If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

Анализ на функции на много променливи

Курс: Анализ на функции на много променливи > Раздел 4

Урок 4: Криволинеен интеграл във векторно поле (статии)
Математика
Анализ на функции на много променливи
Интегриране на функции на много променливи
Криволинеен интеграл във векторно поле (статии)
© 2023 Khan AcademyУсловия за ползванеДекларация за поверителностПолитика за Бисквитки

Теорема за градиента

Класна стая на Google
Тази теорема е позната още и като градиентна теорема и фундаментална теорема за пресмятане на криволинейни интеграли. Тя обобщава фундаменталната теорема на анализа за криволинейни интеграли във векторно поле.

Преговор

Само ако искаш да разбереш и доказателството:

Основни идеи

  • Теоремата за градиента, наричана също така "Градиентна теорема" и "Фундаментална теорема за пресмятане на криволинейни интеграли", гласи следното:
    ∫ab∇f(r⃗(t))⋅r⃗′(t)dt=f(r⃗(b))−f(r⃗(a))\begin{aligned} \int_a^b \nabla \blueE{f}(\greenE{\vec{\textbf{r}}}(t)) \cdot \redE{\vec{\textbf{r}}'}(t)dt = \blueE{f}(\greenE{\vec{\textbf{r}}}(b)) - \blueE{f}(\greenE{\vec{\textbf{r}}}(a)) \end{aligned}
  • Всяка страна на равенството описва промяната в стойността на start color #0c7f99, f, end color #0c7f99 при движение по траекторията, описана от start color #0d923f, start bold text, r, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, right parenthesis, end color #0d923f.
  • От теоремата следва, че градиентните векторни полета са независими от пътя, тоест че криволинейните интеграли по две криви с еднакви начални и крайни точки са винаги равни.

Твърдение

Фундаменталната теорема на анализа гласи, че
∫abg′(t)dt=g(b)−g(a)\begin{aligned} \int_a^b g'(t)dt = g(b) - g(a) \end{aligned}
В известен смисъл тя гласи, че интегрирането е обратно на диференцирането.
Теоремата за градиента, наричана още "Фундаментална теорема за пресмятане на криволинейни интеграли" е обобщение на "Фундаменталната теорема на анализа" за повече измерения. Тя гласи, че криволинейният интеграл във векторно поле е обратен на градиента. Твърдението на теоремата е следното:
∫ab∇f(r⃗(t))⋅r⃗′(t)dt=f(r⃗(b))−f(r⃗(a))\begin{aligned} \int_a^b \nabla \blueE{f}(\greenE{\vec{\textbf{r}}}(t)) \cdot \redE{\vec{\textbf{r}}'}(t)dt = \blueE{f}(\greenE{\vec{\textbf{r}}}(b)) - \blueE{f}(\greenE{\vec{\textbf{r}}}(a)) \end{aligned}
където
  • start color #0c7f99, f, end color #0c7f99 е скаларна функция на много променливи.
  • del, start color #0c7f99, f, end color #0c7f99 е градиентът на start color #0c7f99, f, end color #0c7f99.
  • start color #0d923f, start bold text, r, end bold text, with, vector, on top, end color #0d923f, left parenthesis, t, right parenthesis е параметризация на траекторията на дадена крива в дефиниционната област на start color #0c7f99, f, end color #0c7f99.
  • start bold text, r, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, a, right parenthesis и start bold text, r, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, b, right parenthesis са началната и крайната точка на траекторията.
  • start color #bc2612, start bold text, r, end bold text, with, vector, on top, prime, end color #bc2612, left parenthesis, t, right parenthesis е производната на start color #0d923f, start bold text, r, end bold text, with, vector, on top, end color #0d923f, left parenthesis, t, right parenthesis, пресметната по компоненти както винаги.
Често се среща и следният съкратен запис, който не споменава параметризацията на кривата start bold text, r, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, right parenthesis:
∫C∇f⋅ds=f(B)−f(A)\begin{aligned} \int_C \nabla f \cdot d\textbf{s} = f(B) - f(A) \end{aligned}
Тук C е самата крива, A е началната точка, а B е крайната точка. d, start bold text, s, end bold text е малка стъпка по дължината на C.
Теоремата гласи накратко, че криволинейният интеграл на градиента на дадена функция f е просто разликата от стойностите на f в началото и в края на кривата.

