If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

Анализ на функции на много променливи

Курс: Анализ на функции на много променливи > Раздел 4

Урок 2: Криволинейни интеграли на скаларни функции (уроци)
Математика
Анализ на функции на много променливи
Интегриране на функции на много променливи
Криволинейни интеграли на скаларни функции (уроци)
© 2023 Khan AcademyУсловия за ползванеДекларация за поверителностПолитика за Бисквитки

Криволинеен интеграл в скаларно поле

Класна стая на Google
Научи как се изчисляват и как се тълкуват криволинейни интеграли, познати още като интеграли по затворен контур.

Преговор

Основни идеи

  • Точно както при обикновения интеграл integral, start subscript, a, end subscript, start superscript, b, end superscript, f, left parenthesis, x, right parenthesis, d, x следва оста x и събира стойностите на функцията във всички точки, криволинейният интеграл integral, start subscript, C, end subscript, f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, d, s следва крива в равнината x, y и събира стойностите на функцията f, left parenthesis, x, ;, y, right parenthesis.
  • Ако дадена крива C е параметризирана чрез векторната функция start bold text, r, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, right parenthesis в интервала между t, equals, a и t, equals, b, то криволинейният интеграл по кривата е
∫Cf ds=∫abf(r⃗(t)) ∣r⃗′(t)∣dt\begin{aligned} \int_C {f}\,{ds} = \int_a^b {f(\vec{\textbf{r}}(t))} \, {|\vec{\textbf{r}}'(t)| dt} \end{aligned}

Какво е криволинеен интеграл

В предишната статия въведохме съкратения запис на следния интеграл, представящ дължината на дъга от крива:
∫Cds\begin{aligned} \int_C ds \end{aligned}
  • d, s представлява малко изместване по дължината на кривата.
  • C е просто името, което даваме на кривата. Означението integral, start subscript, C, end subscript замества точните граници на интеграла, докато не стигнем до стъпката, в която трябва да го пресметнем.
Криволинейният интеграл е обобщение на тази идея за функция с произволен брой променливи,
∫Cf(x;y)ds\begin{aligned} \int_C f(x; y)ds \end{aligned}
Този интеграл пресмята
"сумата от дължините на малки стъпки d, s по кривата, всяка от тях умножена по съответната стойност на f, left parenthesis, x, ;, y, right parenthesis"
Следната анимация показва връзката между това и познатата ни интерпретация на обикновения интеграл като площта под графиката на интегрираната функция. Ако спуснем завеса от стойностите на f, left parenthesis, x, ;, y, right parenthesis по кривата C към равнината x, y, криволинейният интеграл дава площта на тази завеса. (Първото изображение е оцветена контурна графика на функцията f).
Представи си площта на тази завеса, само че разбита на безкрайно много тънки правоъгълници. Основата на всеки един от тези правоъгълници е d, s, equals, vertical bar, start bold text, r, end bold text, prime, left parenthesis, t, right parenthesis, vertical bar, дължината на малка стъпка по кривата. Височината на правоъгълника в точката left parenthesis, x, ;, y, right parenthesis е f, left parenthesis, x, ;, y, right parenthesis, височината на графиката на f в тази точка.

Векторен запис на криволинеен интеграл

В края на анимацията виждаме записан следния израз:
∫Cf ds=∫abf(r⃗(t)) ∣r⃗′(t)∣dt\begin{aligned} \int_C \blueE{f}\,\redE{ds} = \int_a^b \blueE{f(\vec{\textbf{r}}(t))} \, \redE{|\vec{\textbf{r}}'(t)| dt} \end{aligned}
Нека анализираме поотделно всеки множител.

Параметризация на C

start bold text, r, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, right parenthesis е векторна функция, описваща кривата C параметрично. В две измерения тази функция изглежда по следния начин:
r⃗(t)=[x(t)y(t)]\begin{aligned} \vec{\textbf{r}}(t) &= \left[ \begin{array}{c} x(t) \\\\ y(t) \end{array} \right] \end{aligned}
Границите a и b на интеграла са стойностите на t в двата края на кривата.
Това означава, че когато t се мени в интервала от a до b, върхът на вектора start bold text, r, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, right parenthesis описва кривата C.

