If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

Криволинеен интеграл в скаларно поле

Научи как се изчисляват и как се тълкуват криволинейни интеграли, познати още като интеграли по затворен контур.

Основни идеи

  • Точно както при обикновения интеграл abf(x)dx следва оста x и събира стойностите на функцията във всички точки, криволинейният интеграл Cf(x,y)ds следва крива в равнината xy и събира стойностите на функцията f(x;y).
  • Ако дадена крива C е параметризирана чрез векторната функция r(t) в интервала между t=a и t=b, то криволинейният интеграл по кривата е
Cfds=abf(r(t))|r(t)|dt

Какво е криволинеен интеграл

В предишната статия въведохме съкратения запис на следния интеграл, представящ дължината на дъга от крива:
Cds
  • ds представлява малко изместване по дължината на кривата.
  • C е просто името, което даваме на кривата. Означението C замества точните граници на интеграла, докато не стигнем до стъпката, в която трябва да го пресметнем.
Криволинейният интеграл е обобщение на тази идея за функция с произволен брой променливи,
Cf(x;y)ds
Този интеграл пресмята
"сумата от дължините на малки стъпки ds по кривата, всяка от тях умножена по съответната стойност на f(x;y)"
Следната анимация показва връзката между това и познатата ни интерпретация на обикновения интеграл като площта под графиката на интегрираната функция. Ако спуснем завеса от стойностите на f(x;y) по кривата C към равнината xy, криволинейният интеграл дава площта на тази завеса. (Първото изображение е оцветена контурна графика на функцията f).
Представи си площта на тази завеса, само че разбита на безкрайно много тънки правоъгълници. Основата на всеки един от тези правоъгълници е ds=|r(t)|, дължината на малка стъпка по кривата. Височината на правоъгълника в точката (x;y) е f(x;y), височината на графиката на f в тази точка.

Векторен запис на криволинеен интеграл

В края на анимацията виждаме записан следния израз:
Cfds=abf(r(t))|r(t)|dt
Нека анализираме поотделно всеки множител.

Параметризация на C

r(t) е векторна функция, описваща кривата C параметрично. В две измерения тази функция изглежда по следния начин:
r(t)=[x(t)y(t)]
Границите a и b на интеграла са стойностите на t в двата края на кривата.
Това означава, че когато t се мени в интервала от a до b, върхът на вектора r(t) описва кривата C.

Съчетаване на f с параметризацията

За да пресметнем f(r(t)), заместваме компонентите x(t) и y(t) на r(t) в f(x;y):
f(r(t))=f(x(t);y(t))
Ако дадена стойност на t съответства на точка от кривата в равнината xy, тоест на върха на вектора r(t), то f(r(t)) ни дава стойността на функцията в тази точка от равнината.

ds е дължината на производната (по dt)

ds, дължината на малко изместване по кривата, е равно на |r(t)|dt, дължината на производната на r(t) по изместването dt на параметъра.
Разсъждавайки логически, това равенство е изпълнено, защото производната е отговорът на въпроса "какво се случва, когато изместим стойността на параметъра с dt?". Отговорът е r(t)dt (дължината на съответното изместване в равнината xy). Това е точно дължината на изместването по кривата ds като функция на dt.
Това също е компактното векторно представяне на dx2+dy2:
|r(t)|dt=|[x(t)y(t)]|dt=(x(t))2+(y(t))2dt=(x(t))2dt2+(y(t))2dt2=(x(t)dt)2+(y(t)dt)2=(dx)2+(dy)2
Заместваме всички изрази и получаваме векторния запис на криволинеен интеграл:
Cfds=abf(r(t))|r(t)|dt

Пример 1: Изчисляване на криволинеен интеграл

Дадена е крива C, която представлява четвъртина от окръжност с радиус 2 и център в началото на координатната система. Кривата се намира в първи квадрант.
Можем да представим кривата параметрично като
r(t)=[2cos(t)2sin(t)]
за t в интервала от 0 до π/2.
Нека f е функцията
f(x;y)=x+y
На колко е равен интегралът
Cf(x;y)ds
Следното видео показва "завесата" под графиката на f по кривата C. Бялата равнина е графиката на f(x;y)=x+y, а синята повърхнина е завесата, чиято площ търсим.
Видео плейър на видеоклиповете в Кан Академия

Стъпка 1: Изразяваме ds чрез dt

Вече знаем, че ds е равно на производната r(t) по dt,
ds=|r(t)|dt
и искаме да изразим ds както преди.
Дадената крива има параметризация r(t)=[2cos(t)2sin(t)]
ds=
dt

Стъпка 2: Изразяваме f(x;y) чрез t

На колко е равна функцията f(r(t))?
f(r(t))=

Стъпка 3: Записваме интеграла само чрез t и го пресмятаме

Заместваме получените изрази в предишните две стъпки и получаваме
Cf(x;y)ds=C(2cos(t)+2sin(t))2dt
Тъй като параметризацията на C е за t от 0 до π2, то това са границите на интеграла. Вече можем да го пресметнем.
0π/2(2cos(t)+2sin(t))2dt=

Пример 2: По-сложен интеграл

Криволинейните интеграли не са толкова сложни след като свикнеш с тях. Преди самото пресмятане на интеграла трябва просто да заместим ds и f(x;y) като функции на дадения параметър.
След заместването обаче, полученият обикновен интеграл често е труден за директно пресмятане. Повечето от тях накрая ги пресмятаме с помощта на компютърен софтуер.
В този пример ще видим как сравнително прости функции могат да се окажат трудни за пресмятане. Приготви си хартия и химикал, ако искаш да решиш задачата самостоятелно.
Дадена е крива C с параметризация
s(t)=[1t+15t5t2]
в интервала 1t2.
Нека f е функцията
f(x;y)=xy2
Да се пресметне криволинейния интеграл
Cf(x;y)ds

Стъпка 1: Изразяваме ds чрез dt

ds=
dt

Стъпка 2: Заместваме f(x;y) с f(s(t))

Какво получаваш след заместване на s(t) в f(x;y)=xy2?
f(s(t))=

Стъпка 3: Решаваме интеграла

Замести резултатите от предишните стъпки в интеграла и го пресметни. Тъй като кривата е в интервала 1t2 и вече сме записали интеграла чрез t, то неговите граници са 1 и 2.
(Неприятна сметка - използвай калкулатор!)
12f(s(t))|s(t)|dt=

Обърни внимание, че трудната част тук не е съставянето на интеграла, а комбинацията от много нетривиални съставни функции, която прави крайния интеграл труден за пресмятане.
(Ако мислиш, че тези изрази са сложни, изчакай докато стигнем до урока за повърхностни интеграли.)

Криволинеен интеграл в скаларно поле

Досега разглеждахме f като скаларна функция (чиито стойности са едномерни). Това обаче не е задължително - можем да интегрираме и векторна функция по крива. Ще се запознаем с тези интеграли в следващата статия.
За да отличим тези две понятия, говорим за криволинеен интеграл в скаларно поле и криволинеен интеграл във векторно поле. Изразът "скаларно поле" означава просто скаларна функция: на всяка точка в равнината xy съпоставяме скалар (число), така че равнината се превръща в "поле от числа". Забележка: у нас криволинеен интеграл в скаларно поле се нарича криволинеен интеграл от първи род, а криволинеен интеграл във векторно поле се нарича криволинеен интеграл от втори род.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.