Основно съдържание

Анализ на функции на много променливи

Курс: Анализ на функции на много променливи > Раздел 4

Урок 4: Криволинеен интеграл във векторно поле (статии)

Криволинеен интеграл във векторно поле

След като научихме как се използват интеграли в скаларно поле, сега ще разгледаме интеграли във векторно поле.

Преговор

Основни идеи

Дадено е векторно поле start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99 и крива start color #a75a05, C, end color #a75a05 в дефиниционното множество на полето. Обхождаме кривата и във всяка точка пресмятаме скаларното произведение на следните два вектора:

Векторът start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99 от полето в точката върху кривата.
Векторът на изместване спрямо началото на следващата стъпка по кривата.

Сумата от тези скаларни произведения е приближение на криволинейния интеграл на start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99 по кривата start color #a75a05, C, end color #a75a05

Съкратеният запис на този криволинеен интеграл е

\begin{aligned} \int_C \blueE{\textbf{F}} \cdot \redE{d\textbf{r}} \end{aligned}

(Обърни специално внимание на факта, че това е скаларно произведение)

Ако е дадена параметризацията start bold text, r, end bold text, left parenthesis, t, right parenthesis на кривата start color #a75a05, C, end color #a75a05, този интеграл е равен на

\begin{aligned} \int_a^b \blueE{\textbf{F}(\textbf{r}(t))} \cdot \redE{\textbf{r}'(t)}dt \end{aligned}

Криволинейните интеграли се използват във физиката за изчисляване на работата, извършена върху движещ се обект от дадена сила.

Ако параметризираме кривата в обратната посока на нарастването на t, стойността на криволинейния интеграл се променя с коефициент minus, 1.

Кит в небето

Китът Уили пада от небето. Заради въздушните течения неговата траектория е крива.

За този пример допускам, че си запознат/а с понятието "работа извършена от сила върху движещ се обект", и че в този случай работата е равна на скаларното произведение на вектора на силата с вектора на изместване на обекта.

[Кратко обяснение на тази идея]

Ключов въпрос: Каква е работата, извършена върху Уили от гравитацията, когато той пада по траекторията C?

Засега знаем как да пресметнем извършената работа, когато траекторията е права линия и силата е константен вектор, но какво ако траекторията е крива? Ще използваме приближение на тази крива чрез съвкупност от отсечки:

Нека означим векторите, следващи кривата, с

delta, s, with, vector, on top, start subscript, 1, end subscript, delta, s, with, vector, on top, start subscript, 2, end subscript, delta, s, with, vector, on top, start subscript, 3, end subscript, dots

Работата, извършена от гравитацията по всеки един от тези вектори, е равна на скаларното произведение на силата F, start subscript, g, end subscript, with, vector, on top с вектора на преместването:

F, start subscript, g, end subscript, with, vector, on top, dot, delta, s, with, vector, on top, start subscript, i, end subscript

Общото количество работа, извършена от силата, е

\begin{aligned} \sum_{n = 1}^N \vec{F_g} \cdot \vec{\Delta s}_n \end{aligned}

Когато дължината на векторите по кривата C клони към нула, а техният брой - към безкрайност - тази сума се превръща в интеграл:

\begin{aligned} \int_C \vec{F_g} \cdot \vec{ds} \end{aligned}

Тази дефиниция е подобна на криволинейния интеграл в скаларно поле, но тук има една ключова разлика: d, s, with, vector, on top е вектор, а не скалар. В горния интеграл F, start subscript, g, end subscript, with, vector, on top и d, s, with, vector, on top са означени като вектори. Друго означение за векторни величини е тяхното удебеляване:

\begin{aligned} \int_C \textbf{F}_g \cdot d\textbf{s} \end{aligned}

Ключов момент: Когато се движим по кривата C, събираме не стойностите на start bold text, F, end bold text, start subscript, g, end subscript във всяка точка, а компонентата на вектора start bold text, F, end bold text, start subscript, g, end subscript, еднопосочна на d, start bold text, s, end bold text - тоест, силата, която работи в посока на изместването.

Пример 1: Китът Уили

Нека довършим задачата за Уили, като пресметнем извършената работа.