Съчетаване на f с параметризацията

За да пресметнем start color #0c7f99, f, left parenthesis, start bold text, r, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, right parenthesis, right parenthesis, end color #0c7f99, заместваме компонентите x, left parenthesis, t, right parenthesis и y, left parenthesis, t, right parenthesis на start bold text, r, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, right parenthesis в f, left parenthesis, x, ;, y, right parenthesis:
f, left parenthesis, start bold text, r, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, right parenthesis, right parenthesis, equals, f, left parenthesis, x, left parenthesis, t, right parenthesis, ;, y, left parenthesis, t, right parenthesis, right parenthesis
Ако дадена стойност на t съответства на точка от кривата в равнината x, y, тоест на върха на вектора start bold text, r, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, right parenthesis, то start color #0c7f99, f, left parenthesis, start bold text, r, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, right parenthesis, right parenthesis, end color #0c7f99 ни дава стойността на функцията в тази точка от равнината.

d, s е дължината на производната (по d, t)

d, s, дължината на малко изместване по кривата, е равно на start color #bc2612, vertical bar, start bold text, r, end bold text, with, vector, on top, prime, left parenthesis, t, right parenthesis, vertical bar, d, t, end color #bc2612, дължината на производната на start bold text, r, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, right parenthesis по изместването d, t на параметъра.
Разсъждавайки логически, това равенство е изпълнено, защото производната е отговорът на въпроса "какво се случва, когато изместим стойността на параметъра с d, t?". Отговорът е start bold text, r, end bold text, with, vector, on top, prime, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t (дължината на съответното изместване в равнината x, y). Това е точно дължината на изместването по кривата d, s като функция на d, t.
Това също е компактното векторно представяне на square root of, d, x, squared, plus, d, y, squared, end square root:
∣r⃗′(t)∣dt=∣[x′(t)y′(t)]∣dt=(x′(t))2+(y′(t))2dt=(x′(t))2dt2+(y′(t))2dt2=(x′(t)dt)2+(y′(t)dt)2=(dx)2+(dy)2\begin{aligned} |\vec{\textbf{r}}'(t)|dt &= \left|\left[ \begin{array}{c} x'(t) \\ \\ y'(t) \end{array} \right]\right|dt \\\\ &= \sqrt{(x'(t))^2 + (y'(t))^2}dt \\\\ &= \sqrt{(x'(t))^2 dt^2 + (y'(t))^2dt^2} \\\\ &= \sqrt{(x'(t)dt)^2 + (y'(t)dt)^2} \\\\ &= \sqrt{(dx)^2 + (dy)^2} \end{aligned}
Заместваме всички изрази и получаваме векторния запис на криволинеен интеграл:
∫Cf ds=∫abf(r⃗(t)) ∣r⃗′(t)∣dt\begin{aligned} \int_C \blueE{f}\,\redE{ds} = \int_a^b \blueE{f(\vec{\textbf{r}}(t))} \, \redE{|\vec{\textbf{r}}'(t)| dt} \end{aligned}

Пример 1: Изчисляване на криволинеен интеграл

Дадена е крива C, която представлява четвъртина от окръжност с радиус 2 и център в началото на координатната система. Кривата се намира в първи квадрант.
Можем да представим кривата параметрично като
r⃗(t)=[2cos⁡(t)2sin⁡(t)]\begin{aligned} \vec{\textbf{r}}(t) &= \left[ \begin{array}{c} 2\cos(t) \\ \\ 2\sin(t) \end{array} \right] \end{aligned}
за t в интервала от 0 до pi, slash, 2.
Нека f е функцията
f, left parenthesis, x, ;, y, right parenthesis, equals, x, plus, y
На колко е равен интегралът
∫Cf(x;y)ds\begin{aligned} \int_C f(x; y)ds \end{aligned}
Следното видео показва "завесата" под графиката на f по кривата C. Бялата равнина е графиката на f, left parenthesis, x, ;, y, right parenthesis, equals, x, plus, y, а синята повърхнина е завесата, чиято площ търсим.
Видео плейър на видеоклиповете в Кан Академия
Виж видео транскрипцията

Стъпка 1: Изразяваме d, s чрез d, t

Вече знаем, че d, s е равно на производната start bold text, r, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, right parenthesis по d, t,
d, s, equals, vertical bar, start bold text, r, end bold text, with, vector, on top, prime, left parenthesis, t, right parenthesis, vertical bar, d, t
и искаме да изразим d, s както преди.
Дадената крива има параметризация r⃗(t)=[2cos⁡(t)2sin⁡(t)]\begin{aligned} \vec{\textbf{r}}(t) &= \left[ \begin{array}{c} 2\cos(t) \\ 2\sin(t) \end{array} \right] \end{aligned}
d, s, equals
d, t

