If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

Определяне дължина на дъга при параметрично зададена крива

Как се намира дължината на дъга от крива, зададена параметрично?  Следващата стъпка е криволинеен интеграл.

Основни идеи

  • За да намериш дължината на дъга от дадена крива, трябва да пресметнеш следния интеграл
    (dx)2+(dy)2
  • Разглеждаме случая, когато кривата е дадена в параметричен вид, тоест когато x и y са функции на трета променлива t. За да заместим в интеграла, пресмятащ дължина на дъга, първо трябва да намерим производните на тези две функции, за да изразим dx и dy чрез dt.
    dx=dxdtdt
    dy=dydtdt
    Заместваме тези изрази в интеграла и изнасяме dt2 пред радикал.

Дължина на дъгa от параметричнa кривa

Нека разгледаме кривата дадена от следните уравнения:
x(t)=t3t
y(t)=2et2
Ако стойността на t се мени в интервала от 1,5 до 1,5, получената крива ще изглежда по следния начин:
Ключов въпрос: На колко е равна дължината на тази крива?
Представи си, че искаш да опънеш кривата като парче конец, и да я измериш с линийка. Каква ще е нейната дължина?
Видео плейър на видеоклиповете в Кан Академия
В предишната статия видяхме как се намира дължината на графика на функция, но не и на функция, която е зададена чрез параметър. И тук методът е подобен. Първо записваме следния интеграл:
(dx)2+(dy)2
Нека си припомним какво означава този интеграл.
  • Представи си, че кривата е съставена от много на брой отсечки.
  • Дължината на всяка такава отсечка можем да пресметнем с питагоровата теорема,
    dx2+dy2
    dx и dy представляват двата катета на триъгълника, чиято хипотенуза е търсената отсечка.
Можем да използваме същия интеграл и за параметрични криви. Този път, тъй като x и y са дадени като функции на трета променлива t, записваме dx и dy чрез dt с помощта на производните на двете функции.
Например производната на x е
x=t3td(x)=d(t3t)dx=(3t21)dt
и производната на y е:
y=2et2d(y)=d(2et2)dy=(2(2t)et2)dtdy=4tet2dt
Тези изрази ни казват каква е промяната на x и y, която съответства на малка промяна dt на аргумента t на функциите. Отговорът е функция на t и dt.
Заместваме в интеграла, който искаме да пресметнем, и получаваме
(dx)2+(dy)2=((3t21)dt)2+((4tet2)dt)2=((3t21)2+(4tet2)2)dt2=9t46t2+1+16t2e2t2dt
Сега функцията, която ще интегрираме, е изцяло функция на променливата t, и границите на интеграла трябва да съответстват на началната и крайната стойност на t. В нашия случай t се мени в интервала от 1,5 до 1,5, така че получаваме
1,51,59t46t2+1+16t2e2t2dt
Този интеграл най-вероятно не може да бъде пресметнат точно, тъй като функцията едва ли има примитивна функция. И все пак можем да го пресметнем числено с помощта на компютър.

Интеграл на параметрична функция, упражнение

Дадена е функцията
x(t)=t33t
y(t)=3t2
Разглеждаме частта от кривата, описана от стойности на t в интервала от 2 до 2.
Каква е дължината на получената дъга?
Дадени са двете координати x и y, описващи кривата, така че търсим стойността на интеграла
dx2+dy2
За да изразим този интеграл като функция на t, трябва да намерим dx и dy като функции на t.

Стъпка 1: Намираме dx и dy като функции на t

На колко е равно dx като функция на t?
dx=
dt

На колко е равно dy като функция на t?
dy=
dt

Стъпка 2: Заместваме в интеграла

Как изглежда интегралът след заместване на получените изрази за dx и dy? Можеш ли да опростиш израза, така че да няма радикал?
dt

Стъпка 3: Постави подходящите граници на интеграла и го пресметни

В задачата е дадено, че търсим дължината на кривата за стойности на параметъра от 2 до 2. Пресметни интеграла с тези граници.

Какво следва?

Намирането на дължините на различни криви е страхотна мотивация за следващите статии за криволинейни интеграли, една от централните теми в анализа на функции на много променливи. За да опростим записването на някои изрази, първо ще въведем съкратения запис на криволинейни интеграли (виж следващата статия).

Обобщение

  • За да намериш дължината на дъга от дадена крива, трябва да пресметнеш следния интеграл
    (dx)2+(dy)2
  • Когато кривата се описва от параметър, тоест когато x и y са функции на трета променлива t, намираме производните на тези две функции, за да изразим dx и dy чрез dt.
    dx=dxdtdt
    dy=dydtdt
    заместваме тези изрази в интеграла и изнасяме dt2 пред радикал.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.