Основно съдържание

Анализ на функции на много променливи

Курс: Анализ на функции на много променливи > Раздел 4

Урок 2: Криволинейни интеграли на скаларни функции (уроци)

Определяне дължина на дъга при графично дефинирана функция, въведение

Класна стая на Google

Дължината на част от крива, наричана също и "дъга", се намира чрез пресмятане на определен интеграл.

Преговор

Обикновен интеграл

Какво е дължина на дъга?

Видео плейър на видеоклиповете в Кан Академия

Виж видео транскрипцията

С линийка можем да измерим дължината само на отсечка, но и кривите имат дължина. Например обиколката на окръжност с радиус r е 2, pi, r. В общия случай частта от дадена крива, чиято дължина търсим, наричаме дъга. Как можем да пресметнем дължината на тази дъга?

Основни идеи

Можеш да намериш дължината на част от дадена крива с помощта на следния интеграл:
integral, square root of, left parenthesis, d, x, right parenthesis, squared, plus, left parenthesis, d, y, right parenthesis, squared, end square root
Границите на интеграла зависят от началната и крайната точка на дъгата.
Ако кривата е графиката на функцията y, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis, можем да заместим d, y с f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, d, x, и да изнесем d, x извън радикала.

Подготовка: Апроксимация на кривата

Нека разгледаме параболата, дадена от следното уравнение:

y, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, squared

Търсим дължината на кривата в интервала между x, equals, minus, 2 и x, equals, 2.

Ключов въпрос: На колко е равна дължината на тази крива?

За да си представим по-добре ситуацията, можем да си представим, че дъгата всъщност е конец. Ако изпънем този конец, можем да измерим дължината му с линийка.

Видео плейър на видеоклиповете в Кан Академия

Виж видео транскрипцията

Ако търсим приблизително каква е дължината на дъгата, можем да разделим графиката на отсечки и да измерим техните дължини поотделно:

Отсечка от left parenthesis, minus, 2, ;, 4, right parenthesis до left parenthesis, minus, 1, ;, 1, right parenthesis
Отсечка от left parenthesis, minus, 1, ;, 1, right parenthesis до left parenthesis, 0, ;, 0, right parenthesis
Отсечка от left parenthesis, 0, ;, 0, right parenthesis до left parenthesis, 1, ;, 1, right parenthesis
Отсечка от left parenthesis, 1, ;, 1, right parenthesis до left parenthesis, 2, ;, 4, right parenthesis

Може да отнеме малко време, но знаем как да пресметнем дължината на всяка една отсечка (използвайки питагоровата теорема), и да намерим тяхната сума.

Упражнение: Каква е дължината на отсечката от точка left parenthesis, minus, 2, ;, 4, right parenthesis до точка left parenthesis, minus, 1, ;, 1, right parenthesis?

Въведи отговора си точно, заедно с квадратния корен:

[Отговор]

На колкото повече отсечки разделим кривата, толкова по-точно ще пресметнем нейната дължина.

Разбира се, подобни сметки биха отнели ужасно много време на ръка, но всъщност повтаряме едно и също приложение на питагоровата теорема. Нека погледнем отблизо една от тези отсечки.

Промяната на x от началото до края на отсечката е delta, x. Промяната на стойността на y съответно е delta, y. От питагоровата теорема получаваме, че дължината на отсечката е

square root of, left parenthesis, delta, x, right parenthesis, squared, plus, left parenthesis, delta, y, right parenthesis, squared, end square root

Тогава дължината на кривата ще бъде приблизително равна на сумата от дължините на всички тези отсечки. Често в литературата тази сума се записва по следния начин:

sum, start subscript, start text, о, т, с, е, ч, к, и, end text, end subscript, square root of, left parenthesis, delta, x, right parenthesis, squared, plus, left parenthesis, delta, y, right parenthesis, squared, end square root

[Какво означава този начин на записване]

Ролята на интеграла

В момента се опитваме да намерим приближение на търсената стойност, като сумираме много малки дължини. Колкото повече членове има сумата, толкова по-точно е приближението. Да ти звучи познато?

Това е чисто и просто дефиницията на интеграл.

