Параметризация на траектория с обратна посока

В следващите няколко видео урока искам да разгледаме какво се случва с един криволинеен интеграл от скаларно или от векторно поле – да видим какво се случва с този криволинеен интеграл, когато се промени посоката на кривата. Като казвам промяна на посоката – нека да е дадена някаква крива 'с', която изглежда ето така. Построявам осите х и у. Това е оста у, това е оста х, и параметризацията започва примерно тук, след което t нараства и завършва ето тук горе. Значи се движи в тази посока. Когато казваме, че обръщаме посоката на траекторията, можем да дефинираме друга крива, ще я означа като минус 'с', която изглежда по следния начин. Това е оста х, това е оста у. Тази крива изглежда точно по същия начин, но започва ето тук горе, след което t нараства и се спуска надолу до началната точка на другата крива. Това е съвсем същата крива, обаче се движи в обратната посока. В това видео искам просто да разберем как можем да параметризираме една подобна крива, и, надявам се, да го осмислим много добре. В следващите два видео урока след този ще се опитам да видим какво означава това за криволинейния интеграл от скаларно поле, а след това за криволинейния интеграл от векторно поле. Да кажем, че тази параметризация ето тук, ще я дефинираме просто по стандартния начин, както винаги сме го правили. Да кажем, че това е х равно на х от t, у равно на у от t, и да кажем, че t е в интервала.... ще го напиша по следния начин. t започва от а, т.е. t е по-голямо или равно на а, и достига до b. В този пример, когато t е равно на а, тази точка ето тук има координати х от а и у от а. После, когато t е равно на b ето тук – всичко това е просто преговор на това, което вече сме правили, просто преговор на параметризацията – когато t e равно на b тук горе, това е точката х от b и у от b. Тук няма нищо ново. Като имаме тези функции, как можем да конструираме друга параметризация на кривата, която е със същата форма, но започва от ето тук? Искам тази точка отгоре да бъде t равно на а. Ще сменя цвета. Ще избера може би цикламено. Искам в тази точка t да е равно на а, и когато t нараства, искам тук долу t да е равно на b. Значи искам да се движим в обратната посока. Когато t е равно на а, искам координатите пак да бъдат x от b и у от b. Когато t е равно на а, искам да имам b във всяка от тези функции, а когато t е равно на b, искам координатите да бъдат х от а и у от а. Обърни внимание, че сега това е наобратно. Тук t е равно на а, х от а и у от а, а тук t е равно на b, това е крайната ни точка. Сега съм при точката с тези координати – х от а и у от а. Как мога да конструирам това? Ако помислиш върху това, когато t е равно на а, искаме и двете функции да ги изчислим за b. Какво ще стане, ако дефинираме нашето х в този случай, за кривата минус 'с', ако кажем, че х е равно на х от... когато казвам "х от", имам предвид съвсем същата функция. Всъщност може би трябва да го напиша със същия цвят. х от... но сега вместо тук да сложа t, вместо да сложа тук направо t, какво ще стане, ако сложа а плюс b минус t? Какво се случва? Ще направя това и за у. Тогава у е равно на у от а плюс b минус t. Използвам малко по-различен нюанс на жълтото, което може да е малко объркващо. Както и да е – какво се случва, когато дефинираме това? Когато t е равно на а, да кажем, че тази параметризация е също за случая, когато t започва от а и после нараства до b. Само да направим експеримент и да потвърдим, че тази параметризация всъщност е съвсем същата като тази, само че върви в различна посока. Или поне да го потвърдим за себе си логически. Когато t е равно на а, тогава х ще е равно на х от а плюс b минус а, нали? Това е тогава, когато t е равно на а, значи минус t е същото като минус а, и на какво е равно това? а минус а се унищожават, така че това е равно на х от b. По същия начин, когато t е равно на а, у ще е равно у от а плюс b минус а. Тези "а" се унищожават, така че е равно на у от b. Получи се. Когато t е равно на а, нашата параметризация дава координатите х от b и у от b. Когато t е равно на а, имаме х от b, у от b. Сега можем да направим съвсем същото за t равно на b. Ще го направя ето тук, защото не искам да изгубвам това. Ще ги разделя с една черта. Пак разглеждаме тази параметризация ето тук. Всъщност ще се преместя надясно, така че да не се обърквам. Когато t е равно на b, на какво е равно х? х е равно на х от а плюс b минус b, нали? а плюс b, минус b, когато t е равно на b. Значи това е равно на х от а. После ще имаме у равно на у от а, плюс b, минус b, и, разбира се, това е равно на у от а. Значи тази крайна точка се получи, и ако разсъдиш логично, когато t нараства, когато t стане равно на а, тогава това става х от b, у от b. Видяхме го ето тук долу. Когато t нараства, тази стойност намалява. Започваме от х от b, у от b, и когато t нараства, тази стойност намалява от b до а, нали? Започва от b и стига до а. Тук очевидно започва от а и стига до b. Надявам се, че това ти дава обяснение защото тази крива е съвсем същата като тази. Тя просто се движи в точно обратната посока. Като разгледахме това, ако приемаш това, което ти казах, че това са наистина съвсем еднакви параметризации, само в обратни посоки – не трябва да казвам еднакви параметризации. Една и съща крива в обратни посоки, или един и същ път, който върви в обратни посоки. В следващото видео ще видим какво се случва, когато изчислим този криволинеен интеграл, f от (х; у), ds, в сравнение с този криволинеен интеграл. Това е скаларно поле – криволинеен интеграл от скаларно поле, когато използваме тази крива или този път, но какво се случва, ако вземем криволинеен интеграл от съвсем същото скаларно поле, но се движим в обратна посока? Това ще разгледаме в следващото видео. А в по-следващото видео ще разгледаме това при векторно поле.