If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако използваш уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

Криволинеен интеграл във векторно поле

След като научихме как се използват интеграли в скаларно поле, сега ще разгледаме интеграли във векторно поле.

Основни идеи

Ще обърнем повече внимание на анимацията по-късно.
Анимация: Лукас В. Барбоса [Публичен домейн], от Уикимедиа
Дадено е векторно поле F и крива C в дефиниционното множество на полето. Обхождаме кривата и във всяка точка пресмятаме скаларното произведение на следните два вектора:
  • Векторът F от полето в точката върху кривата.
  • Векторът на изместване спрямо началото на следващата стъпка по кривата.
Сумата от тези скаларни произведения е приближение на криволинейния интеграл на F по кривата C
Съкратеният запис на този криволинеен интеграл е
CFdr
(Обърни специално внимание на факта, че това е скаларно произведение)
Ако е дадена параметризацията r(t) на кривата C, този интеграл е равен на
abF(r(t))r(t)dt
Криволинейните интеграли се използват във физиката за изчисляване на работата, извършена върху движещ се обект от дадена сила.
Ако параметризираме кривата в обратната посока на нарастването на t, стойността на криволинейния интеграл се променя с коефициент 1.

Кит в небето

Китът Уили пада от небето. Заради въздушните течения неговата траектория е крива.
За този пример допускам, че си запознат/а с понятието "работа извършена от сила върху движещ се обект", и че в този случай работата е равна на скаларното произведение на вектора на силата с вектора на изместване на обекта.
Ключов въпрос: Каква е работата, извършена върху Уили от гравитацията, когато той пада по траекторията C?
Засега знаем как да пресметнем извършената работа, когато траекторията е права линия и силата е константен вектор, но какво ако траекторията е крива? Ще използваме приближение на тази крива чрез съвкупност от отсечки:
Нека означим векторите, следващи кривата, с
Δs1, Δs2, Δs3,
Работата, извършена от гравитацията по всеки един от тези вектори, е равна на скаларното произведение на силата Fg с вектора на преместването:
FgΔsi
Общото количество работа, извършена от силата, е
n=1NFgΔsn
Когато дължината на векторите по кривата C клони към нула, а техният брой - към безкрайност - тази сума се превръща в интеграл:
CFgds
Тази дефиниция е подобна на криволинейния интеграл в скаларно поле, но тук има една ключова разлика: ds е вектор, а не скалар. В горния интеграл Fg и ds са означени като вектори. Друго означение за векторни величини е тяхното удебеляване:
CFgds
Ключов момент: Когато се движим по кривата C, събираме не стойностите на Fg във всяка точка, а компонентата на вектора Fg, еднопосочна на ds - тоест, силата, която работи в посока на изместването.

Пример 1: Китът Уили

Нека довършим задачата за Уили, като пресметнем извършената работа.
Нека кривата, по която се движи китът, е
s(t)=[100(tsin(t))100(tsin(t))]
Векторът ds е производната на функцията, описваща кривата, по dt:
ds=dsdtdt=s(t)dt
Ако този тип изрази ти изглеждат непознати, върни се към статията за производни на параметрично зададени функции. С две думи, малка промяна dt в стойността на параметъра t съответства на изместване с дължина s(t)dt по кривата s(t).
За да пресметнем тази производна, просто намираме производните на всяка една от координатите:
dsdt=[ddt100(tsin(t))ddt100(tsin(t))]dsdt=[100(1cos(t))100(1cos(t))]
Гравитацията е равна на 9,8ms2 по масата на Уили. Един син кит тежи средно около 170000кг, така че
тъй като гравитацията е вектор, насочен надолу, тя е равна на
Fg=[0(170000)(9,8)]
Да кажем, че искаме да пресметнем работата, извършена от гравитацията в интервала от t=0 до t=10. Какво се получава, когато заместим всичко това в интеграла CFgds и го изчислим? Опитай да го направиш самостоятелно, преди да видиш отговора.
(Ако си от хората, които обичат физиката: работата може да бъде изчислена и като разликата в потенциала в началото и в края на движението. По-нататък ще разбереш повече и за т. нар. консервативни векторни полета, които също са тясно свързани с физиката.)