Стъпка 2: Изразяваме f, left parenthesis, x, ;, y, right parenthesis чрез t

На колко е равна функцията f, left parenthesis, start bold text, r, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, right parenthesis, right parenthesis?
f, left parenthesis, start bold text, r, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, right parenthesis, right parenthesis, equals

Стъпка 3: Записваме интеграла само чрез t и го пресмятаме

Заместваме получените изрази в предишните две стъпки и получаваме
∫Cf(x;y)ds=∫C(2cos⁡(t)+2sin⁡(t))  2dt\begin{aligned} \int_C \blueE{f(x; y)} \redE{ds} = \int_C (\blueE{2\cos(t) + 2\sin(t)})\; \redE{2dt} \end{aligned}
Тъй като параметризацията на C е за t от 0 до start fraction, pi, divided by, 2, end fraction, то това са границите на интеграла. Вече можем да го пресметнем.
∫0π/2(2cos⁡(t)+2sin⁡(t))  2dt=\begin{aligned} \int_0^{\pi/2}({2\cos(t) + 2\sin(t)})\; {2dt} \end{aligned} =

Пример 2: По-сложен интеграл

Криволинейните интеграли не са толкова сложни след като свикнеш с тях. Преди самото пресмятане на интеграла трябва просто да заместим d, s и f, left parenthesis, x, ;, y, right parenthesis като функции на дадения параметър.
След заместването обаче, полученият обикновен интеграл често е труден за директно пресмятане. Повечето от тях накрая ги пресмятаме с помощта на компютърен софтуер.
В този пример ще видим как сравнително прости функции могат да се окажат трудни за пресмятане. Приготви си хартия и химикал, ако искаш да решиш задачата самостоятелно.
Дадена е крива C с параметризация
s⃗(t)=[1t+15t5t2]\begin{aligned} \vec{\textbf{s}}(t) = \left[ \begin{array}{c} \dfrac{1}{t} + \dfrac{1}{5} t^5 \\\\ t^2 \end{array} \right] \end{aligned}
в интервала 1, is less than or equal to, t, is less than or equal to, 2.
Нека f е функцията
f, left parenthesis, x, ;, y, right parenthesis, equals, x, y, squared
Да се пресметне криволинейния интеграл
∫Cf(x;y)ds\begin{aligned} \int_C f(x; y)ds \end{aligned}

Стъпка 1: Изразяваме d, s чрез d, t

d, s, equals
d, t

Стъпка 2: Заместваме f, left parenthesis, x, ;, y, right parenthesis с f, left parenthesis, start bold text, s, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, right parenthesis, right parenthesis

Какво получаваш след заместване на start bold text, s, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, right parenthesis в f, left parenthesis, x, ;, y, right parenthesis, equals, x, y, squared?
f, left parenthesis, start bold text, s, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, right parenthesis, right parenthesis, equals

Стъпка 3: Решаваме интеграла

Замести резултатите от предишните стъпки в интеграла и го пресметни. Тъй като кривата е в интервала 1, is less than or equal to, t, is less than or equal to, 2 и вече сме записали интеграла чрез t, то неговите граници са 1 и 2.
(Неприятна сметка - използвай калкулатор!)
∫12f(s⃗(t)) ∣s⃗′(t)∣dt=\begin{aligned} \int_1^2 f(\vec{\textbf{s}}(t))\,|\vec{\textbf{s}}'(t)|dt \end{aligned} =

Обърни внимание, че трудната част тук не е съставянето на интеграла, а комбинацията от много нетривиални съставни функции, която прави крайния интеграл труден за пресмятане.
(Ако мислиш, че тези изрази са сложни, изчакай докато стигнем до урока за повърхностни интеграли.)

Криволинеен интеграл в скаларно поле

Досега разглеждахме f като скаларна функция (чиито стойности са едномерни). Това обаче не е задължително - можем да интегрираме и векторна функция по крива. Ще се запознаем с тези интеграли в следващата статия.
За да отличим тези две понятия, говорим за криволинеен интеграл в скаларно поле и криволинеен интеграл във векторно поле. Изразът "скаларно поле" означава просто скаларна функция: на всяка точка в равнината x, y съпоставяме скалар (число), така че равнината се превръща в "поле от числа". Забележка: у нас криволинеен интеграл в скаларно поле се нарича криволинеен интеграл от първи род, а криволинеен интеграл във векторно поле се нарича криволинеен интеграл от втори род.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила
Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.