Основно съдържание

Курс: Анализ на функции на много променливи > Раздел 4

Урок 4: Криволинеен интеграл във векторно поле (статии)

Потенциално векторно поле

Потенциалните векторни полета са изключително важни във физиката. Те се характеризират с това, че интегралите по два различни контура, свързващи две точки, са равни помежду си.

Преговор

Теорема за градиента, наричана още фундаментална теорема за пресмятане на криволинейни интеграли.

Основни идеи

Едно векторно поле

F (x; y)

се определя като потенциално (консервативно) векторно поле, когато притежава едно от следните три свойства (всички са дефинирани в тази статия):

Криволинейният интеграл от векторното поле $F$ ‍ не зависи от контура.
Криволинейният интеграл от $F$ ‍ по затворен контур винаги е равен на $0$ ‍.
$F$ ‍ е градиент на някаква скаларна функция, например $F = \nabla g$ ‍ за някаква функция $g$ ‍.

Съществува и друго свойство, еквивалентно на тези три свойства: Векторното поле

F

притежава свойството иротационност (безвихровост), което означава, че неговата ротация е нула (с известна уговорка). Ще обсъдим това в отделна статия, посветена на ротацията, изразена чрез криволинейни интеграли.

Основното тук е не само определението за потенциално векторно поле, а изненадващият факт, че съвсем различните на пръв поглед условия, изброени по-горе, са еквивалентни помежду си. Невероятно!

Независимост от пътя

Представи си, че ни е дадено някакво съвсем обикновено векторно поле

F (x; y)

и ние разглеждаме криволинейните интеграли от

F

по две различни криви

C_{1}

C_{2}

, всяка от които започва в точка

A

и завършва в точка

B

За почти всяко векторно поле

F

и за почти всички възможни двойки контури

C_{1}

C_{2}

тези интеграли са различни.

\begin{array}{r} \int_{C_{1}} F \cdot d s \neq \int_{C_{2}} F \cdot d s \leftarrow Вярно в повечето случаи \end{array}

Това е съвсем логично! Всеки един от интегралите е сума от съвсем различни стойности в съвсем различни точки в пространството. Но за наша изненада съществуват такива векторни полета, за които различните контури, свързващи едни и същи две точки, винаги са равни, независимо от избора на пътя (а възможните пътища са безкрайно много).

В последната статия, посветена на теоремата за градиента, видяхме, че някои специални векторни полета, които представляват градиент на някаква скаларна функция,

\nabla f

, притежават това загадъчно свойство. Криволинейните интеграли по различни криви, свързващи точките

A

B

, са равни винаги на едно и също нещо:

\begin{array}{r} \int_{C_{1}} \nabla f \cdot d s = \underset{\begin{array}{c} Следствие от \\ теоремата за градиента \end{array}}{\underset{⏟}{f (B) - f (A)}} = \int_{C_{2}} \nabla f \cdot d s \end{array}

Определение: Това свойство се нарича независимост на интеграла от пътя. Казано по-конкретно – криволинейният интеграл във векторното поле

F (x; y)

не зависи от пътя, когато стойността на интеграла зависи само от началната и крайната точка на пътя, а не от специфичния избор на траектория между тях.

Когато човек вникне в същината на теоремата на градиента, това твърдение вече няма да му се струва странно. Причината е, че криволинейните интеграли от градиента на

f

измерват промяната на стойността на

f

. Ако онагледим това на графиката на функцията

f

, виждаме, че това съответства на случая, в който две произволни траектории от една точка до друга водят до еднаква промяна на височината.

Видео плейър на видеоклиповете в Кан Академия

Виж видео транскрипцията

Въз основа на този резултат можем да заключим, че градиентните полета са много специални векторни полета. Тъй като свойството независимост от пътя се среща рядко, това означава, че повечето векторни полета не са градиентни полета.

Свойството независимост от пътя предполага, че даденото поле е градиентно

Видяхме, че градиентните полета са по-особени заради свойството независимост от пътя. А дали можем да намерим векторно поле

F (x; y)

, в което всички криволинейни интеграли не зависят от пътя, но това поле не е градиент на някаква скаларна функция?

Предполагам, че ти подсказах със заглавието на точката и въвеждащите думи: Всички векторни полета, в които криволинейните интеграли не зависят от пътя, са градиент на някаква функция. Но защо е така?

Наистина, защо това е така? Да разгледаме произволно векторно поле

F (x; y)

, криволинейните интеграли в което не зависят от пътя, което означава, че

\begin{array}{r} \int_{C_{1}} F \cdot d s = \int_{C_{2}} F \cdot d s \end{array}

за всички контури

C_{1}

C_{2}

, които свързват двете точки

A

B

. Кое в това свойство гарантира, че съществува функция

g

, за която е изпълнено

\nabla g = F

Предизвикателен въпрос: Можеш ли да се досетиш за начин да намерим такава функция

g

от

F

, като използваме факта, че

F

не зависи от пътя?

Това е труден въпрос, но може да ти е от полза да си припомниш теоремата на градиента за вдъхновение.

