If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

Анализ на функции на много променливи

Курс: Анализ на функции на много променливи > Раздел 4

Урок 2: Криволинейни интеграли на скаларни функции (уроци)
Математика
Анализ на функции на много променливи
Интегриране на функции на много променливи
Криволинейни интеграли на скаларни функции (уроци)
© 2023 Khan AcademyУсловия за ползванеДекларация за поверителностПолитика за Бисквитки

Примери за определяне дължина на дъга при графично дефинирана функция

Класна стая на Google
Още задачи за намиране на дължина на дъга от графика

Преговор

Пример 1: Полуокръжност

Дадена е полуокръжност с радиус 1 и център началото на координатната система (виж изображението вдясно). От уроците по геометрия знаем, че дължината на полуокръжността е pi. В този пример ще разберем защо.
По дефиниция точките left parenthesis, x, ;, y, right parenthesis върху окръжността са на разстояние 1 от началото на координатната система, така че имаме
x, squared, plus, y, squared, equals, 1
Разместваме уравнението, за да получим y като функция на x:
y, equals, square root of, 1, minus, x, squared, end square root
Интегралът, чрез който пресмятаме дължината на дъгата, е приближение на тази дължина с помощта на отсечки.
Записваме общия вид на дължината на дъгата, за момента без границите на интеграла:
∫(dx)2+(dy)2\begin{aligned} \int \sqrt{(dx)^2 + (dy)^2} \end{aligned}
Както преди, "функцията" square root of, left parenthesis, d, x, right parenthesis, squared, plus, left parenthesis, d, y, right parenthesis, squared, end square root изразява дължината на една от тези отсечки (използвайки питагоровата теорема).
Сега заместваме с получената по-горе функция.

Стъпка 1: Намираме d, y като функция на d, x

Използвай уравнението y, equals, square root of, 1, minus, x, squared, end square root, за да намериш d, y чрез d, x.
d, y, equals
d, x

Стъпка 2: Заместваме d, y в интеграла

Замести получения израз за d, y в интеграла, за да получиш функция на променливата x, интегрирана d, x.
integral
d, x

Стъпка 3: Постави граници на интеграла и го пресметни

Търсим дължината на кривата между x, equals, minus, 1 и x, equals, 1. Замести тези стойности като граници на интеграла и го пресметни.
(Тук няма проверка на отговора, тъй като в началото на задачата казахме, че дължината е pi. Интересната и поучителна част от задачата е да преоткриеш за себе си, че стойността на интеграла наистина е pi.)

Съставяне на правилния интеграл

Намирането на стойността на самия интеграл често е невъзможно на ръка и за целта използваме компютър. Трябва да знаем обаче как първо да съставим интеграла. В следващите задачи можеш да използваш калкулатор или Wolfram Alpha, за да намериш търсената дължина на крива.

Пример 2: Синус

На колко е равна дължината на кривата y, equals, sine, left parenthesis, x, right parenthesis в интервала от x, equals, 0 до x, equals, 2, pi?
∫ab\begin{aligned} \int_a^b \end{aligned}
d, x
a, equals
b, equals

Пример 3: Нагоре, не надясно

Нека разгледаме кривата
y, equals, plus minus, square root of, x, end square root
в интервала x, is less than or equal to, 4. Намери интеграла, изразяващ дължината на кривата, само че като интеграл по y, а не по x.
∫ab\begin{aligned} \int_a^b \end{aligned}
d, y
a, equals
b, equals

Пример 4: Обобщение

Дадена е функцията f, left parenthesis, x, right parenthesis и нейната производна f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis. Кой от следните изрази представлява дължината на кривата
y, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis
в интервала от x, equals, a до x, equals, b?
Избери един отговор:

Често това е първата формула за дължина на дъга от крива, която учениците виждат. Според мен тази формула не представя добре метода на пресмятане на тази дължина.

Обобщение

  • Дъга наричаме частта от дадената крива, чиято дължина търсим. Ако си представим кривата като парче прежда, то търсим дължината на това парче, след като дръпнем двата му края.
  • За да намериш дължината на дъга от дадена крива, трябва да пресметнеш следния интеграл
    ∫(dx)2+(dy)2\begin{aligned} \int \sqrt{(dx)^2 + (dy)^2} \end{aligned}
  • Ако кривата е графиката на функцията y, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis, можем да заместим d, y с f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, d, x и да изнесем d, x извън радикала. Границите на интеграла са стойностите на x, които описват дъгата, чиято дължина търсим.
  • При съставянето на този интеграл обикновено избираме посоката, в която е най-естествено да обходим кривата.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила
Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.