Основно съдържание

Курс: Анализ на функции на много променливи > Раздел 4

Урок 2: Криволинейни интеграли на скаларни функции (уроци)

Начини за записване при интегриране по крива

Класна стая на Google

В тази статия разглеждаме съкратен запис на криволинейни интеграли.

Преговор:

Основни идеи

Дължината на дъга от крива
$\begin{array}{r} \int \sqrt{d x^{2} + d y^{2}} \end{array}$ ‍
може да бъде записана като
$\begin{array}{r} \int_{C} d s \end{array}$ ‍
където $C$ ‍ представлява кривата, а $d s$ ‍ е съкратен запис на $\sqrt{d x^{2} + d y^{2}}$ ‍, дължината на малко изместване по дължината на кривата.
Когато кривата е зададена чрез векторна функция $\vec{r} (t)$ ‍ в интервала $a \leq t \leq b$ ‍, този интеграл е
$\begin{array}{r} \int_{a}^{b} | {\vec{r}}^{'} (t) | d t \end{array}$ ‍

С други думи, изместването

d s

по дължината на кривата е равно на дължината на производната на

\vec{r} (t)

(понеже r(t) е вектор, неговата производна също е вектор)

Това всъщност е стандартен запис за криволинейни интеграли, за който ще научиш повече в следващата статия.

Съкратен запис на криволинеен интеграл

В статиите за намиране на дължина на дъги от графики на функции и параметрични криви работихме със следния интеграл

$\begin{array}{r} \int \sqrt{d x^{2} + d y^{2}} \end{array}$ ‍

Вместо

\sqrt{d x^{2} + d y^{2}}

, често промяната на дължината на дъга се записва като

d s

Изразът

d s

представлява малко изменение по дължината на кривата, точно както

d x

е малко изменение в посока

x

d y

е малко изменение в посока

y

Границите на интеграла

В предишните статии поставяхме границите на интеграла чак накрая на задачата

$\begin{array}{r} \int \sqrt{(d x)^{2} + (d y)^{2}} \end{array}$ ‍

(но сега този израз е просто

\int d s

Ако изразим интеграла като функция на

x

, поставяме за граници съответните стойности на

x

. Ако става въпрос за параметър

t

, границите са съответните стойности на

t

, и т.н.

Ако обаче искаме да запишем границите преди да уточним променливата, по която интегрираме, казваме следното,

"Нека $C$ ‍ е кривата . . ."

и даваме дефиницията на кривата, чиято дължина търсим. След това записваме интеграла с индекс

C

$\begin{array}{r} \int_{C} d s \end{array}$ ‍

Това казва на читателя да погледне дефиницията на кривата

C

и да постави границите на интеграла, когато трябва той да бъде пресметнат.

От една страна този запис е толкова прост, че не дава никаква информация за задачата. Можем да го прочетем символ по символ като

"Дължината на дъгата $C$ ‍ е равна на интеграла по $C$ ‍ на малки части от $C$ ‍"

Всички детайли от задачата и нейното решение са напълно скрити, а самото решение е намирането на

d s

и заместването на граници за

C

Но това е основната идея на този запис. Донякъде целта на статиите за дължина на дъга от крива е въвеждането на общото понятие криволинеен интеграл. При пресмятането на криволинейни интеграли често е по-полезно някои от детайлите за

d s

и границите на интеграла да останат скрити. В такива задачи съкращението

\int_{C} d s

ще е повече от добре дошло.

Езика на математическия анализ

В математическия анализ все по-рядко виждаме криви, които са дефинирани чрез параметър като

$x (t) = t \cos (t)$ ‍

$y (t) = t \sin (t)$ ‍

Вместо това разглеждаме тези криви като стойност на векторна функция,

$\begin{array}{r} \vec{r} (t) = [\begin{array}{c} x (t) \\ y (t) \end{array}] \end{array}$ ‍

Производната на векторна функция от този вид ни дава друга векторна функция,

$\begin{array}{r} {\vec{r}}^{'} (t) = [\begin{array}{c} x^{'} (t) \\ y^{'} (t) \end{array}] \end{array}$ ‍

Това ни дава много добър начин да изразим

d s

, дължината на една малка стъпка по протежение на кривата:

$d s = | {\vec{r}}^{'} (t) | d t$ ‍

Защо това е вярно? Един начин е да развием израза

| {\vec{r}}^{'} (t) | d t

и да опростим. Опитай!

Вместо това си припомни интерпретацията на производните на векторни функции. Представи си, че стоиш върху стойността

t_{0}

и правиш малка стъпка с дължина

d t

до стойността

t_{0} + d t

Производната

{\vec{r}}^{'} (t)

е съответната промяна в стойността на функцията, която описва кривата. Когато умножим тази производна по дължината на стъпката

d t

, получаваме

${\vec{r}}^{'} (t) d t$ ‍,

Това е малко преместване по дължината на кривата.

По-точно това е малко отместване в посока допирателната към кривата, която е само приближение на самата крива. Обаче когато

d t

клони към

0

, това приближение е равно на реалната стойност.

Дължината на това отместване е това, което записахме преди като

d s

$d s = | {\vec{r}}^{'} (t) d t | = | {\vec{r}}^{'} (t) | d t$ ‍,

Това означава, че дължината на дъга от параметрично зададена крива

\vec{r} (t)

в интервала от

t = a

до

t = b

е равна на

$\begin{array}{r} \int_{a}^{b} | {\vec{r}}^{'} (t) | d t \end{array}$ ‍

Самото пресмятане на този интеграл е същото както когато разглеждахме кривата като зададена от няколко уравнения, тъй като

| {\vec{r}}^{'} (t) | d t

е тъждествено равно на

\sqrt{d x^{2} + d y^{2}}

. В литературата съкратеният запис е предпочитан, и освен това важи за криви в повече измерения.

Напред към криволинейните интеграли!

След като вече знаем как и защо записваме криволинейните интеграли по този начин, можем да пристъпим към следващата статия за криволинейни интеграли.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила

Сортирай по:

Все още няма публикации.

Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.