Мога да ти дам отговора наготово, обаче е по-забавно и полезно да опиташ да го намериш самостоятелно.

Вдъхновение от теоремата на градиента.

Теоремата на градиента дава връзката между стойността на дадена функция и криволинейния интеграл от нейния градиент:

$\begin{array}{r} \int_{C} \nabla f \cdot d s = f (B) - f (A) \end{array}$ ‍

където

A

B

са точки в пространството, а

C

е някакъв контур, който ги свързва.

Да допуснем, че

f (A) = 0

, и тогава уравнението става

$\begin{array}{r} f (B) = \int_{C} \nabla f \cdot d s \end{array}$ ‍

С други думи, за всяка точка

B

в пространството можем да изчислим стойността на функцията

f

само с помощта на нейния градиент (както и криволинейния интеграл).

Понеже целта ни е да видим как векторното поле

F

може да се разглежда като градиент, това може да те подсети да заместиш

\nabla f

F

, при което се получава нова скаларна функция, която ще означим като

g

$\begin{array}{r} g (B) = \int_{C} F \cdot d s \end{array}$ ‍

Обикновено дефинираме функциите с помощта на формули спрямо координатите

(x; y)

на точка, така че това може би ти се струва странен начин да дефинираме функцията

g

. Точка

A

е някаква произволна точка в пространството. Стойността на функцията

g

в точка

B

се дефинира чрез някаква странна крива, която свързва точките

A

B

, и изчисляването на криволинейния интеграл

F

по тази крива. Това е много недиректна дефиниция, но въпреки това тя е допустима. Все пак чрез нея можем да изчислим

g (x; y)

за всяка точка

(x; y)

, нали?

Обърни внимание, че тази дефиниция е неприложима за повечето векторни полета

F

. Изборът на път между точките

A

B

променя стойността на интеграла, при което стойността на функцията

g (B)

не е еднозначна. Но тъй като криволинейните интеграли във векторното поле

F

не зависят от пътя, това е реална дефиниция на функцията.

Когато дефинираме функцията

g

по този начин, се оказва, че

$\nabla g = F$ ‍

Това не е толкова изненадващо, ако разгледаме теоремата на градиента за

g

. Няма да показвам подробното доказателство на този факт тук, тъй като смятам, че подробностите ще ни отвлекат от главното:

Ключов извод: Когато криволинейните интеграли не зависят от пътя в едно векторно поле $F$ ‍, с помощта на тези криволинейни интеграли можем да дефинираме функция $g$ ‍, такава че $\nabla g = F$ ‍.

Криволинеен интеграл по затворен контур

Определение: Наричаме една крива затворена, когато започва и завършва в една и съща точка. Такава крива често се нарича и затворен контур.

Например кривата или контурът

C

, показан по-долу, започва и завършва в точка

A

Ако ни е дадено векторно поле

F

, в което всички криволинейни интеграли не зависят от контура, тогава произволен криволинеен интеграл във

F

по произволен затворен контур ще бъде равен на

0

. Защо?

Даден е затвореният контур

C

, който започва от точка

A

и завършва в същата точка

A

, и е даден обратният път

\tilde{C}

. Това означава, че контурите

C

\tilde{C}

съдържат едни и същи точки в пространството, но когато ги параметризираме, се движим в обратни посоки.

Знаем, че обръщането на посоката на контура обръща знака и на съответния криволинеен интеграл:

$\begin{array}{r} \int_{C} F \cdot d s = - \int_{\tilde{C}} F \cdot d s \end{array}$ ‍

Това е общо свойство на криволинейните интеграли във векторно поле, а не само на криволинейните интеграли в консервативно векторно поле. Но понеже

F

не зависи от пътя, и понеже и двата контура

C

\tilde{C}

започват в точка

A

и завършват в точка

A

, тогава трябва да е вярно твърдението, че

$\begin{array}{r} \int_{C} F \cdot d s = \int_{\tilde{C}} F \cdot d s \end{array}$ ‍

Единственият начин и двете твърдения да са верни е когато криволинейният интеграл е равен на

0

. Можем да използваме същата логика за произволен затворен контур, така че криволинейният интеграл по произволен затворен контур трябва да е равен на

0

Да разгледаме произволен затворен контур

C

, който започва и свършва в точката

A

. Да видим какво казва теоремата за градиента относно такъв контур за произволна скаларна функция

f

$\begin{array}{r} \int_{C} \nabla f \cdot d s = f (A) - f (A) = 0 \end{array}$ ‍

Следователно криволинейните интеграли по затворен контур в градиентно поле винаги са равни на нула. Тъй като току-що доказахме, че векторно поле, в което криволинейните интеграли не зависят от пътя, е градиентно поле, тогава това отговаря на въпроса.

Обратното твърдение също е вярно: Ако криволинейните интеграли във векторното поле

F

по всички затворени контури са равни на

0

, тогава всички криволинейни интеграли трябва да са независими от пътя. Защо?

