Основно съдържание

Анализ на функции на много променливи

Курс: Анализ на функции на много променливи > Раздел 4

Урок 14: Поток в три измерения (статии)

Единичен нормален вектор на повърхнина

Научи как може да се определи векторът, който е перпендикулярен, или както още казваме – нормален – към дадена повърхнина. Нужно е да можеш да изчисляваш поток в три измерения.

Преговор

Частни производни на параметрични повърхнини
- Увери се, че много добре познаваш частните производни на функция, която параметризира повърхнина и какво представлява тя.
Векторно произведение (видео)

Основни идеи

Ако една повърхнина е параметризирана с функцията start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, ;, s, right parenthesis, единичният нормален вектор към тази повърхнина е следният:
$\begin{aligned} \pm \dfrac{ \left( \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial \blueE{t}}(t; s) \right) \times \left( \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial \redE{s}}(t; s) \right) }{ \left| \left( \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial \blueE{t}}(t; s) \right) \times \left( \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial \redE{s}}(t; s) \right) \right| } \end{aligned}$
Винаги съществуват две възможности за избор на функцията на единичния вектор. Ако дадената повърхнина е затворена, например нещо като тор или сфера, тогава тези варианти могат да се опишат като вектори, сочещи навън и навътре.
Това е удобно за идеята за поток в три измерения, който ще разгледаме в следващата статия.

Единичен нормален вектор

Нека е дадена някаква повърхнина S. Ако вектор в някаква точка от повърхнината S е перпендикулярен на S в тази точка, то той се нарича нормален вектор (към S в тази точка). Казано още по-точно, този вектор е перпендикулярен на допирателната равнина на S в тази точка, или е перпендикулярен на всички допирателни вектори на равнината S в тази точка.

Когато един нормален вектор е с дължина 1, той се нарича единичен нормален вектор. Обърни внимание, че винаги съществува двойка единични нормални вектори, които имат точно противоположни посоки:

Защо е важно това за нас? За да изчисляваме повърхностни интеграли във векторно поле, известно още като тримерен поток, трябва да намерим израза за единичния нормален вектор към дадената повърхнина. Това е векторна функция на много променливи, която има тримерни аргументи (както съответната повърхнина), и чиито стойности са тримерни вектори.

Пример: Как изчисляваме единичния нормален вектор

Дадена е повърхнина, описана от следната параметрична функция:

$\begin{aligned} \vec{\textbf{v}}(t; s) = \left[ \begin{array}{c} t + 1\\ s \\ s^2 - t^2 + 1 \end{array} \right] \end{aligned}$

В интервала, в който minus, 2, is less than or equal to, t, is less than or equal to, 2 и minus, 2, is less than or equal to, s, is less than or equal to, 2, тази повърхнина изглежда по следния начин:

Предполагаме, че знаеш, че двете частни производни на една параметрична повърхнина дават вектори, които са допирателни към повърхнината, но имат различни посоки.

Стъпка 1: Намиране на нормалния вектор (не е задължително да е единичен)

Проверка на концепцията: Кое от следните предложения ни дава вектор, който е перпендикулярен на повърхнината, параметризирана от start bold text, v, end bold text, with, vector, on top в точката start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, 1, ;, minus, 2, right parenthesis?

Избери един отговор:
(Избор А)
$\begin{aligned} \quad \left( \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial \blueE{t}}(1; -2) \right) \times \left( \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial \redE{s}}(1; -2) \right) \end{aligned}$
(Избор Б)
$\begin{aligned} \quad \left( \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial \blueE{t}}(1; -2) \right) \cdot \left( \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial \redE{s}}(1; -2) \right) \end{aligned}$
(Избор В)
$\begin{aligned} \quad \left( \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial \blueE{t}}(1; -2) \right) + \left( \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial \redE{s}}(1; -2) \right) \end{aligned}$

[Отговор]

Това е един много сложен израз, който съдържа двете векторни частни производни и векторно произведение. Ако вече си изчислявал/а повърхностни интеграли, вероятно ти е познат този израз и колко трудно е неговото пресмятане.

Да повторим как се дефинира вектор start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, ;, s, right parenthesis:

$\begin{aligned} \vec{\textbf{v}}(t; s) = \left[ \begin{array}{c} t + 1\\ s \\ s^2 - t^2 + 1 \end{array} \right] \end{aligned}$

Проверка на концепцията: Сега да изчислим векторното произведение на частните производни на start bold text, v, end bold text, with, vector, on top. Ще направим това за една произволна точка left parenthesis, t, ;, s, right parenthesis, което означава, че компонентите на получения отговор ще бъдат функции от t и от s. Както описахме в предишната задача, това ще ни даде функция, описваща нормалните вектори към повърхнината.

