външният интеграл пак е
по отношение на х, dx. Това е равно на... да видим. Когато имаме у равно на 1,
получаваме 1 на трета степен. Това е 1. Значи х върху 3, минус –
когато у е 0, тогава това цялото става нула. Този цикламен израз
е просто х върху 3. Тогава все още ни остава
външният интеграл от 0 до 2, dx. В зависимост от това колко
е х тук, площта на тази зелена повърхнина... това е същото, с което започнах. За някаква стойност на х
тази площ... исках да има малко контраст. Тази площ е х върху 3 и зависи
от стойността на х, която сме избрали. Ако х е 1, тази площ ето тук е 1/3. Но сега ще интегрираме
в другата посока цялата площ, за да намерим
търсения обем. Както казах, когато интегрираме, това е функция от х. Да го направим. Това е супер лесен, стандартен интеграл. Колко е примитивната функция
на х? Тя е х на квадрат, върху 2. Имаме 1/3 тук, така че
това е равно на х на квадрат, върху 2, по 3. Значи х на квадрат, върху 6. Ще го изчислим за 2 и за 0. 2 на квадрат върху 6 е 4/6. Минус 0/6, което е 0. Това дава 4/6. Колко е 4/6? Това е просто 2/3. Значи обемът под тази повърхнина
е равен на 2/3, а ако си гледал/а предишното видео, ще оцениш факта, че когато интегрираме по обратния начин,
когато първо интегрираме относно х, а после относно у, отново
получихме съвсем същия отговор. Значи обратният ред
също е правилен начин за работа. Изненадващо, но всъщност
приключих с това видео с неизползвано време. Така че просто за забавление, мога
да завъртя тази графика, за да оценим факта, че намерихме
обема между тази повърхнина – х по у на квадрат
и равнината ху. Много яко! Ще се видим в следващото видео.