Пример за криволинеен интеграл по затворен контур в потенциално векторно поле

Да видим дали можем да приложим някои от новите инструменти, за да решим някои криволинейни интеграли. Даден е криволинеен интеграл по затворен контур – ще дефинирам кривата след минутка – от х на квадрат плюс у на квадрат, по dx, плюс 2 по х по у, по dy. Тогава кривата `с`ще бъде дефинирана от параметризацията х равно на косинус от t и у равно на синус от t. Като t е в интервала от 0 до 2 по пи. Това по същество е единична окръжност в равнината ху, а ние знаем как да решаваме това. Да видим дали можем да използваме някои от нашите изводи от последните уроци, за да опростим процеса на решаване. Първото нещо, което може би ти прави впечатление, е, че това прилича на криволинеен интеграл, но тук имаме dx и dy, а не виждаме скаларно произведение с dr. Така че за мен не ясно дали това изобщо е криволинеен интеграл от векторна функция. Не виждам никакви вектори. Първо искам... като причината да ти покажа този пример е, да ти покажа, че това е просто друг начин за представяне на криволинеен интеграл от векторна функция. Искам да ти покажа, че просто трябва да разбереш, че ако имаме някаква функция r от t – това е нашата крива... Даже не записвам функциите тук. Ще запиша само х от t, по i, плюс у от t, по j. В последните няколко урока видяхме, че можем да запишем, че dr, dt е равно на dx, dt по i, плюс dy, dt по j. Видяхме го много пъти. Видяхме много пъти, че ако искаме да получим диференциала dr, можем просто да умножим всичко по dt. Обикновено просто записвам dt тук и записвам dt там, и се отървавам от това dt. Но ако умножим всичко по dt, ако разглеждаме диференциалите като нормални числа, тогава можем да умножаваме по този начин и да ги използваме по този начин. Тогава просто се отърваваме от всички dt. Значи dr можем да си представим, че е равно на dx по единичния вектор i, плюс dy по единичния вектор j. След като изяснихме това, вече сигурно забелязваш тук една закономерност. Ако дефинираме нашето векторно поле f от (х; у) да е равно на х на квадрат плюс у на квадрат, по i, плюс 2 по х по у, по j – тогава какво е това? Какво е това нещо ето тук? Колко е скаларното произведение f . dr? При скаларните произведения просто умножаваме съответните компоненти на нашия вектор и после събираме получените произведения. Това е все едно да намерим скаларното произведение на f и dr, и получаваме компонента i – х на квадрат плюс у на квадрат, по dx, плюс – пак ще използвам розово – плюс у компонента или j компонента – 2 по х по у, по dy. Това е скаларното произведение. Обърни внимание, че това ето тук (подчертава израза) е идентично на това нещо ето тук. (подчертава израз по-горе на екрана) Така че нашият криволинеен интеграл, за да го представим във вида, който познаваме, това е съвсем същото като криволинейния интеграл по тази затворена крива 'с', от функцията f... може би да го запиша с цикламено, което всъщност е по-скоро пурпурно или розово – скаларното произведение на f по dr. Ето това е този криволинеен интеграл – това е просто различен начин за записването му. След като видя това, в бъдеще, когато срещнеш този диференциален вид на записване, веднага ще знаеш, че съществува векторно поле, на което това е компонентът х, а това е компонентът у, това е скаларното им произведение с dr. Това тук е х-компонентът на dr, или неговият i-компонент, а това е у-компонентът или j-компонентът на dr. Така че веднага ще знаеш какво е векторното поле, което интегрираме. Това е х, а това е у. Сега да си зададем един въпрос. Дали f е потенциална (консервативна) функция? Дали f е равна на градиента на някакво скаларно поле, което ще означа с главно F – дали е вярно това? Да допуснем, че е така, и да видим можем ли да намерим скаларно поле, чийто градиент по същество е F. Тогава ще знаем, че f е потенциална функция. Тогава, ако f е потенциална функция, а това е нашият мотив да направим това, това означава, че за всяка затворена крива, всеки криволинеен интеграл по затворен контур от f, ще бъде равен на 0 и това ще го докажем. Ако успеем да докажем това, тогава отговорът на този въпрос или на този въпрос ще бъде нула. Даже няма нужда да се занимаваме с косинус от t и синус от t и всичко това. Всъщност даже няма да намираме примитивните функции. Да видим можем ли да намерим някаква функция f, чийто градиент е равен на това тук. (огражда го с розово) За да докажем, че градиентът на f е равен на това, това означава, че частната производна на нашето главно F относно х трябва да е равно на ето това тук. Тя трябва да