$\begin{aligned} \left( \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial \blueE{t}}(t; s) \right) \times \left( \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial \redE{s}}(t; s) \right) = \end{aligned}$
start bold text, i, end bold text, with, hat, on top, plus
start bold text, j, end bold text, with, hat, on top, plus
start bold text, k, end bold text, with, hat, on top

[Отговор]

Например, ако заместим left parenthesis, t, ;, s, right parenthesis, equals, left parenthesis, 1, ;, minus, 2, right parenthesis, ще получим следното:

$\begin{aligned} \left[ \begin{array}{c} 2(1) \\ -2(-2) \\ 1 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} 2 \\ 4 \\ 1 \end{array} \right] \end{aligned}$

Това е вектор, който е перпендикулярен на повърхнината в точката start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, 1, ;, minus, 2, right parenthesis. Обаче това не е единичен вектор, както се вижда, когато изчислим дължината му:

square root of, 2, squared, plus, 4, squared, plus, 1, squared, end square root, equals, square root of, 4, plus, 16, plus, 1, end square root, equals, square root of, 21, end square root

Стъпка 2: Да го превърнем в единичен нормален вектор

Получаваме следния израз

\begin{aligned} \left[ \begin{array}{c} 2t \\ -2s \\ 1 \end{array} \right] \end{aligned}

, който ни дава нормалния вектор във всяка точка start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, ;, s, right parenthesis. Следващата стъпка се състои в преработката на този израз, за да получим единичния нормален вектор.

Проверка на концепцията: Кой е единичният нормален вектор към нашата повърхнина в точката start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, 1, ;, minus, 2, right parenthesis?

start bold text, i, end bold text, with, hat, on top, plus
start bold text, j, end bold text, with, hat, on top, plus
start bold text, k, end bold text, with, hat, on top

[Отговор]

Проверка на концепцията: В общия случай кой е единичният нормален вектор към нашата повърхнина в произволна точка start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, ;, s, right parenthesis като функция от t и s?

start bold text, i, end bold text, with, hat, on top, plus
start bold text, j, end bold text, with, hat, on top, plus
start bold text, k, end bold text, with, hat, on top

[Отговор]

И ето така получихме единичен нормален вектор.

Заместваме произволна точка left parenthesis, t, start subscript, 0, end subscript, ;, s, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis в този израз и получаваме вектор, който има дължина 1 и е нормален към повърхнината, параметризирана с функцията start bold text, v, end bold text, with, vector, on top в точката start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, start subscript, 0, end subscript, ;, s, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis.

Определяне на ориентацията

Обърни внимание, че ако умножим функцията за единичния нормален вектор по minus, 1, отново получаваме единичен нормален вектор. Просто полученият вектор ще сочи в противоположната посока. Изборът на посока на единичните нормални вектори към дадена повърхнина се нарича ориентация на повърхнината.

Ще разбереш важността на това в следващата статия за тримерния поток. Накратко, определянето на ориентацията на дадена повърхнина е аналогично на това да определим посоката на едномерна крива.

Когато повърхнината е затворена, както например при сфера или тор, двата варианта за единични нормални вектори често се наричат обърнат навън и обърнат навътре единичен нормален вектор.

Обобщение

Когато е дадена повърхнина, параметризирана с функцията start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, ;, s, right parenthesis, за да се намери изразът за единичния нормален вектор към повърхнината, трябва да се следват тези стъпки:
Стъпка 1: Определяне на нормалния (не е задължително да е единичен) вектор чрез намирането на векторното произведение на двете частни производни на функцията start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, ;, s, right parenthesis:
$\begin{aligned} \left( \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial \blueE{t}}(t; s) \right) \times \left( \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial \redE{s}}(t; s) \right) \end{aligned}$
Стъпка 2: Преобразуването на вектора в единичен нормален вектор чрез разделяне на неговата собствена дължина:

$\begin{aligned} \dfrac{ \left( \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial \blueE{t}}(t; s) \right) \times \left( \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial \redE{s}}(t; s) \right) }{ \left| \left( \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial \blueE{t}}(t; s) \right) \times \left( \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial \redE{s}}(t; s) \right) \right| } \end{aligned}$

Можеш също така да умножиш израза по minus, 1, при което отново се получава единичен нормален вектор.
Причината да научим как се прави това е за да можем да изчислим тримерен поток.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила

Сортирай по:

Все още няма публикации.

Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.