Основно съдържание
Анализ на функции на много променливи
Курс: Анализ на функции на много променливи > Раздел 4
Урок 2: Криволинейни интеграли на скаларни функции (уроци)- Определяне дължина на дъга при графично дефинирана функция, въведение
- Примери за определяне дължина на дъга при графично дефинирана функция
- Определяне дължина на дъга при параметрично зададена крива
- Начини за записване при интегриране по крива
- Криволинеен интеграл в скаларно поле
© 2023 Khan AcademyУсловия за ползванеДекларация за поверителностПолитика за Бисквитки
Определяне дължина на дъга при параметрично зададена крива
Как се намира дължината на дъга от крива, зададена параметрично? Следващата стъпка е криволинеен интеграл.
Основни идеи
- За да намериш дължината на дъга от дадена крива, трябва да пресметнеш следния интеграл
- Разглеждаме случая, когато кривата е дадена в параметричен вид, тоест когато x и y са функции на трета променлива t. За да заместим в интеграла, пресмятащ дължина на дъга, първо трябва да намерим производните на тези две функции, за да изразим d, x и d, y чрез d, t.Заместваме тези изрази в интеграла и изнасяме d, t, squared пред радикал.
Дължина на дъгa от параметричнa кривa
Нека разгледаме кривата дадена от следните уравнения:
Ако стойността на t се мени в интервала от minus, 1, comma, 5 до 1, comma, 5, получената крива ще изглежда по следния начин:
Ключов въпрос: На колко е равна дължината на тази крива?
Представи си, че искаш да опънеш кривата като парче конец, и да я измериш с линийка. Каква ще е нейната дължина?
В предишната статия видяхме как се намира дължината на графика на функция, но не и на функция, която е зададена чрез параметър. И тук методът е подобен. Първо записваме следния интеграл:
Нека си припомним какво означава този интеграл.
- Представи си, че кривата е съставена от много на брой отсечки.
- Дължината на всяка такава отсечка можем да пресметнем с питагоровата теорема,d, x и d, y представляват двата катета на триъгълника, чиято хипотенуза е търсената отсечка.
Можем да използваме същия интеграл и за параметрични криви. Този път, тъй като x и y са дадени като функции на трета променлива t, записваме d, x и d, y чрез d, t с помощта на производните на двете функции.
Например производната на x е
и производната на y е:
Тези изрази ни казват каква е промяната на x и y, която съответства на малка промяна d, t на аргумента t на функциите. Отговорът е функция на t и d, t.
Заместваме в интеграла, който искаме да пресметнем, и получаваме
Сега функцията, която ще интегрираме, е изцяло функция на променливата t, и границите на интеграла трябва да съответстват на началната и крайната стойност на t. В нашия случай t се мени в интервала от minus, 1, comma, 5 до 1, comma, 5, така че получаваме
Този интеграл най-вероятно не може да бъде пресметнат точно, тъй като функцията едва ли има примитивна функция. И все пак можем да го пресметнем числено с помощта на компютър.
Интеграл на параметрична функция, упражнение
Дадена е функцията
Разглеждаме частта от кривата, описана от стойности на t в интервала от minus, 2 до 2.
Каква е дължината на получената дъга?
Дадени са двете координати x и y, описващи кривата, така че търсим стойността на интеграла
За да изразим този интеграл като функция на t, трябва да намерим d, x и d, y като функции на t.
Стъпка 1: Намираме d, x и d, y като функции на t
На колко е равно d, x като функция на t?
На колко е равно d, y като функция на t?
Стъпка 2: Заместваме в интеграла
Как изглежда интегралът след заместване на получените изрази за d, x и d, y? Можеш ли да опростиш израза, така че да няма радикал?
Стъпка 3: Постави подходящите граници на интеграла и го пресметни
В задачата е дадено, че търсим дължината на кривата за стойности на параметъра от minus, 2 до 2. Пресметни интеграла с тези граници.
Какво следва?
Намирането на дължините на различни криви е страхотна мотивация за следващите статии за криволинейни интеграли, една от централните теми в анализа на функции на много променливи. За да опростим записването на някои изрази, първо ще въведем съкратения запис на криволинейни интеграли (виж следващата статия).
Обобщение
- За да намериш дължината на дъга от дадена крива, трябва да пресметнеш следния интеграл
- Когато кривата се описва от параметър, тоест когато x и y са функции на трета променлива t, намираме производните на тези две функции, за да изразим d, x и d, y чрез d, t.заместваме тези изрази в интеграла и изнасяме d, t, squared пред радикал.
Искаш ли да се присъединиш към разговора?
Все още няма публикации.