Основно съдържание
Анализ на функции на много променливи
Курс: Анализ на функции на много променливи > Раздел 4
Урок 4: Криволинеен интеграл във векторно поле (статии)Криволинеен интеграл във векторно поле
След като научихме как се използват интеграли в скаларно поле, сега ще разгледаме интеграли във векторно поле.
Основни идеи
Дадено е векторно поле и крива в дефиниционното множество на полето. Обхождаме кривата и във всяка точка пресмятаме скаларното произведение на следните два вектора:
- Векторът
от полето в точката върху кривата. - Векторът на изместване спрямо началото на следващата стъпка по кривата.
Сумата от тези скаларни произведения е приближение на криволинейния интеграл на по кривата
Съкратеният запис на този криволинеен интеграл е
(Обърни специално внимание на факта, че това е скаларно произведение)
Криволинейните интеграли се използват във физиката за изчисляване на работата, извършена върху движещ се обект от дадена сила.
Ако параметризираме кривата в обратната посока на нарастването на , стойността на криволинейния интеграл се променя с коефициент .
Кит в небето
Китът Уили пада от небето. Заради въздушните течения неговата траектория е крива.
За този пример допускам, че си запознат/а с понятието "работа извършена от сила върху движещ се обект", и че в този случай работата е равна на скаларното произведение на вектора на силата с вектора на изместване на обекта.
Ключов въпрос: Каква е работата, извършена върху Уили от гравитацията, когато той пада по траекторията ?
Засега знаем как да пресметнем извършената работа, когато траекторията е права линия и силата е константен вектор, но какво ако траекторията е крива? Ще използваме приближение на тази крива чрез съвкупност от отсечки:
Нека означим векторите, следващи кривата, с
Работата, извършена от гравитацията по всеки един от тези вектори, е равна на скаларното произведение на силата с вектора на преместването:
Общото количество работа, извършена от силата, е
Когато дължината на векторите по кривата клони към нула, а техният брой - към безкрайност - тази сума се превръща в интеграл:
Тази дефиниция е подобна на криволинейния интеграл в скаларно поле, но тук има една ключова разлика: е вектор, а не скалар. В горния интеграл и са означени като вектори. Друго означение за векторни величини е тяхното удебеляване:
Ключов момент: Когато се движим по кривата , събираме не стойностите на във всяка точка, а компонентата на вектора , еднопосочна на - тоест, силата, която работи в посока на изместването.
Пример 1: Китът Уили
Нека довършим задачата за Уили, като пресметнем извършената работа.
Нека кривата, по която се движи китът, е
Векторът е производната на функцията, описваща кривата, по :
Ако този тип изрази ти изглеждат непознати, върни се към статията за производни на параметрично зададени функции. С две думи, малка промяна в стойността на параметъра съответства на изместване с дължина по кривата .
За да пресметнем тази производна, просто намираме производните на всяка една от координатите:
Гравитацията е равна на по масата на Уили. Един син кит тежи средно около , така че
тъй като гравитацията е вектор, насочен надолу, тя е равна на
Да кажем, че искаме да пресметнем работата, извършена от гравитацията в интервала от до . Какво се получава, когато заместим всичко това в интеграла и го изчислим? Опитай да го направиш самостоятелно, преди да видиш отговора.
(Ако си от хората, които обичат физиката: работата може да бъде изчислена и като разликата в потенциала в началото и в края на движението. По-нататък ще разбереш повече и за т. нар. консервативни векторни полета, които също са тясно свързани с физиката.)
Как изобразяваме криволинейни интеграли
В примера за кита Уили векторното поле беше константа. Гравитацията винаги сочи надолу и е константа. Повечето векторни полета обаче не са константи и векторът, чието скаларно произведение с искаме да пресметнем, се променя по дължината на кривата. Следната анимация показва как изглежда едно такова поле.
(Обърни внимание, че в анимацията е използвана променливата вместо като параметризация на кривата.)
Криволинейният интеграл е написан като
където
е векторно поле, съпоставящо вектор на всяка точка от тримерното пространство. Можеш да го приемаш като някакво силово поле. е крива в пространството. е параметризация на кривата в интервала е производната на , представяща скоростта на частица, движеща се по при равномерно увеличаване на . Умножена по , тази производна дава дължината на съответното изместване по дължината на кривата, породено от малка стъпка с дължина в стойността на параметъра.- Обърни внимание, че в анимацията дължината на
е константа. Това невинаги е вярно, тъй като при промяна на параметъра функцията може да обхожда кривата с различна скорост. Например Уили увеличава скоростта си на падане с времето. - Окръжността долу вдясно на чертежа може да ти се стори малко объркваща. Тя показва доколко векторът
е колинеарен с тангентния вектор . Сивите вектори и помагат в изобразяването на ориентацията на тези два вектора спрямо равнината .
Във физиката разбираме скаларното произведение
като
Тоест, малко количество работа, извършено от силовото поле върху частица, движеща се по траекторията .
Пример 2: Работа, извършена от торнадо
Дадено е векторното поле
Това поле изглежда по следния начин:
Като силово поле това представлява въздействието на сила, въртяща всички обекти в равнината обратно на часовниковата стрелка. Например това може да е силата, породена във въздуха от торнадо. Този модел не е съвсем точен, тъй като според него силата се увеличава при отдалечаване от центъра на торнадото, но да речем, че ще наричаме модела си "опростен" и ще работим с него.
Искаме да пресметнем криволинейния интеграл на полето по окръжност с радиус и център .
Обърни внимание, че ориентацията на кривата има значение. Работата, извършена обратно на часовниковата стрелка от торнадото, ще е равна на работата по часовниковата стрелка, но с обратен знак.
Нека разгледаме параметризация на окръжността, когато я обхождаме обратно на часовниковата стрелка.
за от до .
Съответният интеграл, който трябва да пресметнем, е скаларното произведение на силата с , интегрирано по цялата дължина на кривата:
Стъпка 1: Разписваме интеграла
Стъпка 2: Заместваме дадените функции
Стъпка 3: Решаваме интеграла
Упражнение: Замести резултатите от предишната стъпка и пресметни интеграла.
Крайният резултат представлява работата, извършена от торнадото върху частица, движеща се обратно на часовниковата стрелка по окръжността.
Въпрос за размисъл: Логически погледнато, защо тази работа е положителна?
Ориентацията има значение
Какво би се случило, ако в предишния пример ориентацията на окръжността беше по часовниковата стрелка? Съответната параметризация на кривата е
Ако искаш, можеш да заместиш и отново да пресметнеш интеграла, но има много по-кратко обяснение на промяната в работата при промяна на ориентацията на окръжността. В интеграла
всеки вектор е обърнат наобратно при промяната на параметризацията.
Упражнение: Дадени са два вектора и , такива че . Ако обърнем вектора наобратно (ротация на 180 градуса), така че , на колко е равно скаларното произведение с новия вектор?
Тъй като при обръщане на векторите скаларното произведение, което интегрираме, променя знака си с , можем да заключим следното:
Ключов момент При обръщане на ориентацията на кривата криволинейният интеграл обръща знака си.
Обобщение
- Съкратеният запис на криволинеен интеграл във векторно поле е
- Ако е дадена параметризацията
на кривата , този интеграл е равен на
- Криволинейните интеграли се използват във физиката за изчисляване на работата, извършена върху движещ се обект от дадена сила.
- Ако параметризираме кривата в обратната посока, стойността на криволинейния интеграл се променя с коефициент
.
Искаш ли да се присъединиш към разговора?
Все още няма публикации.