Основно съдържание
Анализ на функции на много променливи
Курс: Анализ на функции на много променливи > Раздел 4
Урок 14: Поток в три измерения (статии)Единичен нормален вектор на повърхнина
Научи как може да се определи векторът, който е перпендикулярен, или както още казваме – нормален – към дадена повърхнина. Нужно е да можеш да изчисляваш поток в три измерения.
Преговор
- Частни производни на параметрични повърхнини
- Увери се, че много добре познаваш частните производни на функция, която параметризира повърхнина и какво представлява тя.
- Векторно произведение (видео)
Основни идеи
- Ако една повърхнина е параметризирана с функцията
, единичният нормален вектор към тази повърхнина е следният: - Винаги съществуват две възможности за избор на функцията на единичния вектор. Ако дадената повърхнина е затворена, например нещо като тор или сфера, тогава тези варианти могат да се опишат като вектори, сочещи навън и навътре.
- Това е удобно за идеята за поток в три измерения, който ще разгледаме в следващата статия.
Единичен нормален вектор
Нека е дадена някаква повърхнина . Ако вектор в някаква точка от повърхнината е перпендикулярен на в тази точка, то той се нарича нормален вектор (към в тази точка). Казано още по-точно, този вектор е перпендикулярен на допирателната равнина на в тази точка, или е перпендикулярен на всички допирателни вектори на равнината в тази точка.
Когато един нормален вектор е с дължина , той се нарича единичен нормален вектор. Обърни внимание, че винаги съществува двойка единични нормални вектори, които имат точно противоположни посоки:
Защо е важно това за нас? За да изчисляваме повърхностни интеграли във векторно поле, известно още като тримерен поток, трябва да намерим израза за единичния нормален вектор към дадената повърхнина. Това е векторна функция на много променливи, която има тримерни аргументи (както съответната повърхнина), и чиито стойности са тримерни вектори.
Пример: Как изчисляваме единичния нормален вектор
Дадена е повърхнина, описана от следната параметрична функция:
В интервала, в който и , тази повърхнина изглежда по следния начин:
Предполагаме, че знаеш, че двете частни производни на една параметрична повърхнина дават вектори, които са допирателни към повърхнината, но имат различни посоки.
Стъпка 1: Намиране на нормалния вектор (не е задължително да е единичен)
Проверка на концепцията: Кое от следните предложения ни дава вектор, който е перпендикулярен на повърхнината, параметризирана от в точката ?
Това е един много сложен израз, който съдържа двете векторни частни производни и векторно произведение. Ако вече си изчислявал/а повърхностни интеграли, вероятно ти е познат този израз и колко трудно е неговото пресмятане.
Да повторим как се дефинира вектор :
Проверка на концепцията: Сега да изчислим векторното произведение на частните производни на . Ще направим това за една произволна точка , което означава, че компонентите на получения отговор ще бъдат функции от и от . Както описахме в предишната задача, това ще ни даде функция, описваща нормалните вектори към повърхнината.
Например, ако заместим , ще получим следното:
Това е вектор, който е перпендикулярен на повърхнината в точката . Обаче това не е единичен вектор, както се вижда, когато изчислим дължината му:
Стъпка 2: Да го превърнем в единичен нормален вектор
Получаваме следния израз , който ни дава нормалния вектор във всяка точка . Следващата стъпка се състои в преработката на този израз, за да получим единичния нормален вектор.
Проверка на концепцията: Кой е единичният нормален вектор към нашата повърхнина в точката ?
Проверка на концепцията: В общия случай кой е единичният нормален вектор към нашата повърхнина в произволна точка като функция от и ?
И ето така получихме единичен нормален вектор.
Заместваме произволна точка в този израз и получаваме вектор, който има дължина и е нормален към повърхнината, параметризирана с функцията в точката .
Определяне на ориентацията
Обърни внимание, че ако умножим функцията за единичния нормален вектор по , отново получаваме единичен нормален вектор. Просто полученият вектор ще сочи в противоположната посока. Изборът на посока на единичните нормални вектори към дадена повърхнина се нарича ориентация на повърхнината.
Ще разбереш важността на това в следващата статия за тримерния поток. Накратко, определянето на ориентацията на дадена повърхнина е аналогично на това да определим посоката на едномерна крива.
Когато повърхнината е затворена, както например при сфера или тор, двата варианта за единични нормални вектори често се наричат обърнат навън и обърнат навътре единичен нормален вектор.
Обобщение
- Когато е дадена повърхнина, параметризирана с функцията
, за да се намери изразът за единичния нормален вектор към повърхнината, трябва да се следват тези стъпки: - Стъпка 1: Определяне на нормалния (не е задължително да е единичен) вектор чрез намирането на векторното произведение на двете частни производни на функцията
: - Стъпка 2: Преобразуването на вектора в единичен нормален вектор чрез разделяне на неговата собствена дължина:
- Можеш също така да умножиш израза по
, при което отново се получава единичен нормален вектор. - Причината да научим как се прави това е за да можем да изчислим тримерен поток.
Искаш ли да се присъединиш към разговора?
Все още няма публикации.