Двойни интеграли - 4

Считам, че е много важно да разполагаме с възможно най-много начини за разглеждане на някакъв тип задача, така че искам да ти представя един различен начин. Понякога този начин се изучава първо, но начинът, който използвах в първото видео за интегриране, е начинът, който винаги използвам, когато разсъждавам върху тези задачи. Но понякога е по-удобно да се използва този начин, който ще ти покажа сега, и вероятно ще видиш разликата, или може би ще кажеш, че двата начина ти изглеждат еднакви. Всъщност някой ми изпрати имейл, за да ми каже, че трябва да го направя, така че аз разгледах нещата и си казах, че това изобщо не е трудно. Така че го направих и разгледах чертежа си. Както и да е. Дадена ни е тази повърхнина в 3 измерения. Тя е функция от х и от у. Даваш ми една двойка координати и аз ще ти кажа каква е височината на повърхнината в тази точка. Искаме да намерим обема под тази повърхнина. Добре. Можем лесно да намерим обема на една много малка колонка под тази повърхнина. Търсим целият този обем, между пунктираните линии. Надявам се, че го виждаш. Имам известен опит във визуализацията на това. Да кажем, че тук имаме една малка площ. Можем да я означим като dА. Да видим мога ли да я начертая. Имаме една малка площ ето тук долу, малко квадратче в равнината ху. Тази страна – в зависимост от това как го разглеждаме – тази страна е dx, дължината тук е dx, а височината, ако мога да я нарека така, дължината на тази страна, е dy. Нали? Понеже това е една малка промяна на у, а това е малка промяна на х. Тази площ, площта на този малък квадрат, е dx по dy. Искаме да намерим обема на тялото между тази малка основа и повърхнината, така че можем просто да умножим тази площ по функцията. Нали? Защото височината в тази точка е равна на стойността на функцията в тази точка. Това е приблизителна стойност на обема, след което ще сумираме безкрайно много такива обеми. Предполагам, че се досещаш накъде отиваме. Но нека да го направя. Най-малкото ще начертая тази малка колона, за да ти покажа. Това е единият край, това е другият край, а това е предната стена, а това е другата стена. Значи имаме малко тяло, което изглежда ето така. Една малка колона. Тя се пресича отгоре с повърхнинаната. Обемът на тази колона не е трудно да се намери. Той е равен на тази малка площ тук долу, която е – можем да я означим с dА. Понякога се записва по този начин – dА. Това е една малка площ. Ще умножим тази малка площ по височината на тази колона, а тази височина е функцията в тази точка. Значи това е f от х и от у. Разбира се, можем да напишем това и като – това dА е просто dx по dy, или dy по dx. Ще го напиша по различен начин. Можем да запишем това и като f от (х; у) по dx, по dy. Разбира се, понеже за умножението важи асоциативното или разместителното свойство, можем да напишем това като f от (х; у) по dy, по dx. Всички тези са еквивалентни и са равни на обема на тази колона, която се образува от тази малка основа ето тук и повърхнината отгоре. Сега, ако искаме да намерим обема на цялата повърхнина, ще направим няколко неща. Ще съберем всички обеми в посока х, между долната граница на х и горната граница на х, а после – все едно имаме един тънък лист – въпреки че вече имаме някаква дължина, защото не събираме само dх. Тук имаме и dy. Така че получаваме обема на фигурата, която се простира от долната граница на х до горната граница на х, след това dy, и се връщаме отново тук. Ако искаме да сумираме всички dx, ако искаме да направим това, кой израз ще използваме? Ще сумираме първо относно х, така че ще използваме този израз, нали? Всъщност ще го напиша тук, но така става объркващо. Ако сумираме относно х, но имаме написано първо dy... Това всъщност не е грешно, но става малко двусмислено дали сумираме относно х, или относно у. Но можем да кажем, добре... Първо искаме да сумираме всички dx – да го направим. Сумираме относно х, което ще напиша... обикновено за границите използваме числа, но сега ще кажем, че долната граница е х равно на а, а горната граница е х равно на b. Това ще ни даде обема – досещаш се – един лист, който