е равна на х на квадрат плюс у на квадрат. Това също така означава, че частната производна на главно F относно у трябва да е равна на 2 по х по у. Само като преговор, ако знаем, че градиентът на произволна функция от някакво скаларно поле е равен на частната производна на f относно x по i, плюс частната производна от главно F по отношение на у, по j. Ето защо просто сравнявам двата модела. Просто казвам, че ако това е градиентът на това, то тогава това трябва да е равно на това, което записах ето тук, а това трябва да е равно на това, което записах тук долу. Сега да видим дали мога да намеря някаква функция f, която удовлетворява и двете условия. Можем просто да интегрираме относно х и двете страни – (да намерим примитивните функции) спомни си, че разглеждаме у като константа, по-точно у на квадрат като константа – в случая това е все едно някакво число. Тогава можем да кажем, че F е равно на примитивната функция на х на квадрат, която е х на трета степен, върху 3. Примитивната функция на у на квадрат – спомни си, интегрираме относно х. Така че у на квадрат можем да го разглеждаме просто като някакво число. Това е просто числото k или може да е числото 5. Значи примитивната функция е това по х. Значи плюс х по у на квадрат. После може да има някаква функция от у. Значи плюс някаква функция – не знам, ще я означа като g от у. Понеже тук може да има някаква функция от у, ако това е чиста функция от у, когато намираме производната или частната производна относно х, тази функция от у ще изчезне. Но тя би се появила отново, когато намираме примитивната функция. Само да поясня – искам да поясня, че F ще е функция от х и от у. Значи тук имаме просто – предполагам, че може да се каже примитивната функция относно х. Да видим можем ли да намерим примитивната функция относно у, а след това ще обединим двете примитивни функции. Въз основа на това, f от (х; у) ще изглежда по следния начин... първо да намерим примитивната функция по отношение на у. Спомни си, че сега разглеждаме х просто като някакво число – то може да е k, може да е m, може да е 5. Това е просто някакво число. Ако х е константа, тогава примитивната функция на на 2 по у е у на квадрат. Ако х тук е просто число, тогава примитивната функция по отношение на у е просто х по у на квадрат. Така ли е? Можеш да намериш частната производна на този израз относно у. Приеми, че х е константа, и ще получиш 2 по х по у, като тук няма степен. Разбира се, ако определиш примитивната функция относно х, тук може да има някаква функция от х въз основа на тази информация. Сега, като имаме това, това ни казва, че f от (х; у) ще изглежда по този начин. Тази информация ни показва, че f от (х; у) ще изглежда по този начин. Да видим дали има някаква функция от (х; у), която изглежда и като двете. Да видим. Ето тук имаме ху на квадрат, тук имаме ху на квадрат. Добре. Това е обещаващо. Ето тук имаме f от х – имаме някаква функция само от х. Тук имаме функция само от х. Значи тези две неща може да бъдат еднакви. Тук имаме функция само от у, което може да го има и тук, но реално не го виждаме никъде ето тук. Така че можем да кажем, че това вероятно може да е нула – нула като функция само от у. Можем да кажем, че имаме някаква функция g от у равно на 0. След това получаваме, че главно F от (х; у) е равно на х на трета степен, върху 3, плюс х по у на квадрат. Градиентът на това главно F ще е функцията f. Това вече го установихме. Но само за да не остане съмнение, хайде да намерим градиента на F. Само за да проверим това, което получихме тук, да намерим градиента. Градиентът на F е равен на – тук някои поставят знак за вектор, защото получаваме вектор. Можем да поставим знак за вектор над знака за градиент. На какво е равен градиентът на F? Частната производна на това относно х по i. Значи частната производна на F относно х – производната е 3 делено 3, което е 1. Това е просто х на квадрат плюс производната на това относно х, която е у на квадрат по i, плюс частната производна относно у. Частната производна относно у на това е просто 0, а частната производна тук е 2 по х по у,или 2 по х по у на първа степен. Значи 2 по х по у, по j. Това е равно точно на f, същото f, което написахме ето тук. Така установихме, че f определено може да се запише – f определено е градиентът на някаква потенциална скаларна функция ето тук. Значи f е потенциална функция, а това означава, че този криволинеен интеграл по затворен контур (криволинеен интеграл от втори род) от f е равен на нула. Приключихме. Даже можем да пренебрегнем параметризацията на самата крива.