Двойни интеграли - 5

Всички двойни интеграли, които разглеждахме досега, границите на х и на у бяха фиксирани. Сега ще разгледаме какво се случва, когато границите на х и на у са променливи. Да кажем, че имаме някаква повърхнина, която няма да чертая както изглежда, а ще я нарисувам само примерно. В задачата, която ще разгледаме, имаме z, което е същото като в предишните примери. Целта сега не е да ти покажа как се интегрира, а да ти покажа как да визуализираш и как да разсъждаваш по тези задачи. Честно казано, в задачите с двойни интеграли най-трудната част е определянето на границите. След като определиш границите, интегрирането след това е много лесно. То изобщо не е така трудно, както при задачите с единични интеграли. Нека повърхнината z да е х по у на квадрат. Ще начертая координатните оси. Това е оста х. Това е оста z. Това е оста у. х, у и z. Спомняш си тази графика от преди няколко видеа. Тогава използвах тримерна програма и можахме да я огледаме отвсякъде. Но сега няма да чертая графиката така, както изглежда действително. Ще я скицирам съвсем общо, като една съвсем абстрактна повърхнина. Понеже целта ни е просто да разгледаме какви са границите на интегриране. Преди да начертая повърхнината, ще начертая границите. Първият път, когато решавахме тази задача, казахме, че х е от 0 до 2, а у е от 0 до 1, а след това намерихме обема над това ограничено дефиниционно множество. Сега ще направим нещо различно. Да кажем, че х е от 0 до 1. Да кажем, че обемът, който искаме да намерим, под тази повърхнина не зависи от някаква конкретна долна граница на у и някаква конкретна горна граница на у. Ще ти покажа – това по същесто е една крива. Всичко се случва в равнината ху, всичко, което чертая тук. Тази крива можем да разглеждаме по два начина – можем да кажем, че у е функция от х – у равно на х на квадрат. Или можем да кажем, че х е равно на корен квадратен от у. Не е нужно да пишем плюс/минус или нещо подобно, защото се намираме в първи квадрант. Значи това е площта, над която искаме да определим обема. Не пречи да оцветя малко, за да подчертая кое ни интересува. Значи това е площта, над която искаме да определим обема. Можем да кажем, че това е нашето ограничено дефиниционно множество. х е в интервала от 0 до 1, а тази точка тогава каква ще бъде? Това ще бъде точката (1; 1), нали? 1 е равно на 1 на квадрат, 1 е равно на корен квадратен от 1. Значи това е точката у = 1. Сега няма да чертая повърхнината прецизно. Просто искам да добиеш представа за обема на тялото, който търсим. Ако това е някаква произволна повърхнина – ще използвам различен цвят – значи това е горната страна. Тази права е вертикална по отношение на посоката z. Всъщност, мога да я начертая по различен начин – като крива. След това тази крива тук ще изглежда като стена. Може би ще оцветя тази страна на стената, просто за да можем да видим как изглежда. Старая се максимално. Мисля, че придобиваш представа. Ще го направя малко по-тъмно, това е по-скоро упражнение по рисуване, а не по математика. Схващаш идеята. След това границата е ето така. Горната страна не е плоска, досещаш се, тя може да е някаква извита повърхнина. Ще я направя малко ето така, но това е извита повърхнина. Знаем, че в примера, който разглеждаме, повърхнината тук е z равно на х на квадрат. Търсим обема под тази повърхнина. Как ще го намерим? Да помислим върху това. Можем да използваме логиката, която току-що ти показах. Ще вземем просто dА, което е малко квадратче тук долу, и тази малка площ е равна на dx – ще използвам по-тъмен цвят – това е dx по dy, което после просто умножаваме по f от х и от у, което е ето това, за всяка площ, а после ще ги сумираме. След това можем да ги сумираме първо по посока х, или първо по посока у. Сега, преди да направим това, нека само да се уверим, че си го представяме логически, защото границите са най-трудното нещо. Ще начертая равнината ху. Ще я завъртя малко ето така. Просто чертая равнината ху, защото тя е важна в случая. Понеже трудната част тук е да се определят границите на интегриране. Значи кривата е просто у равно на х на квадрат – нещо подобно на това. Това е точката у равно на 1. Това е оста у, това е оста х, това е точката х равно на 1. Това не е х, това е 1. Това е оста х. Искаме да установим как ще сумираме тези dx по dy, или тези dA в това дефиниционо множество. Ще го начертая. Ще покажа на чертежа и изобщо не пречи да го направиш, когато имаш такава задача, защото това, честно казано, е най-трудната част. Много преподаватели по математически анализ ще искат само да съставиш интеграл, като смятат, че останалото е лесно. Останалото е от първата част на математическия анализ. Значи тази площ ето тук е равна на тази площ тук. Основата е dx, а височината е dy. След това си представи, че гледаме към това нещо от отгоре. Значи повърхнината е някъде тук горе, и ние гледаме направо надолу, така че това е просто една площ. Да кажем, че интегрираме първо по отношение на х. Искаме да сумираме, така че ако търсим обема над тази колона, първо – тази площ е dx по dy, нали? Ще запиша обема тук отгоре над тази колона. Това е стойността на функцията, височината в тази точка, която е х по у на квадрат, dx, dy. Този израз ни дава обема над тази площ, или на тази колона ето тук. Да кажем, че искаме да сумираме първо в посока х. Искаме да добавим това dx, добавяме това, добавяме това, и така нататък, и така нататък. Значи сумираме в посока х. Въпросът ми към теб е: коя е долната граница на интегриране? Тук все едно у е константа, нали? Следователно, когато отиваме наляво, ако х става все по-малко и по-малко, ние един вид се блъскаме в тази крива ето тук. Значи долната граница на интегриране всъщност е тази крива. А какво представлява тази крива, ако представим х като функция от у? Тази крива е у равно на х на квадрат, или х равно на корен квадратен от у. Значи ако интегрираме относно х за фиксирана стойност на у – интегрираме в хоризонтална посока първо – тогава долната граница за х е равна на корен квадратен от у. Това е интересно. Мисля, че това е първият път, когато виждаш интеграл, чиято граница е променлива. Но това е логично, защото този ред, който събираме ето тук, неговата горна граница е лесна. Горната граница е х = 1. Горната граница е х = 1, но долната граница е х равно на корен квадратен от у. Защото, когато се връщаш назад, един вид се блъскаш в кривата. А каква е тази крива? Кривата е х равно на корен квадратен от у, понеже не знаем кое у сме избрали. Добре. След като намерихме обема – това ни дава обема над този правоъгълник ето тук – а след това ще съберем тези dy. Спомни си, че тук имаме обем над това, което чертая тук. Аз чертая само тази част в равнината ху. Така че това, което написахме, този израз, който написах току-що, ни дава обема над този правоъгълник. За да намерим целия обем на тялото, интегрираме по оста у. Или събираме всички dy. Това тук беше dy, а не dx. Моите dx и dy изглеждат много еднакво. А сега коя е долната граница по оста у, ако сумирам всички тези правоъгълници? Долната граница е у = 0. Значи ще интегрираме от у = 0 до... каква е горната граница? Интегрираме до у = 1. Получихме го. Ще запиша интеграла. Двоен интеграл от х равно на корен квадратен от у, до х равно на 1, интеграл от х по у на квадрат, dx, dy. След това имаме границите на у – у е от 0 до 1. Току-що осъзнах, че ми свършва времето. В следващото видео ще изчислим този интеграл, и тогава ще го направим в друг ред. До скоро!