Логическото обяснение

Значението на тази формула става очевидно, когато разгледаме всеки член поотделно. Разглеждаме два основни обекта:
  • Крива в пространството (да речем двумерно).
  • Функция f, чиито аргументи са точките от тази крива, и чиито стойности са скаларни.
Помисли как стойността на функцията f се променя по кривата. Следното видео изобразява графиката на f в синьо, траекторията в равнината x, y в червено и проекцията на траекторията върху графиката на функцията също в червено.
Видео плейър на видеоклиповете в Кан Академия
Виж видео транскрипцията
Как можем да пресметнем промяната на височината на графиката по червената крива?
Вместо да проектираме траекторията върху графиката на f, можем да пресметнем градиента на f (векторно поле, състоящо се от векторите del, f):
Нека се върнем към твърдението на теоремата:
∫ab∇f(r⃗(t))⋅r⃗′(t)dt=f(r(b))−f(r(a))\begin{aligned} \int_a^b \blueE{\nabla f(\vec{\textbf{r}}(t))} \cdot \redE{\vec{\textbf{r}}'(t)dt} = f(\textbf{r}(b)) - f(\textbf{r}(a)) \end{aligned}
Помисли по следните няколко въпроса за лявата страна на това равенство.
Упражнение 1: Ако разглеждаме d, t като малко изместване на параметъра t, какво изразява векторът start color #bc2612, start bold text, r, end bold text, with, vector, on top, prime, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t, end color #bc2612?
Избери всички правилни отговори:

Упражнение 2: Какво изразява скаларното произведение
del, f, left parenthesis, P, right parenthesis, dot, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top
където P е точка в пространството, а start bold text, v, end bold text, with, vector, on top е някакъв вектор?
Избери всички правилни отговори:

Упражнение 3: Предвид тези два факта, как можем да тълкуваме скаларното произведение start color #0c7f99, del, f, left parenthesis, start bold text, r, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, right parenthesis, right parenthesis, end color #0c7f99, dot, start color #bc2612, start bold text, r, end bold text, with, vector, on top, prime, left parenthesis, t, right parenthesis, end color #bc2612?
Избери всички правилни отговори:

Упражнение 4: И последно, какво означава интегралът
∫ab∇f(r⃗(t))⋅r⃗′(t)dt\begin{aligned} \int_a^b \blueE{\nabla f(\vec{\textbf{r}}(t))} \cdot \redE{\vec{\textbf{r}}'(t)dt} \end{aligned}
Избери всички правилни отговори:

От друга страна, можем да пресметнем промяната на стойността на f от началото до края на кривата просто като разликата на двете стойности:
f, left parenthesis, start bold text, r, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, b, right parenthesis, right parenthesis, minus, f, left parenthesis, start bold text, r, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, a, right parenthesis, right parenthesis
С други думи, лявата и дясната страна на равенството от теоремата за градиента пресмятат едно и също нещо - изменението на f при движение по зададената крива - само че лявата страна го пресмята стъпка по стъпка, а дясната го пресмята директно.
∫ab∇f(r⃗(t))⋅r⃗′(t)dt=f(r⃗(b))−f(r⃗(a))\begin{aligned} \int_a^b \blueE{\nabla f(\vec{\textbf{r}}(t))} \cdot \redE{\vec{\textbf{r}}'(t)dt} = f(\vec{\textbf{r}}(b)) - f(\vec{\textbf{r}}(a)) \end{aligned}

Бързо доказателство

От правилото за диференциране на сложна функция на много променливи имаме, че
ddtf(r⃗(t))=∇f(r⃗(t))⋅r⃗′(t)\begin{aligned} \dfrac{d}{dt} f(\vec{\textbf{r}}(t)) = \nabla f(\vec{\textbf{r}}(t)) \cdot \vec{\textbf{r}}'(t) \end{aligned}
Заместваме в лявата страна на равенството и получаваме фундаменталната теорема на математическия анализ
=∫ab∇f(r⃗(t))⋅r⃗′(t)dt=∫abddtf(r⃗(t))dt=f(r⃗(b))−f(r⃗(a))\begin{aligned} &\phantom{=} \int_a^b \nabla f(\vec{\textbf{r}}(t)) \cdot \vec{\textbf{r}}'(t)dt \\\\ &= \int_a^b \dfrac{d}{dt} f(\vec{\textbf{r}}(t))dt \\\\ &= f(\vec{\textbf{r}}(b)) - f(\vec{\textbf{r}}(a)) \end{aligned}
Готово!
Основният инструмент на това доказателство е фундаменталната теорема на анализа, подпомогната от правилото за диференциране на сложна функция на много променливи. Обърни внимание, че това лесно доказателство в три реда всъщност описва логическите идеи, които разгледахме по-горе.
В използването на големи и мощни теореми няма нищо лошо, разбира се. Тяхното отбягване даже би било глупаво. Но въпреки това, често основните идеи на дадено доказателство се "крият" зад машиналното прилагане на подобни резултати. Затова когато си изправен/а пред такива доказателства, опитай се да вникнеш в самостоятелното значение на доказвания резултат.