Да разгледаме два различни контура

C_{1}

C_{2}

, и двата от които свързват точките

A

B

Да дефинираме затворения контур

C_{3}

, който е някаква комбинация на тези два контура, по който се придвижваме от точка

A

до точка

B

по контура

C_{1}

, после от точка

B

до точка

A

наобратно по контура

C_{2}

Криволинейният интеграл от

F

по този комбиниран контур ще бъде

$\begin{array}{r} \int_{C_{3}} F \cdot d s = \int_{C_{1}} F \cdot d s - \int_{C_{2}} F \cdot d s \end{array}$ ‍

Знакът минус е следствие от това, че се движим назад по контура

C_{2}

. Но ние знаем, че криволинейният интеграл от произволен затворен контур е

0

, а контурът

C_{3}

е затворен, следователно

$\begin{array}{r} \int_{C_{3}} F \cdot d s = 0 \end{array}$ ‍

Заедно тези уравнения означават, че

$\begin{aligned} \int_{C_{1}} F \cdot d s & - \int_{C_{2}} F \cdot d s = 0 \\ ⇓ \\ \int_{C_{1}} F \cdot d s & = \int_{C_{2}} F \cdot d s \end{aligned}$ ‍

Понеже контурите

C_{1}

C_{2}

са произволно избрани, това означава, че всички криволинейни интеграли във векторното поле

F

не зависят от пътя.

Интересен начин за записване на интегралите по затворен контур.

Понякога ще срещаш криволинейни интеграли по затворен контур

C

записани по следния начин:

\begin{array}{r} \oint_{C} F \cdot d r \end{array}

Не се притеснявай – това не е нова операция, която трябва да учиш. Това е просто криволинеен интеграл, изчислен по съвсем същия начин както досега, но тук целта е да се привлече вниманието на читателя, че контурът

C

е затворен контур.

Потенциална енергия

Във встъпителната статия относно криволинейни интеграли във векторно поле, че във физиката работата, извършена то някаква сила върху движещ се обект, се изчислява с помощта на криволинеен интеграл във векторното поле на силата по контура на движение на обекта.

\begin{array}{r} W = \int_{C} F \cdot d s \end{array}

Една сила се нарича потенциална (консервативна), когато работата, която тя извършва върху движещ се обект от произволна точка

A

до някаква друга точка

B

е винаги една и съща и не зависи от пътя на обекта между двете точки. С други думи, когато криволинейният интеграл е винаги независим от пътя. Фундаменталните сили като гравитацията и електричната сила са потенциални (консервативни) сили, а пословичен пример за непотенциална сила е силата на триене.

Това има интересни следствие въз основа на обсъденото по-горе: ако една сила е потенциална, тогава тя трябва да е градиент на някаква функция.

F = \nabla U

Освен това, според теоремата на градиента, работата извършена от тази сила върху даден обект, движещ се от точка

A

до точка

B

може да се изчисли просто като изчислим тази функция

U

във всяка от точките:

\begin{aligned} W & = \int_{C} F \cdot d s \\ = \int_{C} \nabla U \cdot d s \\ = U (B) - U (A) \end{aligned}

Тук студентите по физика веднага се досещат, че тази функция

U

е потенциалната енергия. Например, когато вземем градиента на гравитационния потенциал или на електричния потенциал, ще получим съответно гравитационната сила или електричната сила. Това е причината изчисляването на работата, извършена от потенциална (консервативна) сила, да може да се опрости до сравняване на потенциалните енергии.

Това означава също така, че не съществува "потенциална енергия на триене", тъй като триенето не е потенциална сила.

Ешер

Да се пренесем от физиката в изобразителното изкуство с класическия шедьовър на Ешер "Изкачване и слизане", в който художникът е представил свят, в който изглежда, че гравитацията не е потенциална сила.

От гледна точка на затворения контур:

Представи си, че се изкачваш по посока на часовниковата стрелка по тези стълби. След всяко стъпало гравитацията би трябвало да извършва отрицателна работа върху теб. Ако интегрираме работата по целия затворен контур, общата работа на гравитацията върху теб ще е доста голяма отрицателна стойност. Обаче това е интеграл по затворена контур, затова фактът, че той не е равен на нула означава, че силата, която действа върху теб, не е потенциална.

От гледна точка на независимостта от пътя

Представи си, че се придвижваш от кулата в десния ъгъл до кулата в левия ъгъл. Ако изминеш този път по посока на часовниковата стрелка, работата извършена от гравитацията върху теб, ще е отрицателна. Ако изминеш пътя по посока обратна на часовниковата стрелка, работата, извършена върху теб, ще е положителна. Тъй като и двата пътя започват и завършват в една и съща точка, не важи свойството за независимост от пътя, следователно гравитационното поле не е потенциално.

От гледна точка на градиента:

В реалния свят гравитационният потенциал зависи от височината, защото работата, извършвана от гравитацията, е пропорционална на промяната на височината. Това, което прави картината на Ешер изумителна, е внушението, че височината няма значение. Изкачването по много стъпала нагоре без слизане по стъпала надолу те връща отново в изходната точка. Това съответства на факта, че няма потенциална функция $U$ ‍, такава че $\nabla U$ ‍ да е нейното градиентно поле.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила

Сортирай по:

Все още няма публикации.

Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.