Основно съдържание

Анализ на функции на много променливи

Курс: Анализ на функции на много променливи > Раздел 4

Урок 4: Криволинеен интеграл във векторно поле (статии)

Нормала към крива

Класна стая на Google

За дадена крива в две измерения можем да намерим функция, която ни връща единичния нормален вектор към кривата.

Преговор

Производни на векторни функции

Основни идеи

Единичният нормален вектор към двумерна крива е вектор с дължина 1, който е перпендикулярен към кривата в дадената точка.
Обикновено търсим функцията, която ни дава всички възможни единични нормални вектори към дадена крива, а не само един отделен единичен вектор.
Определянето на единичния нормален вектор към двумерна крива изисква следните стъпки:
- Намиране на допирателния вектор, като за целта намираме производната на параметричната функция, дефинираща кривата.
  - Ротация на допирателния вектор на 90, degrees, което означава да разменим местата на координатите х и у и да поставим знак минус на една от тях.
  - Нормализиране, което означава да разделим получения вектор на собствената му дължина.
В общия случай полученият резултат ще изглежда по следния начин:

$\displaystyle \dfrac{1}{ds} \left[ \begin{array}{c} -dy \\ dx \end{array} \right]$

За някаква малка стъпка по протежение на кривата можем да вземем d, x като x-компонент на тази стъпка, d, y като y-компонент на тази стъпка, и d, s като дължина на стъпката.

Пример: Нормален вектор към синусоида

Дадена е графиката на функцията f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, sine, left parenthesis, x, right parenthesis.

Представи си, че търсим функцията, която ни дава единичните нормални вектори към тази крива (ако искаме да изчислим потока през нея, например). С други думи, за всяка точка от кривата искаме да намерим координатите на вектора, който е перпендикулярен на кривата, и има дължина 1.

Това означава, че търсим функция, която може да приеме като аргумент всяка точка от кривата, и нейната изходна стойност е вектор с дължина 1, който е перпендикулярен на кривата в тази точка.

Предварителна стъпка 0: Параметризиране

Преди всичко друго трябва да параметризираме нашата крива. Превръщането на графиката на една функция в параметрична функция е доста лесно. Заместваме x с параметъра t:

$\displaystyle \vec{\textbf{v}}(t) = \left[ \begin{array}{c} t \\ \sin(t) \end{array} \right]$

Наричаме това "Стъпка 0", защото много често кривата е дефинирана параметрично в условието на задачата, така че един вид получаваш тази услуга безплатно.

За нашия единичен нормален вектор това означава, че намираме втора векторна функция, която приема като аргумент параметъра t, но на изхода вместо точки от самата окръжност получаваме като изходни стойности единични вектори, които са нормални към кривата в точката, т.е. start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, right parenthesis.

Стъпка 1: Намиране на допирателен вектор

Производната на една параметрична функция е равна на допирателния вектор към кривата:

Ако това е непознато за теб, можеш да преговориш статията за производни на векторни функции.

Ето как изглежда това:

$\displaystyle \dfrac{d \vec{\textbf{v}}}{dt} = \left[ \begin{array}{c} \dfrac{d}{dt}(t) \\\\ \dfrac{d}{dt}(\sin(t)) \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} 1 \\ \cos(t) \end{array} \right]$

Например, ако въведем във функция t, equals, pi, ще получим следния вектор:

$\displaystyle \dfrac{d \vec{\textbf{v}}}{dt}(\pi) = \left[ \begin{array}{c} 1 \\ \cos(\pi) \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} 1 \\ -1 \end{array} \right]$

Когато преместим този вектор така, че неговото начало да е в точката start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, pi, right parenthesis, което за нашата синусова крива е точката left parenthesis, pi, ;, 0, right parenthesis, този вектор е допирателен към кривата.

Стъпка 2: Завъртане на вектора на 90, degrees

За да превърнем допирателния вектор в нормален, трябва да го завъртим на 90, degrees. Как можем да направим това? Разменяме местата на двата компонента на вектора и поставяме знак минус на единия от тях:

$\displaystyle \left[ \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right] \rightarrow \left[ \begin{array}{c} -y \\ x \end{array} \right]$

Как избираме на кой от двата компонента да поставим знак минус? Ако завъртаме обратно на часовниковата стрелка, тогава поставяме знак минус на първия компонент; ако завъртаме по часовниковата стрелка, тогава поставяме знак минус на втория компонент.

В нашия случай искаме да завъртим допирателния вектор обратно на часовниковата стрелка, така че да сочи нагоре:

$\displaystyle \underbrace{ \left[ \begin{array}{c} 1 \\ \cos(t) \end{array} \right] }_{\text{Допирателен вектор}} \rightarrow \underbrace{ \left[ \begin{array}{c} -\cos(t) \\ 1 \end{array} \right] }_{\text{Норамлен вектор}}$

Стъпка 3: Мащабираме дължината на вектора да е 1

Страхотно! Получихме нормален вектор. За да стане този вектор единичен нормален вектор, трябва да разделим на неговата собствена дължина. В нашия конкретен пример тази дължина е както следва:

$\displaystyle \left|\left| \left[ \begin{array}{c} -\cos(t) \\ 1 \end{array} \right] \right|\right| = \sqrt{\cos^2(t) + 1^2}$

Следователно нашата функция от единичния нормален вектор start color #0d923f, start bold text, n, end bold text, with, hat, on top, end color #0d923f, left parenthesis, t, right parenthesis изглежда по следния начин:

$\displaystyle \greenE{\hat{\textbf{n}}}(t) = \left[ \begin{array}{c} -\cos(t) / \sqrt{\cos^2(t) + 1^2} \\\\ 1 / \sqrt{\cos^2(t) + 1^2} \end{array} \right]$

Обобщение

Да обобщим стъпките от този пример, за да видим как можем да ги използваме при произволна параметрична крива.

Стъпка 0: Проверяваме дали кривата е параметризирана
Стъпка 1: Намираме допирателния вектор към кривата като диференцираме параметричната функция:
$\displaystyle \dfrac{d\vec{\textbf{v}}}{dt} = \left[ \begin{array}{c} x'(t) \\ y'(t) \end{array} \right]$
Стъпка 2: Завъртаме вектора на 90, degrees, като разменяме местата на компонентите му и поставяме знак минус на единия от тях.

$\displaystyle \underbrace{ \left[ \begin{array}{c} x'(t) \\ y'(t) \end{array} \right] }_{\text{Допирателен вектор}} \rightarrow \underbrace{ \left[ \begin{array}{c} -y'(t) \\ x'(t) \end{array} \right] }_{\text{Норамлен вектор}}$

Стъпка 3: За да превърнем този вектор в единичен нормален вектор, разделяме на неговата дължина:

$\displaystyle \dfrac{1}{\sqrt{x'(t)^2 + y'(t)^2}} \left[ \begin{array}{c} -y'(t) \\ x'(t) \end{array} \right]$

Ако предпочиташ, можеш да разглеждаш този процес чрез диференциали, като всяка малка стъпка по контура е представена чрез вектора

\left[\begin{array}{c} dx \\dy \end{array}\right]

. Дължината на тази стъпка е d, s, equals, square root of, d, x, squared, plus, d, y, squared, end square root. Когато използваме тази терминология, можем да запишем единичния нормален вектор по следния начин:

$\displaystyle \greenE{\hat{\textbf{n}}} = \dfrac{1}{ds} \left[ \begin{array}{c} -dy \\ dx \end{array} \right]$

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила

Сортирай по:

Все още няма публикации.

Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.