If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

Двойни интеграли - 6

Пресмятаме двоен интеграл, като едната граница е функцията y=x^2. Създадено от Сал Кан.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.

Видео транскрипция

Привет! В последното видео ние определяхме обема под тази повърхнина и намерихме тези граници на интеграла. Да видим как можем да го сметнем. Погледни това. Току-що осъзнах, че мога да се премествам по дъската, което е много полезно, защото така имам много повече място за работа. Как можем да изчислим този интеграл? Първият интеграл е относно х. Събираме някакви малки х. Получава се този правоъгълник ето тук. Можеш да си представиш, че все едно запазвам у константа и интегрирам по оста х. Ще сменя цветовете. Коя е примитивната функция на х по у на квадрат относно х? Това е просто х на квадрат върху 2. После имаме у на квадрат – това е константа – цялото върху 2. Ще изчисля това от х равно на 1 до х равно на корен квадратен от у, което може би те затруднява. Но ще видиш, че всъщност не е толкова трудно, след като го сметнем. След това ще напиша външния интеграл. Той е с граници у равно на 0 до у равно на 1, dy. Ако х е равно на 1, тогава този израз става у на квадрат върху 2. у на квадрат върху 2, минус – ако х е равно на корен квадратен от у, какво получаваме тук? Ако х е равно на корен квадратен от у, тогава х на квадрат е просто у. Тогава у по у на квадрат дава у на трета степен. Нали? Значи това е у на трета степен, върху 3. Добре. Сега да интегрираме относно у. Ще съберем лицата на всички тези правоъгълници в посока у. 0, 1. Това е по отношение на у. Това е супер, нали? Защото, когато интегрирахме първия път относно х, получихме функция от у, така че сега можем да имаме границите като функции от у. Това не прави задачата по-трудна. Да се върнем към задачата. Коя е примитивната функция на у на квадрат, върху 2, минус у на трета степен, върху 3? Примитивната функция на у на квадрат... трябва да разделим на 3, така че е у на трета, върху 6. Минус у на четвърта степен... трябва да разделим на 4. Минус у на четвърта степен, върху... да не ги разместих? Не, мисля, че всичко е правилно. у на четвърта степен, върху 12. О, чакай. Как получих това 3 тук? Ето тук обърках. Това е 2, нали? Да видим. х е квадратен корен от у. Да, това е 2. Не знам откъде се взе. Корен от у на квадрат е у, по у на квадрат е у на трета степен, върху 2. Добре. После, като интегрирам това, получавам 4 по 2. Това дава 8. Искам да съм сигурен, че не допускам грешки от невнимание. Това е трудната част. Просто искам да съм сигурен, че и ти получаваш това. Мразя, когато бъркам. Но не искам да записвам отначало цялото видео. Когато смятах това... Това е вярно, а после намираме примитивната функция на у на трета степен, върху 2, и получаваме у на четвърта степен, върху 8. Сега да го изчислим за 1 и за 0. Какво ни дава това? 1/6 минус 1/8 минус... и двете, когато ги изчислим, ще дадат нули. Тук имаме друго 0 минус 0. Значи не трябва да се тревожим за това. Колко е 1/6 минус 1/8? Да видим. 24. Това е 4 минус 3, върху 24, което дава 1/24 – това е обемът на тялото. Този път, начинът, по който го изчислихме, беше, че първо интегрирахме относно х, а после интегрирахме относно у. Да го направим по обратния начин. Ще изтрия някои неща. Надявам се, че повече няма да допускам грешки. Ще запазя чертежа, но ще изтрия даже и това. Ще изтрия всичко това. Сега имаме място за работа. Ще запазя чертежа. Но ще начертая отново равнината ху, за да може да имаме подходящата визуализация. В тези задачи е по-важно да визуализираме равнината ху, отолкото да визуализираме целия чертеж в 3 измерения. Това е оста у, това е оста х. Горната граница, можеш да кажеш, че е графиката на у равно на х на квадрат. Можеш също да я разглеждаш като границата на х равно на корен квадратен от у. Това е х равно на 