Ако виждаш това съобщение, значи уебсайтът ни има проблем със зареждането на външни ресурси.

If you're behind a web filter, please make sure that the domains *.kastatic.org and *.kasandbox.org are unblocked.

Основно съдържание

Единичен нормален вектор на повърхнина

Научи как може да се определи векторът, който е перпендикулярен, или както още казваме – нормален – към дадена повърхнина. Нужно е да можеш да изчисляваш поток в три измерения.

Преговор

Основни идеи

  • Ако една повърхнина е параметризирана с функцията v(t;s), единичният нормален вектор към тази повърхнина е следният:
    ±(vt(t;s))×(vs(t;s))|(vt(t;s))×(vs(t;s))|
  • Винаги съществуват две възможности за избор на функцията на единичния вектор. Ако дадената повърхнина е затворена, например нещо като тор или сфера, тогава тези варианти могат да се опишат като вектори, сочещи навън и навътре.
  • Това е удобно за идеята за поток в три измерения, който ще разгледаме в следващата статия.

Единичен нормален вектор

Нека е дадена някаква повърхнина S. Ако вектор в някаква точка от повърхнината S е перпендикулярен на S в тази точка, то той се нарича нормален вектор (към S в тази точка). Казано още по-точно, този вектор е перпендикулярен на допирателната равнина на S в тази точка, или е перпендикулярен на всички допирателни вектори на равнината S в тази точка.
Когато един нормален вектор е с дължина 1, той се нарича единичен нормален вектор. Обърни внимание, че винаги съществува двойка единични нормални вектори, които имат точно противоположни посоки:
Защо е важно това за нас? За да изчисляваме повърхностни интеграли във векторно поле, известно още като тримерен поток, трябва да намерим израза за единичния нормален вектор към дадената повърхнина. Това е векторна функция на много променливи, която има тримерни аргументи (както съответната повърхнина), и чиито стойности са тримерни вектори.

Пример: Как изчисляваме единичния нормален вектор

Дадена е повърхнина, описана от следната параметрична функция:
v(t;s)=[t+1ss2t2+1]
В интервала, в който 2t2 и 2s2, тази повърхнина изглежда по следния начин:
Предполагаме, че знаеш, че двете частни производни на една параметрична повърхнина дават вектори, които са допирателни към повърхнината, но имат различни посоки.

Стъпка 1: Намиране на нормалния вектор (не е задължително да е единичен)

Проверка на концепцията: Кое от следните предложения ни дава вектор, който е перпендикулярен на повърхнината, параметризирана от v в точката v(1;2)?
Избери един отговор:

Това е един много сложен израз, който съдържа двете векторни частни производни и векторно произведение. Ако вече си изчислявал/а повърхностни интеграли, вероятно ти е познат този израз и колко трудно е неговото пресмятане.
Да повторим как се дефинира вектор v(t;s):
v(t;s)=[t+1ss2t2+1]
Проверка на концепцията: Сега да изчислим векторното произведение на частните производни на v. Ще направим това за една произволна точка (t;s), което означава, че компонентите на получения отговор ще бъдат функции от t и от s. Както описахме в предишната задача, това ще ни даде функция, описваща нормалните вектори към повърхнината.
(vt(t;s))×(vs(t;s))=
i^+
j^+
k^

Например, ако заместим (t;s)=(1;2), ще получим следното:
[2(1)2(2)1]=[241]
Това е вектор, който е перпендикулярен на повърхнината в точката v(1;2). Обаче това не е единичен вектор, както се вижда, когато изчислим дължината му:
22+42+12=4+16+1=21

Стъпка 2: Да го превърнем в единичен нормален вектор

Получаваме следния израз [2t2s1], който ни дава нормалния вектор във всяка точка v(t;s). Следващата стъпка се състои в преработката на този израз, за да получим единичния нормален вектор.
Проверка на концепцията: Кой е единичният нормален вектор към нашата повърхнина в точката v(1;2)?
i^+
j^+
k^

Проверка на концепцията: В общия случай кой е единичният нормален вектор към нашата повърхнина в произволна точка v(t;s) като функция от t и s?
i^+
j^+
k^

И ето така получихме единичен нормален вектор.
Заместваме произволна точка (t0;s0) в този израз и получаваме вектор, който има дължина 1 и е нормален към повърхнината, параметризирана с функцията v в точката v(t0;s0).

Определяне на ориентацията

Обърни внимание, че ако умножим функцията за единичния нормален вектор по 1, отново получаваме единичен нормален вектор. Просто полученият вектор ще сочи в противоположната посока. Изборът на посока на единичните нормални вектори към дадена повърхнина се нарича ориентация на повърхнината.
Ще разбереш важността на това в следващата статия за тримерния поток. Накратко, определянето на ориентацията на дадена повърхнина е аналогично на това да определим посоката на едномерна крива.
Когато повърхнината е затворена, както например при сфера или тор, двата варианта за единични нормални вектори често се наричат обърнат навън и обърнат навътре единичен нормален вектор.

Обобщение

  • Когато е дадена повърхнина, параметризирана с функцията v(t;s), за да се намери изразът за единичния нормален вектор към повърхнината, трябва да се следват тези стъпки:
  • Стъпка 1: Определяне на нормалния (не е задължително да е единичен) вектор чрез намирането на векторното произведение на двете частни производни на функцията v(t;s):
    (vt(t;s))×(vs(t;s))
  • Стъпка 2: Преобразуването на вектора в единичен нормален вектор чрез разделяне на неговата собствена дължина:
(vt(t;s))×(vs(t;s))|(vt(t;s))×(vs(t;s))|
  • Можеш също така да умножиш израза по 1, при което отново се получава единичен нормален вектор.
  • Причината да научим как се прави това е за да можем да изчислим тримерен поток.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.