Как изобразяваме криволинейни интеграли

В примера за кита Уили векторното поле беше константа. Гравитацията винаги сочи надолу и е константа. Повечето векторни полета обаче не са константи и векторът, чието скаларно произведение с ds искаме да пресметнем, се променя по дължината на кривата. Следната анимация показва как изглежда едно такова поле.
(Обърни внимание, че в анимацията е използвана променливата r вместо s като параметризация на кривата.)
Анимация: Лукас В. Барбоса [Публичен домейн], от Уикимедиа
Криволинейният интеграл е написан като
CF(r)dr=abF(r(t))r(t)dt
където
  • F е векторно поле, съпоставящо вектор на всяка точка от тримерното пространство. Можеш да го приемаш като някакво силово поле.
  • C е крива в пространството.
  • r(t) е параметризация на кривата C в интервала atb
  • r(t) е производната на r, представяща скоростта на частица, движеща се по r(t) при равномерно увеличаване на t. Умножена по dt, тази производна дава дължината на съответното изместване по дължината на кривата, породено от малка стъпка с дължина dt в стойността на параметъра.
  • Обърни внимание, че в анимацията дължината на r(t) е константа. Това невинаги е вярно, тъй като при промяна на параметъра функцията r може да обхожда кривата C с различна скорост. Например Уили увеличава скоростта си на падане с времето.
  • Окръжността долу вдясно на чертежа може да ти се стори малко объркваща. Тя показва доколко векторът F(r(t)) е колинеарен с тангентния вектор r(t). Сивите вектори x и y помагат в изобразяването на ориентацията на тези два вектора спрямо равнината xy.
Упражнение: Какво представлява скаларното произведение F(r(t))r(t)dt?
Избери един отговор:

Във физиката разбираме скаларното произведение
F(r(t))r(t)dt
като
dW
Тоест, малко количество работа, извършено от силовото поле F върху частица, движеща се по траекторията C.

Пример 2: Работа, извършена от торнадо

Дадено е векторното поле
F(x;y)=[yx]
Това поле изглежда по следния начин:
Като силово поле това представлява въздействието на сила, въртяща всички обекти в равнината обратно на часовниковата стрелка. Например това може да е силата, породена във въздуха от торнадо. Този модел не е съвсем точен, тъй като според него силата се увеличава при отдалечаване от центъра на торнадото, но да речем, че ще наричаме модела си "опростен" и ще работим с него.
Искаме да пресметнем криволинейния интеграл на полето по окръжност с радиус 1 и център (2;0).
Обърни внимание, че ориентацията на кривата има значение. Работата, извършена обратно на часовниковата стрелка от торнадото, ще е равна на работата по часовниковата стрелка, но с обратен знак.
Нека разгледаме параметризация на окръжността, когато я обхождаме обратно на часовниковата стрелка.
r(t)=[cos(t)+2sin(t)]
за t от 0 до 2π.
Съответният интеграл, който трябва да пресметнем, е скаларното произведение на силата F(x;y) с dr, интегрирано по цялата дължина на кривата:
CFdr

Стъпка 1: Разписваме интеграла

Упражнение: Кой от следните интеграли представлява CFdr?
Избери един отговор:

Стъпка 2: Заместваме дадените функции

Упражнение: На колко е равно F(r(t))?
Избери един отговор:

Упражнение: На колко е равно r(t)?
Избери един отговор:

Стъпка 3: Решаваме интеграла

Упражнение: Замести резултатите от предишната стъпка и пресметни интеграла.
CFdr =

Крайният резултат представлява работата, извършена от торнадото върху частица, движеща се обратно на часовниковата стрелка по окръжността.
Въпрос за размисъл: Логически погледнато, защо тази работа е положителна?

Ориентацията има значение

Какво би се случило, ако в предишния пример ориентацията на окръжността беше по часовниковата стрелка? Съответната параметризация на кривата е
r(t)=[cos(t)+2sin(t)]
Ако искаш, можеш да заместиш и отново да пресметнеш интеграла, но има много по-кратко обяснение на промяната в работата при промяна на ориентацията на окръжността. В интеграла
CFdr,
всеки вектор dr е обърнат наобратно при промяната на параметризацията.
Упражнение: Дадени са два вектора v и w, такива че vw=3. Ако обърнем вектора v наобратно (ротация на 180 градуса), така че vnew=v, на колко е равно скаларното произведение с новия вектор?
vneww=

Тъй като при обръщане на векторите dr скаларното произведение, което интегрираме, променя знака си с 1, можем да заключим следното:
Ключов момент При обръщане на ориентацията на кривата криволинейният интеграл обръща знака си.

Обобщение

  • Съкратеният запис на криволинеен интеграл във векторно поле е
CFdr
abF(r(t))r(t)dt
  • Криволинейните интеграли се използват във физиката за изчисляване на работата, извършена върху движещ се обект от дадена сила.
  • Ако параметризираме кривата в обратната посока, стойността на криволинейния интеграл се променя с коефициент 1.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.