има някаква дължина, нали? Този лист ще е успореден на оста х, нали? След като намерим обема на този лист, в моето видео – все едно, че някакви вестникари искат да ми продадат нещо. Както и да е. След като имаме този лист, който ще се опитам да го начертая тук, но не искам да претоварвам този чертеж – след като имаме обема на този лист, тогава можем да интегрираме тези, можем да добавим dy, нали? Защото тази широчина тук е просто dy, нали? Можем да добавим всички различни dy, и ще получим обема на цялото тяло. След като намерим сумата по х, можем да намерим и сумата по у. Когато у започва от дъното, което сме означили с 'с', у е с долна граница 'с', а горната граница на у е 'd'. Добре. След това, след като изчислим двойния интеграл, получаваме обема на това тяло или обема под повърхнината. Можехме да работим и по обратния ред. Знам, че това стана малко разхвърляно, но мисля, че разбираш какво имам предвид. Да започнем с това малко dА, което имахме в началото. Вместо да се движим по този ред, вместо да сумираме dx, и да получим този лист, хайде да сумираме dy първо. Можем първо да сумираме по посока у. Ще получим лист, който е успореден на оста у. Горната страна на листа ще изглежда като нещо подобно. Ако първо сумираме dy, имаме интеграл относно у, който ще бъде с долна граница y = с и горна граница у = d. След това този лист ще има някаква малка дължина, дължината dx, и като сумираме всички такива листове, извинявам се, гърлото ми е пресъхнало. Току-що изядох шепа бадеми, за да имам енергия да направя тези видеа. След като знаем обема на един от тези листове, и ако искам да сумирам всички хиксове, после мога да намеря безкрайната сума на безкрайно малките колонки, или в този изглед листове с безкрайно малки дебелини, като долната граница на х е равна на а, а горната граница на х е b. След което получавам обема на тялото. Тук ти показах просто, че има два начина да извършим интегрирането подред. Друг начин да формулираме това е, че ако имаме този малък първоначален квадрат dА, което е съкратен запис, който ще виждаш често, особено в учебниците по физика, това е че интегрираме в това дефиниционно множество, нали? Понеже тук равнината ху е дефиниционното множество. Значи пишем двоен интеграл, двумерен интеграл, тъй като дефиниционното множество е двумерно, интеграл от f от х и от у, по dА. Причината да ти показвам този начин е защото постоянно ще срещаш това в учебниците по физика. Не смятам, че е много добра идея, понеже това е съкратен начин, и въпреки че изглежда по-лесен, но винаги когато видя този начин на записване, не знам как да го изчисля, или не ми показва очевидно как да изчисля интеграла, всъщност е по-скоро объркващо. Затова исках просто да ти го покажа, защото ще го срещаш в учебниците по физика, където се използва точно това или това. dА може да е или dx по dy, или dy по dx, а когато смятаме този двоен интеграл в дефиниционното множество, това е същото като да събираме тези малки квадратчета. Когато го правим тук, това е много подредено, нали? Правим го по посока х, а после събираме всички тези по посока у и получаваме целия обем. Или можем да го направим по обратния начин. Когато казваме, че намираме двоен интеграл, първо, това ни казва, че интегрираме в две посоки в дефиниционното множество, което оставя малко двусмислие по отношение как точно ще сумираме тези малки площи da. Това се използва умишлено в учебниците по физика, защото не е задължително да се ползват ортогонални координати, да се използва х и у. Може да се използват полярни координати, може да се направи по хиляди начини. Но аз исках само да ти покажа този различен начин, за да имаш представа как се използва за изчисляване на обем под повърхнина. Тези неща са съвсем еднакви, тъй като този начин за записване ще срещаш в учебниците по физика. Понякога дефиниционното множество не е дадено, понякога е дадена повърхнината. По-късно ще решаваме такива интеграли. Тук повърхнината има лесно уравнение, това е плоска равнина, но понякога тя може да е крива, например нещо подобно. Но времето ни почти свършва. Ще се видим в следващото видео.