If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

Анализ на функции на много променливи

Курс: Анализ на функции на много променливи > Раздел 4

Урок 2: Криволинейни интеграли на скаларни функции (уроци)
Математика
Анализ на функции на много променливи
Интегриране на функции на много променливи
Криволинейни интеграли на скаларни функции (уроци)
© 2023 Khan AcademyУсловия за ползванеДекларация за поверителностПолитика за Бисквитки

Определяне дължина на дъга при параметрично зададена крива

Класна стая на Google
Как се намира дължината на дъга от крива, зададена параметрично?  Следващата стъпка е криволинеен интеграл.

Преговор:

Основни идеи

  • За да намериш дължината на дъга от дадена крива, трябва да пресметнеш следния интеграл
    ∫(dx)2+(dy)2\begin{aligned} \int \sqrt{(dx)^2 + (dy)^2} \end{aligned}
  • Разглеждаме случая, когато кривата е дадена в параметричен вид, тоест когато x и y са функции на трета променлива t. За да заместим в интеграла, пресмятащ дължина на дъга, първо трябва да намерим производните на тези две функции, за да изразим d, x и d, y чрез d, t.
    d, x, equals, start fraction, d, x, divided by, d, t, end fraction, d, t
    d, y, equals, start fraction, d, y, divided by, d, t, end fraction, d, t
    Заместваме тези изрази в интеграла и изнасяме d, t, squared пред радикал.

Дължина на дъгa от параметричнa кривa

Нека разгледаме кривата дадена от следните уравнения:
x, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, t, cubed, minus, t
y, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, 2, e, start superscript, minus, t, squared, end superscript
Ако стойността на t се мени в интервала от minus, 1, comma, 5 до 1, comma, 5, получената крива ще изглежда по следния начин:
Ключов въпрос: На колко е равна дължината на тази крива?
Представи си, че искаш да опънеш кривата като парче конец, и да я измериш с линийка. Каква ще е нейната дължина?
Видео плейър на видеоклиповете в Кан Академия
Виж видео транскрипцията
В предишната статия видяхме как се намира дължината на графика на функция, но не и на функция, която е зададена чрез параметър. И тук методът е подобен. Първо записваме следния интеграл:
∫(dx)2+(dy)2\begin{aligned} \int \sqrt{(dx)^2 + (dy)^2} \end{aligned}
Нека си припомним какво означава този интеграл.
  • Представи си, че кривата е съставена от много на брой отсечки.
  • Дължината на всяка такава отсечка можем да пресметнем с питагоровата теорема,
    square root of, d, x, squared, plus, d, y, squared, end square root
    d, x и d, y представляват двата катета на триъгълника, чиято хипотенуза е търсената отсечка.
Можем да използваме същия интеграл и за параметрични криви. Този път, тъй като x и y са дадени като функции на трета променлива t, записваме d, x и d, y чрез d, t с помощта на производните на двете функции.
Например производната на x е
x=t3−td(x)=d(t3−t)dx=(3t2−1)dt\begin{aligned} x &= t^3 - t \\\\ d(x) &= d(t^3 - t) \\\\ \blueE{dx} &\blueE{= (3t^2 - 1)dt} \\\\ \end{aligned}
и производната на y е:
y=2e−t2d(y)=d(2e−t2)dy=(2(−2t)e−t2) dtdy=−4te−t2 dt\begin{aligned} y &= 2e^{-t^2} \\\\ d(y) &= d(2e^{-t^2}) \\\\ dy &= (2(-2t)e^{-t^2})\,dt \\\\ \redE{dy} &\redE{= -4te^{-t^2}\,dt} \\\\ \end{aligned}
Тези изрази ни казват каква е промяната на x и y, която съответства на малка промяна d, t на аргумента t на функциите. Отговорът е функция на t и d, t.
Заместваме в интеграла, който искаме да пресметнем, и получаваме
∫(dx)2+(dy)2=∫((3t2−1)dt)2+((−4te−t2)dt)2=∫((3t2−1)2+(−4te−t2)2)dt2=∫9t4−6t2+1+16t2e−2t2  dt\begin{aligned} \int \sqrt{(\blueE{dx})^2 + \redE{(dy)}^2} &= \int \sqrt{(\blueE{(3t^2-1)}dt)^2 + (\redE{(-4te^{-t^2})}dt)^2} \\ \\ &= \int \sqrt{(\blueE{(3t^2-1)}^2 + \redE{(-4te^{-t^2})}^2)dt^2} \\ \\ &= \int \sqrt{\blueE{9t^4 -6t^2 + 1} + \redE{16t^2e^{-2t^2}}}\;dt \\ \\ \end{aligned}
Сега функцията, която ще интегрираме, е изцяло функция на променливата t, и границите на интеграла трябва да съответстват на началната и крайната стойност на t. В нашия случай t се мени в интервала от minus, 1, comma, 5 до 1, comma, 5, така че получаваме
∫−1,51,59t4−6t2+1+16t2e−2t2  dt\begin{aligned} \int_{-1{,}5}^{1{,}5} \sqrt{9t^4 -6t^2 + 1 + 16t^2e^{-2t^2}}\;dt \\ \end{aligned}
Този интеграл най-вероятно не може да бъде пресметнат точно, тъй като функцията едва ли има примитивна функция. И все пак можем да го пресметнем числено с помощта на компютър.

Интеграл на параметрична функция, упражнение

Дадена е функцията
x, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, t, cubed, minus, 3, t
y, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, 3, t, squared
Разглеждаме частта от кривата, описана от стойности на t в интервала от minus, 2 до 2.
Каква е дължината на получената дъга?
Дадени са двете координати x и y, описващи кривата, така че търсим стойността на интеграла
∫dx2+dy2\begin{aligned} \int \sqrt{dx^2 + dy^2} \end{aligned}
За да изразим този интеграл като функция на t, трябва да намерим d, x и d, y като функции на t.

Стъпка 1: Намираме d, x и d, y като функции на t

На колко е равно d, x като функция на t?
d, x, equals
d, t

На колко е равно d, y като функция на t?
d, y, equals
d, t

Стъпка 2: Заместваме в интеграла

Как изглежда интегралът след заместване на получените изрази за d, x и d, y? Можеш ли да опростиш израза, така че да няма радикал?
integral
d, t

Стъпка 3: Постави подходящите граници на интеграла и го пресметни

В задачата е дадено, че търсим дължината на кривата за стойности на параметъра от minus, 2 до 2. Пресметни интеграла с тези граници.

Какво следва?

Намирането на дължините на различни криви е страхотна мотивация за следващите статии за криволинейни интеграли, една от централните теми в анализа на функции на много променливи. За да опростим записването на някои изрази, първо ще въведем съкратения запис на криволинейни интеграли (виж следващата статия).

Обобщение

  • За да намериш дължината на дъга от дадена крива, трябва да пресметнеш следния интеграл
    ∫(dx)2+(dy)2\begin{aligned} \int \sqrt{(dx)^2 + (dy)^2} \end{aligned}
  • Когато кривата се описва от параметър, тоест когато x и y са функции на трета променлива t, намираме производните на тези две функции, за да изразим d, x и d, y чрез d, t.
    d, x, equals, start fraction, d, x, divided by, d, t, end fraction, d, t
    d, y, equals, start fraction, d, y, divided by, d, t, end fraction, d, t
    заместваме тези изрази в интеграла и изнасяме d, t, squared пред радикал.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила
Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.