Пример: Синусоида

Нека функцията f е
f, left parenthesis, x, ;, y, right parenthesis, equals, x, squared, plus, y, squared
Нека C е кривата
r⃗(t)=[tsin⁡(t)]\begin{aligned} \vec{\textbf{r}}(t) = \left[ \begin{array}{c} t \\ \sin(t) \end{array} \right] \end{aligned}
в интервала между t, equals, 0 и t, equals, 2, pi.
Да се пресметне интегралът
∫C∇f⋅ds\begin{aligned} \int_C \nabla f \cdot d\textbf{s} \end{aligned}

Решение 1: Старомодният начин

Можем да заместим всички функции и стойности в интеграла и да го пресметнем. За да направим това, първо пресмятаме градиента на f, left parenthesis, x, ;, y, right parenthesis, equals, x, squared, plus, y, squared.
На колко е равен градиентът del, f?
Избери един отговор:

Освен това ще заместим производната на r⃗(t)=[tsin⁡(t)] \vec{\textbf{r}}(t) = \left[\begin{array}{c} t \\ \sin(t) \end{array} \right] .
На колко е равна производната start bold text, r, end bold text, with, vector, on top, prime, left parenthesis, t, right parenthesis?
Избери един отговор:

След заместването на колко е равен криволинейният интеграл?
∫C∇f⋅ds=\begin{aligned} \int_C \nabla f \cdot d\textbf{s} = \end{aligned}

Решение 2: Прилагане на теоремата за градиента

С помощта на теоремата за градиента можем да прескочим няколко стъпки от предишното решение, като например пресмятането на градиента на f и производната на start bold text, r, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, right parenthesis.
Опитай да пресметнеш интеграла сам/а.
Ако се върнеш пак към първото решение, ще забележиш, че първо пресметнахме производните на x, squared, plus, y, squared, t и sine, left parenthesis, t, right parenthesis, а след това отново интегрирахме получените функции.
Подобни упражнения помагат в изграждането на интуиция за връзката между теоремата за градиента и фундаменталната теорема на анализа.

Независимост от пътя

Теоремата за градиента има едно изключително важно следствие за полета, породени от градиента на друго векторно поле. Дадени са две криви C, start subscript, 1, end subscript и C, start subscript, 2, end subscript с крайни точки A и B. Тези криви представляват траектории през градиентното поле на функцията f:
Според теоремата за градиента криволинейните интеграли от del, f по всяка една от тези криви са равни помежду си, тъй като стойността им зависи само от стойността на f в двете крайни точки A и B:
∫C1∇f⋅dr=f(B)−f(A)=∫C2∇f⋅dr\begin{aligned} \int_{C_1} \nabla f \cdot d\textbf{r} = f(B) - f(A) = \int_{C_2} \nabla f \cdot d\textbf{r} \end{aligned}
Ще разгледаме това още по-задълбочено в следващата статия за консервативни векторни полета.

Обобщение

  • Теоремата за градиента, наричана също така "Градиентна теорема" и "Фундаментална теорема за пресмятане на криволинейни интеграли", гласи следното:
    ∫ab∇f(r⃗(t))⋅r⃗′(t)dt=f(r⃗(b))−f(r⃗(a))\begin{aligned} \int_a^b \nabla \blueE{f}(\greenE{\vec{\textbf{r}}}(t)) \cdot \redE{\vec{\textbf{r}}'}(t)dt = \blueE{f}(\greenE{\vec{\textbf{r}}}(b)) - \blueE{f}(\greenE{\vec{\textbf{r}}}(a)) \end{aligned}
  • Всяка страна на равенството описва промяната в стойността на start color #0c7f99, f, end color #0c7f99 при движение по траекторията, описана от start color #0d923f, start bold text, r, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, right parenthesis, end color #0d923f.
  • От теоремата следва, че градиентните векторни полета са независими от пътя, тоест че криволинейните интеграли по две криви с еднакви начални и крайни точки са винаги равни.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила
Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.