1, това е у равно на 1. Интересува ни обемът над тази оцветена област – тази оцветена област е тази област тук в жълто. Ще начертая нашето dA. Ще направя едно малко квадратче. Ще го направя в цикламено. Това е нашата малка площ dA. Височината е dy. Това е у. dy. Широчината е dx. Обемът над този малък квадрат – това е същото нещо като това малко квадратче. Както казах преди, обемът над него е равен на стойността на функцията... Височината е стойността на функцията, която е х по у на квадрат. Умножаваме я по площта на основата. Площта на основата можем да кажем, че е dA, но по същество тя е dx по dy. Не трябваше да пиша знак за умножение. Можеш да го игнорираш. Написах първо у, защото сега ще интегрираме първо относно у. После ще сумираме в посока у. Какво означава да сумираме по посока у? Това означава, че ще съберем площта на този квадрат и този квадрат, и този квадрат... Извинявам се. Събираме всички dy, нали? Въпросът ми към теб е – каква е горната граница на у? Отново се сблъскваме с кривата. Значи кривата е горната граница, когато отиваме нагоре. Каква е горната граница на кривата? Ако стойността на х е константа, за всяко дадено х каква е тази точка? Това е х на квадрат. Защото това е графиката на у равно на х на квадрат. Значи горната граница на у е равна на х на квадрат. Каква е долната ни граница? Можем да продължим да събираме тези квадратчета тук долу. Събираме тези малки промени на у. Каква е долната граница? Долната граница е просто 0. Това беше много лесно. Значи този израз, както е написан сега, представлява обема над този правоъгълник. Ще го начертая. Това е обемът над този правоъгълник. Тези правоъгълници са едни и същи. Обемът над този правоъгълник. Това, което ще направим сега, е да съберем всички dx. Ще получим обема над цялата повърхнина. Значи към този правоъгълник сега ще добавя още едно dx едно, dx едно, ето така. Какви са горната и долната граница на х? Тръгваме от х = 0, нали? Не се сблъскваме с графиката, когато слизаме надолу. Значи тръгваме от х = 0. А горната граница е х = 1. Значи от х = 0 до х = 1. В общия случай, един начин да разглеждаме това е когато събираме последната сума или когато съставяме последния интеграл, тогава не е нужно да имаме променливи граници в тази точка. Понеже окончателният ни отговор беше число, можем да предположим, че не работим с нещо много абстрактно. Но крайният ни отговор ще бъде число. Ако тук имаме някакви променливи, тогава значи нещо се е объркало. Винаги е полезно, според мен, да начертаем това малко dA, а след това да намерим – но първо да сумираме това. Когато отиваме нагоре, се удряме в тази крива. Каква е горната граница, когато х е константа? Тя е х на квадрат, у равно на х на квадрат. Ако слизаме надолу, се сблъскваме с оста х, или у е равно на 0. И така нататък, и така нататък. Сега просто да сметнем това и да потвърдим, че получаваме същия отговор. Интегрираме първо относно у. Това е х по у на трета степен, върху 3. За х на квадрат и 0. След това външният интеграл – х е от 0 до 1. dx. Ако заместим у с х на квадрат – х на квадрат, на трета степен дава х на шеста степен. х на шеста степен по х – ще го запиша. Имаме х по х на квадрат, на трета степен, върху 3. Това е равно на х на седма степен. х на квадрат на трета степен – умножаваме степенните показатели, после добавяме това 1, това дава х на седма степен, върху 3, минус това, изчислено за у = 0. Но това е равно просто на нула. После пресмятаме това от 0 до 1, dx. Почти привършваме. Увеличаваме степенния показател. Получаваме х на осма степен, върху 8. Вече имаме 3 в знаменателя, така че става върху 24. Изчисляваме го за 0 и за 1. Мисля, че ще получим същия отговор. Когато го изчислим за 1, получаваме 1/24 минус 0. Отново, когато интегрираме в обратен ред, пак получаваме, че обемът на тялото е 1/24, някакви кубични единици. Ще се видим в следващото видео.