Нека кривата, по която се движи китът, е

\begin{aligned} \textbf{s}(t) = \left[ \begin{array}{c} 100(t - \sin(t)) \\ 100(-t - \sin(t)) \\ \end{array} \right] \end{aligned}

Векторът d, start bold text, s, end bold text е производната на функцията, описваща кривата, по d, t:

d, start bold text, s, end bold text, equals, start fraction, d, start bold text, s, end bold text, divided by, d, t, end fraction, d, t, equals, start bold text, s, end bold text, prime, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t

Ако този тип изрази ти изглеждат непознати, върни се към статията за производни на параметрично зададени функции. С две думи, малка промяна d, t в стойността на параметъра t съответства на изместване с дължина start bold text, s, end bold text, prime, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t по кривата start bold text, s, end bold text, left parenthesis, t, right parenthesis.

За да пресметнем тази производна, просто намираме производните на всяка една от координатите:

\begin{aligned} \dfrac{d\textbf{s}}{dt} &= \left[ \begin{array}{c} \dfrac{d}{dt} 100(t - \sin(t)) \\\\ \dfrac{d}{dt} 100(-t - \sin(t)) \\\\ \end{array} \right] \\\\ \dfrac{d\textbf{s}}{dt} &= \left[ \begin{array}{c} 100(1 - \cos(t)) \\\\ 100(-1 - \cos(t)) \\\\ \end{array} \right] \end{aligned}

Гравитацията е равна на 9, comma, 8, start fraction, start text, m, end text, divided by, start text, s, end text, squared, end fraction по масата на Уили. Един син кит тежи средно около 170000, start text, к, г, end text, така че

тъй като гравитацията е вектор, насочен надолу, тя е равна на

\begin{aligned} \textbf{F}_g &= \left[ \begin{array}{c} 0 \\ -(170\,000)(9{,}8) \end{array} \right] \end{aligned}

Да кажем, че искаме да пресметнем работата, извършена от гравитацията в интервала от t, equals, 0 до t, equals, 10. Какво се получава, когато заместим всичко това в интеграла integral, start subscript, C, end subscript, start bold text, F, end bold text, start subscript, g, end subscript, dot, d, start bold text, s, end bold text и го изчислим? Опитай да го направиш самостоятелно, преди да видиш отговора.

[Отговор]

(Ако си от хората, които обичат физиката: работата може да бъде изчислена и като разликата в потенциала в началото и в края на движението. По-нататък ще разбереш повече и за т. нар. консервативни векторни полета, които също са тясно свързани с физиката.)

Как изобразяваме криволинейни интеграли

В примера за кита Уили векторното поле беше константа. Гравитацията винаги сочи надолу и е константа. Повечето векторни полета обаче не са константи и векторът, чието скаларно произведение с d, start bold text, s, end bold text искаме да пресметнем, се променя по дължината на кривата. Следната анимация показва как изглежда едно такова поле.

(Обърни внимание, че в анимацията е използвана променливата start bold text, r, end bold text вместо start bold text, s, end bold text като параметризация на кривата.)

Криволинейният интеграл е написан като

\begin{aligned} \int_C \blueE{\textbf{F}(\textbf{r})} \cdot \redE{d\textbf{r}} = \int_a^b \blueE{\textbf{F}(\textbf{r}(t))} \cdot \redE{\textbf{r}'(t)}dt \end{aligned}