Дотук знаем, че интегралът на дадена функция изразява площта между кривата и абсцисата. Но всъщност интегралът е сума от лицата на много правоъгълници, всеки с широчина "d, x", представляваща малък интервал от стойности на x, и с височина f, left parenthesis, x, right parenthesis. Следователно лицето на един такъв правоъгълник е

start overbrace, f, left parenthesis, x, right parenthesis, end overbrace, start superscript, start text, в, и, с, о, ч, и, н, а, end text, end superscript, start underbrace, d, x, end underbrace, start subscript, start text, ш, и, р, о, ч, и, н, а, end text, end subscript

Тогава можем да изразим площта между кривата и абсцисата като интеграл:

integral, start subscript, a, end subscript, start superscript, b, end superscript, f, left parenthesis, x, right parenthesis, d, x

Този интеграл е обобщение на познатото ни понятие за сума. \Sigma. Интегралът не е просто сумата на f, left parenthesis, x, right parenthesis, d, x за много малка стойност на d, x; интегралът е всъщност границата на тази сума, когато d, x клони към 0. С други думи, когато приближението ни става все по-точно и по-точно.

Понятието интеграл може да се използва и в други контексти, не само когато търсим лица. Всеки път, когато разбиваме дадена стойност на малки части, и намираме приближение на всяка една от тях, можем да използваме езика на интегралното смятане, за да намерим търсената стойност.

Например в случая с нашия неточен израз за дължината на дъга от крива

sum, start subscript, start text, о, т, с, е, ч, к, и, end text, end subscript, square root of, left parenthesis, delta, x, right parenthesis, squared, plus, left parenthesis, delta, y, right parenthesis, squared, end square root

се превръща в интеграла

$\begin{aligned} \int \sqrt{(dx)^2 + (dy)^2} \end{aligned}$

Обърни внимание, че стойността на d, y всъщност зависи от d, x. В нашия случай, тъй като кривата е дадена от уравнението y, equals, x, squared, всъщност производната на това уравнение изразява тази зависимост между d, y и d, x,

$\begin{aligned} y &= x^2 \\ d(y) &= d(x^2) \\ dy &= 2x\,dx \end{aligned}$

[Не си сигурен/на дали тази производна е правилна?]

Когато заместим получената зависимост в горния интеграл, получаваме нещо доста по-познато.

$\begin{aligned} \int \sqrt{(dx)^2 + (dy)^2} &= \int \sqrt{(dx)^2 + (2x\,dx)^2} \\ &= \int \sqrt{(1 + (2x)^2)(dx)^2} \\ &= \int \sqrt{1 + 4x^2}dx \\ \end{aligned}$

Все още интегралът няма граници, но вече можем да ги поставим, след като функцията вътре в интеграла е изразена чрез x и d, x. Търсим дължината на дъгата в интервала от minus, 2 до 2, значи това са границите на интеграла.

$\begin{aligned} \int_{-2}^2 \sqrt{1 + 4x^2}dx \\ \end{aligned}$

Сега вече интегралът изглежда познато. Само че точно този интеграл е доста труден за пресмятане на ръка. За щастие живеем в 21-ви век и можем да намерим стойността му с помощта на компютър. Идеята на тази статия е да разберем процеса по съставянето на този интеграл, а не толкова неговото пресмятане.

Засега ще оставим задачата дотук и няма да пресмятаме интеграла (ще има достатъчно такива неща в следващата статия), а вместо това ще изтъкнем някои от основните идеи, които използвахме в този пример.

Обобщение

Запомни израза square root of, d, x, squared, plus, d, y, squared, end square root, дължината на малка част от дадената крива, изразена чрез x и y.
Дължината на дъга от дадена крива изглежда така:
integral, square root of, left parenthesis, d, x, right parenthesis, squared, plus, left parenthesis, d, y, right parenthesis, squared, end square root
Преди да можем да пресметнем тази дължина обаче, трябва да изразим d, y като функция на d, x. Затова намираме производната на уравнението на кривата.
По принцип даден интеграл може да бъде пресметнат само спрямо един диференциал, тоест винаги търсим връзката между различните диференциали.
Най-важната поука от тази статия е че интегралите могат да пресмятат не само площта под графиката на функция.

Упражнение

За да затвърдиш знанията си, в следващата статия можеш да намериш още задачи за намиране на дължина на дъга от крива.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила

Сортирай по:

Все още няма публикации.

Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.