Основно съдържание
Анализ на функции на много променливи
Курс: Анализ на функции на много променливи > Раздел 4
Урок 2: Криволинейни интеграли на скаларни функции (уроци)- Определяне дължина на дъга при графично дефинирана функция, въведение
- Примери за определяне дължина на дъга при графично дефинирана функция
- Определяне дължина на дъга при параметрично зададена крива
- Начини за записване при интегриране по крива
- Криволинеен интеграл в скаларно поле
© 2023 Khan AcademyУсловия за ползванеДекларация за поверителностПолитика за Бисквитки
Определяне дължина на дъга при графично дефинирана функция, въведение
Дължината на част от крива, наричана също и "дъга", се намира чрез пресмятане на определен интеграл.
Преговор
Какво е дължина на дъга?
С линийка можем да измерим дължината само на отсечка, но и кривите имат дължина. Например обиколката на окръжност с радиус r е 2, pi, r. В общия случай частта от дадена крива, чиято дължина търсим, наричаме дъга. Как можем да пресметнем дължината на тази дъга?
Основни идеи
- Можеш да намериш дължината на част от дадена крива с помощта на следния интеграл:Границите на интеграла зависят от началната и крайната точка на дъгата.
- Ако кривата е графиката на функцията y, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis, можем да заместим d, y с f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, d, x, и да изнесем d, x извън радикала.
Подготовка: Апроксимация на кривата
Нека разгледаме параболата, дадена от следното уравнение:
Търсим дължината на кривата в интервала между x, equals, minus, 2 и x, equals, 2.
Ключов въпрос: На колко е равна дължината на тази крива?
За да си представим по-добре ситуацията, можем да си представим, че дъгата всъщност е конец. Ако изпънем този конец, можем да измерим дължината му с линийка.
Ако търсим приблизително каква е дължината на дъгата, можем да разделим графиката на отсечки и да измерим техните дължини поотделно:
- Отсечка от left parenthesis, minus, 2, ;, 4, right parenthesis до left parenthesis, minus, 1, ;, 1, right parenthesis
- Отсечка от left parenthesis, minus, 1, ;, 1, right parenthesis до left parenthesis, 0, ;, 0, right parenthesis
- Отсечка от left parenthesis, 0, ;, 0, right parenthesis до left parenthesis, 1, ;, 1, right parenthesis
- Отсечка от left parenthesis, 1, ;, 1, right parenthesis до left parenthesis, 2, ;, 4, right parenthesis
Може да отнеме малко време, но знаем как да пресметнем дължината на всяка една отсечка (използвайки питагоровата теорема), и да намерим тяхната сума.
Упражнение: Каква е дължината на отсечката от точка left parenthesis, minus, 2, ;, 4, right parenthesis до точка left parenthesis, minus, 1, ;, 1, right parenthesis?
На колкото повече отсечки разделим кривата, толкова по-точно ще пресметнем нейната дължина.
Разбира се, подобни сметки биха отнели ужасно много време на ръка, но всъщност повтаряме едно и също приложение на питагоровата теорема. Нека погледнем отблизо една от тези отсечки.
Промяната на x от началото до края на отсечката е delta, x. Промяната на стойността на y съответно е delta, y. От питагоровата теорема получаваме, че дължината на отсечката е
Тогава дължината на кривата ще бъде приблизително равна на сумата от дължините на всички тези отсечки. Често в литературата тази сума се записва по следния начин:
Ролята на интеграла
В момента се опитваме да намерим приближение на търсената стойност, като сумираме много малки дължини. Колкото повече членове има сумата, толкова по-точно е приближението. Да ти звучи познато?
Това е чисто и просто дефиницията на интеграл.
Дотук знаем, че интегралът на дадена функция изразява площта между кривата и абсцисата. Но всъщност интегралът е сума от лицата на много правоъгълници, всеки с широчина "d, x", представляваща малък интервал от стойности на x, и с височина f, left parenthesis, x, right parenthesis. Следователно лицето на един такъв правоъгълник е
Тогава можем да изразим площта между кривата и абсцисата като интеграл:
Този интеграл е обобщение на познатото ни понятие за сума. \Sigma. Интегралът не е просто сумата на f, left parenthesis, x, right parenthesis, d, x за много малка стойност на d, x; интегралът е всъщност границата на тази сума, когато d, x клони към 0. С други думи, когато приближението ни става все по-точно и по-точно.
Понятието интеграл може да се използва и в други контексти, не само когато търсим лица. Всеки път, когато разбиваме дадена стойност на малки части, и намираме приближение на всяка една от тях, можем да използваме езика на интегралното смятане, за да намерим търсената стойност.
Например в случая с нашия неточен израз за дължината на дъга от крива
се превръща в интеграла
Обърни внимание, че стойността на d, y всъщност зависи от d, x. В нашия случай, тъй като кривата е дадена от уравнението y, equals, x, squared, всъщност производната на това уравнение изразява тази зависимост между d, y и d, x,
Когато заместим получената зависимост в горния интеграл, получаваме нещо доста по-познато.
Все още интегралът няма граници, но вече можем да ги поставим, след като функцията вътре в интеграла е изразена чрез x и d, x. Търсим дължината на дъгата в интервала от minus, 2 до 2, значи това са границите на интеграла.
Сега вече интегралът изглежда познато. Само че точно този интеграл е доста труден за пресмятане на ръка. За щастие живеем в 21-ви век и можем да намерим стойността му с помощта на компютър. Идеята на тази статия е да разберем процеса по съставянето на този интеграл, а не толкова неговото пресмятане.
Засега ще оставим задачата дотук и няма да пресмятаме интеграла (ще има достатъчно такива неща в следващата статия), а вместо това ще изтъкнем някои от основните идеи, които използвахме в този пример.
Обобщение
- Запомни израза square root of, d, x, squared, plus, d, y, squared, end square root, дължината на малка част от дадената крива, изразена чрез x и y.
- Дължината на дъга от дадена крива изглежда така:
- Преди да можем да пресметнем тази дължина обаче, трябва да изразим d, y като функция на d, x. Затова намираме производната на уравнението на кривата.
- По принцип даден интеграл може да бъде пресметнат само спрямо един диференциал, тоест винаги търсим връзката между различните диференциали.
- Най-важната поука от тази статия е че интегралите могат да пресмятат не само площта под графиката на функция.
Упражнение
За да затвърдиш знанията си, в следващата статия можеш да намериш още задачи за намиране на дължина на дъга от крива.
Искаш ли да се присъединиш към разговора?
Все още няма публикации.