където

start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99 е векторно поле, съпоставящо вектор на всяка точка от тримерното пространство. Можеш да го приемаш като някакво силово поле.
start color #a75a05, C, end color #a75a05 е крива в пространството.
start bold text, r, end bold text, left parenthesis, t, right parenthesis е параметризация на кривата start color #a75a05, C, end color #a75a05 в интервала a, is less than or equal to, t, is less than or equal to, b
start color #bc2612, start bold text, r, end bold text, prime, left parenthesis, t, right parenthesis, end color #bc2612 е производната на start bold text, r, end bold text, представяща скоростта на частица, движеща се по start bold text, r, end bold text, left parenthesis, t, right parenthesis при равномерно увеличаване на t. Умножена по d, t, тази производна дава дължината на съответното изместване по дължината на кривата, породено от малка стъпка с дължина d, t в стойността на параметъра.
Обърни внимание, че в анимацията дължината на start color #bc2612, start bold text, r, end bold text, prime, left parenthesis, t, right parenthesis, end color #bc2612 е константа. Това невинаги е вярно, тъй като при промяна на параметъра функцията start bold text, r, end bold text може да обхожда кривата start color #a75a05, C, end color #a75a05 с различна скорост. Например Уили увеличава скоростта си на падане с времето.
Окръжността долу вдясно на чертежа може да ти се стори малко объркваща. Тя показва доколко векторът start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, left parenthesis, start bold text, r, end bold text, left parenthesis, t, right parenthesis, right parenthesis, end color #0c7f99 е колинеарен с тангентния вектор start color #bc2612, start bold text, r, end bold text, prime, left parenthesis, t, right parenthesis, end color #bc2612. Сивите вектори x и y помагат в изобразяването на ориентацията на тези два вектора спрямо равнината x, y.

Упражнение: Какво представлява скаларното произведение start color #0d923f, start bold text, F, end bold text, left parenthesis, start bold text, r, end bold text, left parenthesis, t, right parenthesis, right parenthesis, dot, start bold text, r, end bold text, prime, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t, end color #0d923f?

(Избор А)
Скоростта, с която силата start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, left parenthesis, start bold text, r, end bold text, left parenthesis, t, right parenthesis, right parenthesis, end color #0c7f99 се променя спрямо параметъра t.
(Избор Б)
Компонентата на вектора start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, left parenthesis, start bold text, r, end bold text, left parenthesis, t, right parenthesis, right parenthesis, end color #0c7f99, колинеарна с посоката на тангентния вектор към start bold text, r, end bold text, left parenthesis, t, right parenthesis, умножена по дължината на малка промяна на стойността на параметъра.

Във физиката разбираме скаларното произведение

start color #0d923f, start bold text, F, end bold text, left parenthesis, start bold text, r, end bold text, left parenthesis, t, right parenthesis, right parenthesis, dot, start bold text, r, end bold text, prime, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t, end color #0d923f

като

start color #0d923f, d, W, end color #0d923f

Тоест, малко количество работа, извършено от силовото поле start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99 върху частица, движеща се по траекторията start color #a75a05, C, end color #a75a05.

Пример 2: Работа, извършена от торнадо

Дадено е векторното поле

\begin{aligned} \textbf{F}(x; y) &= \left[ \begin{array}{c} -y \\ x \end{array} \right] \end{aligned}

Това поле изглежда по следния начин:

Като силово поле това представлява въздействието на сила, въртяща всички обекти в равнината обратно на часовниковата стрелка. Например това може да е силата, породена във въздуха от торнадо. Този модел не е съвсем точен, тъй като според него силата се увеличава при отдалечаване от центъра на торнадото, но да речем, че ще наричаме модела си "опростен" и ще работим с него.

Искаме да пресметнем криволинейния интеграл на полето по окръжност с радиус 1 и център left parenthesis, 2, ;, 0, right parenthesis.

Обърни внимание, че ориентацията на кривата има значение. Работата, извършена обратно на часовниковата стрелка от торнадото, ще е равна на работата по часовниковата стрелка, но с обратен знак.

Нека разгледаме параметризация на окръжността, когато я обхождаме обратно на часовниковата стрелка.

\begin{aligned} \textbf{r}(t) &= \left[ \begin{array}{c} \cos(t) + 2 \\ \sin(t) \end{array} \right] \end{aligned}

за t от 0 до 2, pi.

Съответният интеграл, който трябва да пресметнем, е скаларното произведение на силата start bold text, F, end bold text, left parenthesis, x, ;, y, right parenthesis с d, start bold text, r, end bold text, интегрирано по цялата дължина на кривата:

\begin{aligned} \int_C \textbf{F} \cdot d\textbf{r} \end{aligned}

Стъпка 1: Разписваме интеграла

Упражнение: Кой от следните интеграли представлява

\begin{aligned} \int_C \textbf{F} \cdot d\textbf{r} \end{aligned}

(Избор А)
$\begin{aligned} \int_0^{2\pi} \textbf{F}(\textbf{r}(t)) \cdot \textbf{r}'(t)dt \end{aligned}$
(Избор Б)
$\begin{aligned} \int_a^b \textbf{F}(\textbf{r}(t); \textbf{r}'(t))dt \end{aligned}$

Стъпка 2: Заместваме дадените функции

Упражнение: На колко е равно start bold text, F, end bold text, left parenthesis, start bold text, r, end bold text, left parenthesis, t, right parenthesis, right parenthesis?

