Криволинеен интеграл по затворен контур в потенциално векторно поле

- В предния клип видяхме, че едно векторно поле може да бъде записало като градиент на скаларно поле – или, казано по друг начин, това ще е равно на частната производна на голямото ни f по отношение към x по и плюс частната производна на голямото f, скаларното ни поле, по отношение на y по j Записвам го по много начини, за да запомните какъв ни е градиента Видяхме, че ако векторното ни поле е градиента на скаларно поле, тогава го начичаме 'потенциално' Значи, f е потенциално векторно поле - Това ни казва също ( и това е най-същественото от предишния клип), че криволинейният интеграл на f между две точки – нека начертая две точки тук и да си отбележа координатите, за да знаем къде сме в равнината xy Осите ми : оста x и оста y Да кажем, че имаме тази и тази точки и имам две различни траектории между тях Имам траектория 2, която изглежда така, ще я нарека c1 и тя отива в тази посока - И сега, ще взема друг вид зелено, имаме траектория c2, която изглежда така И двете започват тук и стигат тук Научихме от предишния клип, че криволинейният интеграл не е зависим от траекторията между две точки В такъв случай, криволинейният интеграл по c1 от f точка dr ще е равен на криволинейния интеграл на c2 върху траекторията c2, от f точка др. Ако имаме потенциал в някаква площ, където и да е, криволинейният интеграл между всеки две точки е независим от траекторията Това е хубавото на потенциалните полета Сега, това което ми се иска да постигна в този клип, е да прибавя още значeния към тези от предишния клип И това е много вайно допълнение, което може би така или иначе ви е очевидно Това вече съм го записал тук Мога малко да пренаредя това уравнение Нека направя това Пренареждам го Ще препиша това в оранжево Така, криволинейният интеграл на треактория c1 точка др минус - просто изваждам това от двете страни – минус криволинейния интеграл c2 от f точка dr, ще е равен на 0 Тук просто взех уравнението, което постигнахме в предишния клип и извадих това от двете страни Научихме преди няколко клипа, че ако става дума за криволинеен интеграл на векторно поле, а не на скаларно поле, тогава посоката на траекторията е важна Научихме, че криволинейният интеграл върху, да кажем, c2 от f точка dr, е равен на минус криволинейния интеграл на минус c2 от f точка dr, където минус c2 е същата траектория като c2, но в обратната посока Например, мога да запиша минус c2 така... нека взема друг цвят. Да кажем, че това е минус c2. Това е траектория, точно като c2, наричам я минус c2, която вместо да отива в тази посока, отива в тази посока Нека не обръщаме внимание на старите стрелки на c2 Започваме оттук и се връщаме тук Това е минус c2 Можем да сложим минуса и от другата страна и да кажем, че минус от криволинейния интеграл по траекторията на ц2 от ф точка др е равно на криволинейния интеграл върху противоположната траектория на f точка dr Тук просто сложих минуса от другата страна - умножих двете страни по минус 1 Нека заменим – в това уравнение имаме минус траекторията c2 – имаме това и това тук Значи, бихме могли да заместим това с това Нека го направим Ще започна с първата част Значи, интеграла по кривата c1 от f точка dr, вместо минус криволинейния интеграл по c2, ще кажа плюс инграла по минус c2 Пак ще взема зелен цвят... Открихме, Че това е същото като това Минус криволинейния интеграл по тази траектория е същото като криволинейния интеграл по противоположната траектория Значи, казваме, че плюс криволинейния интеграл на минус c2 от f точка dr е равно на 0 Тук изниква нещо интересно Да видим, какво е съчетанието на траекториите c1 и минус c2 c1 започва ето тук Нека взема хубав, ярък цвят c1 започва в тази точка И се движи от тази точка по кривата c1 и спира тук А сега да направим същото с минус c2 Минус c2 започва в тази точка, отива дотук и се връща в същата точка – прави затворена линия Значи, това е затворен криволинеен интеграл Ако съчетаем с това, можем да препишем Помнете, че това е затворена линия Като обърнем това, вместо да имам две криви, които започват тук и отиват тук, сега ще започнем тук, ще отидем до тук и ще се върнем по тази траектория, противоположна на c2 Това е равностойно на затворен криволинеен интеграл Значи, това е същото като интеграл по затворена траектория Можем да наречем затворената траектория c1 плюс минус c2, ако искаме да сме по-конкретни за тази затворена траектория Тук просто начертах случайни c1 и c2 (или минус c2) Това може да бъде всяка затворена траектория когато векторното поле f има потенциал, или когато е градиент на скаларно поле - когато е потенциално векторно поле Това може да се запише като затворена траектория на c1 плюс противоположното на c2 от f точка др. Тук преписах това, значи това ще е равно на 0 Ето какво научихме от този клип Можем да го наречем 'извод' Това е естествено заключение, което можете да направите след това заключение Сега знаем, че ако имаме векторно поле, което е градиент на скаларно поло в някаква площ, или може би в цялата равнина xy, това се нарича потенциал на f Това е потенциална функция Често ще си имаме работа с нейната противоположна стойност, но работата с отрицателни е лесна. Ако имаме векторно поле, което е градиент на скаларно поле, наричаме това поле 'потенциално' И това ни казва, че за всяка точка от прощта, за която говорим, криволинейната интеграла от една точка до друга е независима от траекторията – това научихме от предишния клип И затова, интеграл, който е затворена линия,... ако вземем някакво друго място и вземем който и да е друг интеграл, който е затворена линия, или ако вземем криволинейния интеграл на векторното поле на която и да е затворена линия, той ще бъде 0, защото не е зависим от траекторията Това научаваме от този клип ако видите нещо такова : Ако имате f точка dr и ви карат да изчислите това, при условие, че f е потенциално поле (или, че f е градиент на друга функция, или че f е независимо от траекторията), ще можете веднага да кажете, че това ще е 0 – и това доста ще ви улесни изчисленията -