If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

Анализ на функции на много променливи

Курс: Анализ на функции на много променливи > Раздел 4

Урок 2: Криволинейни интеграли на скаларни функции (уроци)
Математика
Анализ на функции на много променливи
Интегриране на функции на много променливи
Криволинейни интеграли на скаларни функции (уроци)
© 2023 Khan AcademyУсловия за ползванеДекларация за поверителностПолитика за Бисквитки

Начини за записване при интегриране по крива

Класна стая на Google
В тази статия разглеждаме съкратен запис на криволинейни интеграли.

Преговор:

Основни идеи

  • Дължината на дъга от крива
    ∫dx2+dy2\begin{aligned} \int \sqrt{dx^2 + dy^2} \end{aligned}
    може да бъде записана като
    ∫Cds\begin{aligned} \int_C ds \end{aligned}
    където C представлява кривата, а d, s е съкратен запис на square root of, d, x, squared, plus, d, y, squared, end square root, дължината на малко изместване по дължината на кривата.
  • Когато кривата е зададена чрез векторна функция start bold text, r, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, right parenthesis в интервала a, is less than or equal to, t, is less than or equal to, b, този интеграл е
    ∫ab∣r⃗′(t)∣dt\begin{aligned} \int_a^b |\vec{\textbf{r}}'(t)|dt \end{aligned}
С други думи, изместването d, s по дължината на кривата е равно на дължината на производната на start bold text, r, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, right parenthesis (понеже r(t) е вектор, неговата производна също е вектор)
  • Това всъщност е стандартен запис за криволинейни интеграли, за който ще научиш повече в следващата статия.

Съкратен запис на криволинеен интеграл

В статиите за намиране на дължина на дъги от графики на функции и параметрични криви работихме със следния интеграл
∫dx2+dy2\begin{aligned} \int \sqrt{dx^2 + dy^2} \end{aligned}
Вместо square root of, d, x, squared, plus, d, y, squared, end square root, често промяната на дължината на дъга се записва като d, s.
Изразът d, s представлява малко изменение по дължината на кривата, точно както d, x е малко изменение в посока x и d, y е малко изменение в посока y.

Границите на интеграла

В предишните статии поставяхме границите на интеграла чак накрая на задачата
∫(dx)2+(dy)2\begin{aligned} \int \sqrt{(dx)^2 + (dy)^2} \end{aligned}
(но сега този израз е просто integral, d, s.)
Ако изразим интеграла като функция на x, поставяме за граници съответните стойности на x. Ако става въпрос за параметър t, границите са съответните стойности на t, и т.н.
Ако обаче искаме да запишем границите преди да уточним променливата, по която интегрираме, казваме следното,
"Нека C е кривата . . ."
и даваме дефиницията на кривата, чиято дължина търсим. След това записваме интеграла с индекс C:
∫Cds\begin{aligned} \int_C ds \end{aligned}
Това казва на читателя да погледне дефиницията на кривата C и да постави границите на интеграла, когато трябва той да бъде пресметнат.
От една страна този запис е толкова прост, че не дава никаква информация за задачата. Можем да го прочетем символ по символ като
"Дължината на дъгата C е равна на интеграла по C на малки части от C"
Всички детайли от задачата и нейното решение са напълно скрити, а самото решение е намирането на d, s и заместването на граници за C.
Но това е основната идея на този запис. Донякъде целта на статиите за дължина на дъга от крива е въвеждането на общото понятие криволинеен интеграл. При пресмятането на криволинейни интеграли често е по-полезно някои от детайлите за d, s и границите на интеграла да останат скрити. В такива задачи съкращението integral, start subscript, C, end subscript, d, s ще е повече от добре дошло.

Езика на математическия анализ

В математическия анализ все по-рядко виждаме криви, които са дефинирани чрез параметър като
x, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, t, cosine, left parenthesis, t, right parenthesis
y, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, t, sine, left parenthesis, t, right parenthesis
Вместо това разглеждаме тези криви като стойност на векторна функция,
r⃗(t)=[x(t)y(t)]\begin{aligned} \vec{\textbf{r}}(t) = \left[ \begin{array}{c} x(t) \\ y(t) \end{array} \right] \end{aligned}
Производната на векторна функция от този вид ни дава друга векторна функция,
r⃗′(t)=[x′(t)y′(t)]\begin{aligned} \vec{\textbf{r}}'(t) = \left[ \begin{array}{c} x'(t) \\ y'(t) \end{array} \right] \end{aligned}
Това ни дава много добър начин да изразим d, s, дължината на една малка стъпка по протежение на кривата:
d, s, equals, vertical bar, start bold text, r, end bold text, with, vector, on top, prime, left parenthesis, t, right parenthesis, vertical bar, d, t
Защо това е вярно? Един начин е да развием израза vertical bar, start bold text, r, end bold text, with, vector, on top, prime, left parenthesis, t, right parenthesis, vertical bar, d, t и да опростим. Опитай!
Вместо това си припомни интерпретацията на производните на векторни функции. Представи си, че стоиш върху стойността t, start subscript, 0, end subscript и правиш малка стъпка с дължина d, t до стойността t, start subscript, 0, end subscript, plus, d, t.
Производната start bold text, r, end bold text, with, vector, on top, prime, left parenthesis, t, right parenthesis е съответната промяна в стойността на функцията, която описва кривата. Когато умножим тази производна по дължината на стъпката d, t, получаваме
start bold text, r, end bold text, with, vector, on top, prime, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t,
Това е малко преместване по дължината на кривата.
По-точно това е малко отместване в посока допирателната към кривата, която е само приближение на самата крива. Обаче когато d, t клони към 0, това приближение е равно на реалната стойност.
Дължината на това отместване е това, което записахме преди като d, s.
d, s, equals, vertical bar, start bold text, r, end bold text, with, vector, on top, prime, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t, vertical bar, equals, vertical bar, start bold text, r, end bold text, with, vector, on top, prime, left parenthesis, t, right parenthesis, vertical bar, d, t,
Това означава, че дължината на дъга от параметрично зададена крива start bold text, r, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, right parenthesis в интервала от t, equals, a до t, equals, b е равна на
∫ab∣r⃗′(t)∣dt\begin{aligned} \int_a^b |\vec{\textbf{r}}'(t)|dt \end{aligned}
Самото пресмятане на този интеграл е същото както когато разглеждахме кривата като зададена от няколко уравнения, тъй като vertical bar, start bold text, r, end bold text, with, vector, on top, prime, left parenthesis, t, right parenthesis, vertical bar, d, t е тъждествено равно на square root of, d, x, squared, plus, d, y, squared, end square root. В литературата съкратеният запис е предпочитан, и освен това важи за криви в повече измерения.

Напред към криволинейните интеграли!

След като вече знаем как и защо записваме криволинейните интеграли по този начин, можем да пристъпим към следващата статия за криволинейни интеграли.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила
Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.