(Избор А)
$\begin{aligned} \left[ \begin{array}{c} \cos(t)+2 \\ \sin(t) \\ \end{array} \right] \end{aligned}$
(Избор Б)
$\begin{aligned} \left[ \begin{array}{c} -\sin(t) \\ \cos(t)+2 \end{array} \right] \end{aligned}$

Упражнение: На колко е равно start bold text, r, end bold text, prime, left parenthesis, t, right parenthesis?

(Избор А)
$\begin{aligned} \left[ \begin{array}{c} -\sin(t) \\ \cos(t) \end{array} \right] \end{aligned}$
(Избор Б)
$\begin{aligned} \left[ \begin{array}{c} \cos(t) \\ -\sin(t) \end{array} \right] \end{aligned}$

Стъпка 3: Решаваме интеграла

Упражнение: Замести резултатите от предишната стъпка и пресметни интеграла.

\begin{aligned} \int_C \textbf{F} \cdot d\textbf{r} \end{aligned}

Крайният резултат представлява работата, извършена от торнадото върху частица, движеща се обратно на часовниковата стрелка по окръжността.

Въпрос за размисъл: Логически погледнато, защо тази работа е положителна?

[Отговор]

Ориентацията има значение

Какво би се случило, ако в предишния пример ориентацията на окръжността беше по часовниковата стрелка? Съответната параметризация на кривата е

\begin{aligned} \textbf{r}(t) &= \left[ \begin{array}{c} \cos(t) + 2 \\ -\sin(t) \end{array} \right] \end{aligned}

Ако искаш, можеш да заместиш и отново да пресметнеш интеграла, но има много по-кратко обяснение на промяната в работата при промяна на ориентацията на окръжността. В интеграла

\begin{aligned} \int_C \textbf{F} \cdot d\textbf{r} \end{aligned}

всеки вектор d, start bold text, r, end bold text е обърнат наобратно при промяната на параметризацията.

Упражнение: Дадени са два вектора start bold text, v, end bold text и start bold text, w, end bold text, такива че start bold text, v, end bold text, dot, start bold text, w, end bold text, equals, 3. Ако обърнем вектора start bold text, v, end bold text наобратно (ротация на 180 градуса), така че start bold text, v, end bold text, start subscript, start text, n, e, w, end text, end subscript, equals, minus, start bold text, v, end bold text, на колко е равно скаларното произведение с новия вектор?

start bold text, v, end bold text, start subscript, start text, n, e, w, end text, end subscript, dot, start bold text, w, end bold text, equals

Тъй като при обръщане на векторите d, start bold text, r, end bold text скаларното произведение, което интегрираме, променя знака си с minus, 1, можем да заключим следното:

Ключов момент При обръщане на ориентацията на кривата криволинейният интеграл обръща знака си.

Обобщение

Съкратеният запис на криволинеен интеграл във векторно поле е

\begin{aligned} \int_C \blueE{\textbf{F}} \cdot \redE{d\textbf{r}} \end{aligned}

Ако е дадена параметризацията start bold text, r, end bold text, left parenthesis, t, right parenthesis на кривата start color #a75a05, C, end color #a75a05, този интеграл е равен на

\begin{aligned} \int_a^b \blueE{\textbf{F}(\textbf{r}(t))} \cdot \redE{\textbf{r}'(t)}dt \end{aligned}

Криволинейните интеграли се използват във физиката за изчисляване на работата, извършена върху движещ се обект от дадена сила.
Ако параметризираме кривата в обратната посока, стойността на криволинейния интеграл се променя с коефициент minus, 1.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила

Сортирай по:

Все още няма публикации.

Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.