Основно съдържание

Курс: Анализ на функции на много променливи > Раздел 4

Урок 4: Криволинеен интеграл във векторно поле (статии)

Нормала към крива

Класна стая на Google

За дадена крива в две измерения можем да намерим функция, която ни връща единичния нормален вектор към кривата.

Преговор

Производни на векторни функции

Основни идеи

Единичният нормален вектор към двумерна крива е вектор с дължина $1$ ‍, който е перпендикулярен към кривата в дадената точка.
Обикновено търсим функцията, която ни дава всички възможни единични нормални вектори към дадена крива, а не само един отделен единичен вектор.
Определянето на единичния нормален вектор към двумерна крива изисква следните стъпки:
- Намиране на допирателния вектор, като за целта намираме производната на параметричната функция, дефинираща кривата.
  - Ротация на допирателния вектор на $90^{\circ}$ ‍, което означава да разменим местата на координатите х и у и да поставим знак минус на една от тях.
  - Нормализиране, което означава да разделим получения вектор на собствената му дължина.
В общия случай полученият резултат ще изглежда по следния начин:

$\frac{1}{d s} [\begin{matrix} - d y \\ d x \end{matrix}]$ ‍

За някаква малка стъпка по протежение на кривата можем да вземем

d x

като

x

-компонент на тази стъпка,

d y

като

y

-компонент на тази стъпка, и

d s

като дължина на стъпката.

Пример: Нормален вектор към синусоида

Дадена е графиката на функцията

f (x) = \sin (x)

Представи си, че търсим функцията, която ни дава единичните нормални вектори към тази крива (ако искаме да изчислим потока през нея, например). С други думи, за всяка точка от кривата искаме да намерим координатите на вектора, който е перпендикулярен на кривата, и има дължина

1

Това означава, че търсим функция, която може да приеме като аргумент всяка точка от кривата, и нейната изходна стойност е вектор с дължина

1

, който е перпендикулярен на кривата в тази точка.

Предварителна стъпка 0: Параметризиране

Преди всичко друго трябва да параметризираме нашата крива. Превръщането на графиката на една функция в параметрична функция е доста лесно. Заместваме

x

с параметъра

t

$\vec{v} (t) = [\begin{matrix} t \\ \sin (t) \end{matrix}]$ ‍

Наричаме това "Стъпка

0

", защото много често кривата е дефинирана параметрично в условието на задачата, така че един вид получаваш тази услуга безплатно.

За нашия единичен нормален вектор това означава, че намираме втора векторна функция, която приема като аргумент параметъра

t

, но на изхода вместо точки от самата окръжност получаваме като изходни стойности единични вектори, които са нормални към кривата в точката, т.е.

\vec{v} (t)

Стъпка 1: Намиране на допирателен вектор

Производната на една параметрична функция е равна на допирателния вектор към кривата:

Ако това е непознато за теб, можеш да преговориш статията за производни на векторни функции.

Ето как изглежда това:

$\frac{d \vec{v}}{d t} = [\begin{matrix} \frac{d}{d t} (t) \\ \frac{d}{d t} (\sin (t)) \end{matrix}] = [\begin{matrix} 1 \\ \cos (t) \end{matrix}]$ ‍

Например, ако въведем във функция

t = π

, ще получим следния вектор:

$\frac{d \vec{v}}{d t} (π) = [\begin{matrix} 1 \\ \cos (π) \end{matrix}] = [\begin{matrix} 1 \\ - 1 \end{matrix}]$ ‍

Когато преместим този вектор така, че неговото начало да е в точката

\vec{v} (π)

, което за нашата синусова крива е точката

(π; 0)

, този вектор е допирателен към кривата.

Стъпка 2: Завъртане на вектора на $90^{\circ}$ ‍

За да превърнем допирателния вектор в нормален, трябва да го завъртим на

90^{\circ}

. Как можем да направим това? Разменяме местата на двата компонента на вектора и поставяме знак минус на единия от тях:

$[\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}] \to [\begin{matrix} - y \\ x \end{matrix}]$ ‍

Как избираме на кой от двата компонента да поставим знак минус? Ако завъртаме обратно на часовниковата стрелка, тогава поставяме знак минус на първия компонент; ако завъртаме по часовниковата стрелка, тогава поставяме знак минус на втория компонент.

В нашия случай искаме да завъртим допирателния вектор обратно на часовниковата стрелка, така че да сочи нагоре:

$\underset{Допирателен вектор}{\underset{⏟}{[\begin{matrix} 1 \\ \cos (t) \end{matrix}]}} \to \underset{Норамлен вектор}{\underset{⏟}{[\begin{matrix} - \cos (t) \\ 1 \end{matrix}]}}$ ‍

Стъпка 3: Мащабираме дължината на вектора да е $1$ ‍

Страхотно! Получихме нормален вектор. За да стане този вектор единичен нормален вектор, трябва да разделим на неговата собствена дължина. В нашия конкретен пример тази дължина е както следва:

$| | [\begin{matrix} - \cos (t) \\ 1 \end{matrix}] | | = \sqrt{\cos^{2} (t) + 1^{2}}$ ‍

Следователно нашата функция от единичния нормален вектор

\hat{n} (t)

изглежда по следния начин:

$\hat{n} (t) = [\begin{matrix} - \cos (t) / \sqrt{\cos^{2} (t) + 1^{2}} \\ 1 / \sqrt{\cos^{2} (t) + 1^{2}} \end{matrix}]$ ‍

Обобщение

Да обобщим стъпките от този пример, за да видим как можем да ги използваме при произволна параметрична крива.

Стъпка 0: Проверяваме дали кривата е параметризирана
Стъпка 1: Намираме допирателния вектор към кривата като диференцираме параметричната функция:
$\frac{d \vec{v}}{d t} = [\begin{matrix} x^{'} (t) \\ y^{'} (t) \end{matrix}]$ ‍
Стъпка 2: Завъртаме вектора на $90^{\circ}$ ‍, като разменяме местата на компонентите му и поставяме знак минус на единия от тях.

$\underset{Допирателен вектор}{\underset{⏟}{[\begin{matrix} x^{'} (t) \\ y^{'} (t) \end{matrix}]}} \to \underset{Норамлен вектор}{\underset{⏟}{[\begin{matrix} - y^{'} (t) \\ x^{'} (t) \end{matrix}]}}$ ‍

Стъпка 3: За да превърнем този вектор в единичен нормален вектор, разделяме на неговата дължина:

$\frac{1}{\sqrt{x^{'} (t)^{2} + y^{'} (t)^{2}}} [\begin{matrix} - y^{'} (t) \\ x^{'} (t) \end{matrix}]$ ‍

Ако предпочиташ, можеш да разглеждаш този процес чрез диференциали, като всяка малка стъпка по контура е представена чрез вектора

[\begin{matrix} d x \\ d y \end{matrix}]

. Дължината на тази стъпка е

d s = \sqrt{d x^{2} + d y^{2}}

. Когато използваме тази терминология, можем да запишем единичния нормален вектор по следния начин:

$\hat{n} = \frac{1}{d s} [\begin{matrix} - d y \\ d x \end{matrix}]$ ‍

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила

Сортирай по:

Все още няма публикации.

Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.

Анализ на функции на много променливи